ia=ai+a,j+a, k, b=bi+b j+b,k ab=(ai+a,j+a, k). ( bi+b,j+b, k) iLj⊥k,∴=j·k=k·i=0, i|j=k=1, ∴i·i=jj=k·k=1 ·b=a.b.+a.b.+aLb 数量积的坐标表达式 上页
a a i a j a k, x y z = + + b bx i by j bzk 设 = + + a b = (a i a j a k) x y z + + (b i b j b k) x y z + + i j k, ⊥ ⊥ i j = j k = k i = 0, | i |=| j |=| k |= 1, i i = j j = k k = 1. x x y y z z a b = a b + a b + a b 数量积的坐标表达式
i·b n·b=l‖b|cosb→c0s6= l‖b a、b.+a.b.+a b cos 8= var +a +a2 b2+b,2+b 2 2 两向量夹角余弦的坐标表示式 由此可知两向量垂直的充要条件为 d⊥b→a2b+aby+a2b2=0 上页
a b | a || b | cos = , | || | cos a b a b = 2 2 2 2 2 2 cos x y z x y z x x y y z z a a a b b b a b a b a b + + + + + + = 两向量夹角余弦的坐标表示式 a⊥b axbx + ayby + azbz = 0 由此可知两向量垂直的充要条件为
王例1已知={11-4,b={1,22),求(1) 平ab;(2)a与的夹角;(3)a在b上的投影 解(1)ab=11+1·(-2)+(4)·2=-9 (2)c0s6= ab tabtab 2 2 2 6-+b+b 2 十a+a ∴日= 3 2 (3)ab=16 Prja :Prjaa:b=-3 上页
例 1 已知a = {1,1,−4} ，b = {1,−2,2} ，求（1） a b ；（2）a 与b 的夹角；（3）a 在b 上的投影. 解 a b (1) = 11+1(−2) + (−4) 2 = −9. 2 2 2 2 2 2 (2) cos x y z x y z x x y y z z a a a b b b a b a b a b + + + + + + = , 2 1 = − a b b j ba (3) =| | Pr 3. | | Pr = − = b a b j ba = . 4 3
例2证明向量c与向量(a·c)b-(b·c)l垂直 证(a·c)b-(b·c)c =[(d·cbd-(b·c)ndl (.b)|d 引 ·C-·c 0 I(a·c)b-( b.c)allc 上页
例 2 证明向量c 与向量 a c b b c a ( ) − ( ) 垂直. 证 a c b b c a c [( ) − ( ) ] [(a c)b c (b c)a c] = − (c b)[a c a c] = − = 0 a c b b c a c [( ) − ( ) ]⊥
生三、两向量的向量积 实例设O为一根杠杆L的支点,有一力F作用 于这杠杆上P点处.力F与OP的夹角为,力 生F对支点O的力矩是一向量M,它的模 F MF=|OQ‖F =0P‖F|sin6 M的方向垂直于OP与F所决 定的平面,指向符合右手系 上页
设O为一根杠杆L 的支点，有一力F 作用 于这杠杆上P 点处．力F 与OP 的夹角为 ， 力 F 对支点O的力矩是一向量M ，它的模 | M | | OQ || F | = | OP || F |sin = M 的方向垂直于OP 与F 所决 定的平面, 指向符合右手系. 实例 二、两向量的向量积 L F P Q O