∑P(5,m)Ax的极限存在,则称此极限为函 l= 数P(x,y)在有向曲线弧L上对坐标x的曲线 积分(或称第二类曲线积分,记作图12 P(x, y)dx=lim L ∑P(,m) →>0 类似地定义∫xy=lim∑Q(5,n)Ay 其中P(x,y),Q(x,y)叫做被积函数,L叫积分弧段
类似地定义 ( , ) lim ( , ) . 1 0 i i n i i L Q x y dy = Q y = → 其中P(x, y), Q(x, y)叫做被积函数, L叫积分弧段. ( , ) lim ( , ) . ( , ( , ) ( , ) , 1 0 1 i i n i i L n i i i i P x y dx P x P x y L x P x = = → = 积分 或称第二类曲线积分） 记作 数 在有向曲线弧 上对坐标 的曲线 的极限存在 则称此极限为函
2存在条件:当P(x,y),Q(x,y)在光滑曲线弧L 上连续时,第二类曲线积分存在 3组合形式 P(x, y)dx+l, o(x, y)dy =P(x,n)+(x,)=F面 其中F=P+,d=di+!y
2.存在条件： , . ( , ), ( , ) 上连续时 第二类曲线积分存在 当P x y Q x y 在光滑曲线弧L 3.组合形式 = + + L L L P x y dx Q x y dy P x y dx Q x y dy ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) F Pi Qj, ds dxi dyj. 其中 = + = + . = L F ds
推广 空间有向曲线弧r「P+Q+Rht P(xy,2)=m∑P5,, 「xn;)=mQ(5,n,514y 「R(xn,)=1m∑RG,n,)△, i=1
4.推广 空间有向曲线弧 ( , , ) lim ( , , ) . 1 0 i i i n i P x y z dx = P i x = → . Pdx + Qdy + Rdz ( , , ) lim ( , , ) . 1 0 i i i n i i Q x y z dy = Q y = → ( , , ) lim ( , , ) . 1 0 i i i n i i R x y z dz = R z = →
5性质 (1)如果把L分成L和L2,则 「Pak+g=JP+Qh+」,P+q小 (2)设L是有向曲线弧,L是与L方向相反的 有向曲线弧,则 LP(x, y)ax+e(,y)dy=- P(x,y)dx+e(,y)dy 即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关
5.性质 . (1) , 1 2 1 2 + = + + + L L L Pdx Qdy Pdx Qdy Pdx Qdy 如果把L分成L 和L 则 有向曲线弧 则 设 是有向曲线弧 是 与 方向相反的 , (2) L ,−L L 即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关. + = − + −L L P(x, y)dx Q(x, y)dy P(x, y)dx Q(x, y)dy
三、对坐标的曲线积分的计算 1、定理 设P(x,y.Q(x,y)在曲线弧L上有定义且连 续,L的参数方程为 x=(t)2 当参数t单调地由a变 到时,点M(x,y)从的起点A沿L运动到终点B (t),v(1)在以a及/为端点的闭区间上具有一阶连 续导数,且q2()+v2(1)≠0.,则曲线积分 「P(x,y)+Q(x,y)存在
三、对坐标的曲线积分的计算 2 2 ( , ), ( , ) ( ), , ( ), , ( ), ( ) , ( ) ( ) 0 , ( , , ( , ) ( , ) ) , L t P x y Q x y L x t M L y t t t t t P x y dx Q x y x L y y L A B d = = + + 当参数 单调地由 变 到 时 点 从 的起点 沿 运动 设 在曲线弧 上有定义且连 续 的参数方程为 在以 及 为端点的闭区间上具有一阶连 续导数 且 则曲线积 到终 分 存在 点 1、定理