西安石油大学电子工程学院：《自动控制理论 Modern Control System》精品课程教学资源（电子讲稿）线性系统的时域分析法（第8讲）

u(t C(s)= @, 1 (S+a mn)SS(S+@,)S 临界阻尼情况下的二阶系统的单位阶跃响应称为临界阻尼响应 h(o=l-e@, t-e '=l-e/(1+o,1 t20 (3-24) 当5=1时,二阶系统的单位阶跃响应是稳态值为1的无超调单调上升过程 d (3)过阻尼(5>1)0ver- damped Case C(s) (S-SXS-S2)Ss+o(5-22-1)S+on(5+ A O,s 1)5+On(5 A A2 +On(5 A3 √2-1(5+√2-1) h(t)=1 -(4+V2-1)on1t≥ 1) (3-25) 61

61 S r t u t R s 1 ( )  ( ) , ( )  n n n n n S S S S S C s              1 ( ) 1 1 ( ) ( ) 2 2 2 临界阻尼情况下的二阶系统的单位阶跃响应称为临界阻尼响应 ( )  1   1 (1 )  0    h t e t e e t t n t t n t n  n n     （3-24） 当   1 时，二阶系统的单位阶跃响应是稳态值为 1 的无超调单调上升过程， t n n e dt dh t      ( ) 2 (3)过阻尼(  1 ) Over-damped Case 1 2 S1,2   n  n   S S S S S S S S C s n n n n [ ( 1)][ ( 1)] 1 ( )( ) ( ) 2 2 2 1 2 2                    ( 1) ( 1) 2 3 2 1 2           n     n   A S A S A 1 A1  ( 1) 1 2 2      S  n   A 2 1( 1) 1 2 2 3        A 0 2 1( 1) 1 2 1( 1) 1 ( ) 1 ( 1) 2 2 ( 1) 2 2 2 2                 h t e e t t t   n   n       （3-25）

衰减快 慢 S1 基本上由S1决定 图3-10二阶系统的实极点 0.8 0.6 0.4 0.2 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 图3-11表示了二阶系统在不同ξ值瞬态响应曲线(书上图3-10P87) 3.3.3二阶系统阶跃响应的性能指标 ·欠阻尼情况

62 jω S2 S1 衰减快 慢 ξ 基本上由S1决定 图3-10二阶系统的实极点 σ 0 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 图 3-11 表示了二阶系统在不同 值瞬态响应曲线（书上图 3-10 P87） 3.3.3 二阶系统阶跃响应的性能指标 ·欠阻尼情况

18 0.4 200 400 600 800 1000 1200 图3-12为系统欠阻尼时的单位阶跃响应曲线。下列所述的性能指标,将定量地描述 系统瞬态响应的性能。 在控制工程中,除了那些不容许产生振荡响应的系统外,通常都希望控制系统具有适度 的阻尼、快速的响应速度和较短的调节时间。 二阶系统一般取ξ=0.4~0.8,0.7。其它的动态性能指标,有的可用ξ和on精确表示, 如,12M,有的很难用ξ和ωn准确表示,如t31,可采用近似算法。 (1)①t4延时时间 在式(3-21)中,即h()=1 e-se sin(@ t+B) ,t≥0 令h(t4)=0.5,B arccos 可得 o,L=LIn 2sin(1-52o,td +arccos) 参见书P88,在较大的ξ值范围内,近似有 1+0.65+0 (3-26) 书(3-19)式 63

63 图 3-12 为系统欠阻尼时的单位阶跃响应曲线。下列所述的性能指标，将定量地描述 系统瞬态响应的性能。 在控制工程中，除了那些不容许产生振荡响应的系统外，通常都希望控制系统具有适度 的阻尼、快速的响应速度和较短的调节时间。 二阶系统一般取  0.4 ~ 0.8 , 0.7 。其它的动态性能指标，有的可用和 n 精确表示， 如 r p M p t ,t , ,有的很难用和 n 准确表示，如 d s t ,t ,可采用近似算法。 ⑴  d t 延时时间 在式（3-21）中，即 sin( ) , 0 1 1 ( ) 1 2       h t e t t d t n     令     arccos 1 ( ) 0.5 , 2   h t   arctg d 可得 2 2 1 2sin( 1 arccos ) ln 1           n d n d t t 参见书 P88，在较大的 值范围内，近似有 n d t    2 1 0.6  0.2  （3-26） 书（3-19）式

0<5<1时,亦可用t 1+0.75 (3-27)(书3-20) (2)②t,(上升时间) h(1)=1,求得 e ssin(@ I +B)=0 Od1+B=丌 1.=x-B (3-28)(3-31书) 5一定,即β一定,→on↑→L↓,响应速度越快 (3)③tn(峰值时间) 对式(3-21)(书3-14)求导,并令其为零,求得 5o,e se,d sin(o t+ B)-@desn cos(o /+B)=0 g(o41+B)= tgB Op=0,z,2z…,根据峰值时间定义,应取 (书3-22) 5一定时,On↑(闭环极点离负实轴的距离越远)→tp↓ (4)⑨σ%orM的计算,超调量 超调量在峰值时间发生,故h(tn)即为最大输出 h(n)=1--1 e sin(@,I, +B) MGn)=1+c∵si(x+p)=-sin/=-√l-2 h(tn)-h(∞) % 100%=e 100% (3-30)(书3-23) h(∞)

64 0    1时，亦可用 n d t  1 0.7  （3-27） （书 3-20） ⑵ r t （上升时间） ( )  1 r h t ，求得 sin( ) 0 1 1 2         d r t e t n  d t r     d r t      （3-28） （3-31 书）  一定，即  一定，  n  t r  ,响应速度越快 ⑶ (峰值时间) p t 对式（3-21）（书 3-14）求导，并令其为零，求得 sin(  )  cos(  )  0          e t e t d t d d t n n n     2 1 ( )  tg d t      2 1 tg    0, ,2 , d p t ,根据峰值时间定义，应取  d t p   (3 29) 2 2 1 2 1    d   d d t p T     (书 3-22)  一定时，n （闭环极点离负实轴的距离越远） t p  ⑷  % or M p的计算，超调量 超调量在峰值时间发生，故 ( ) p h t 即为最大输出 sin( ) 1 1 ( ) 1 2          d p t p h t e t n p 2 1 ( ) 1     h t   e p 2 sin(   )  sin    1 100% 100% ( ) ( ) ( ) % 2 1             e h h t h p (3-30) (书 3-23)

10 00.10.2030405060708091 阻尼比 图 3-145 R(s) S 5=0时,o%=100% 5=04时,%=254% 5=1.0时,%=0 当5=0.4~08时 (5⊙调节时间ts的计算 典型二阶系统欠阻尼条件下的单位阶跃响应 h(o in(o+B)t≥0 B=arct arccos 书式(3-14) 令Δ表示实际响应于稳态输出之间的误差,则有 "zend

65 图 3-14 2 2 2 ( ) 2 ( ) n n n R s S S C s         0 时， %  100%   0.4时， %  25.4%   1.0 时， %  0 当  0.4 ~ 0.8时  %  1.5% ~ 25.4% ⑸调节时间 S t 的计算 典型二阶系统欠阻尼条件下的单位阶跃响应 ( )  1 sin(  )  0  h t e t t d t n        arccos 1 2    arctg 书式(3-14) 令表示实际响应于稳态输出之间的误差，则有 2 2 1 sin( ) 1 1               t n n e e t d t