计算下列求弧长的曲线积分: 1、e,其中L为圆周x2+y2=a,直线y=x 及x轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界; 2、「x]zh,其中L为折线ABD,这里A,B,C,D 依次为点(0,0,0),(0,0,2),(1,0,2),(1,3,2) 3、「(x2+y2)db,其中L为曲线 JL x= a(cost +tsin t) y=a(sint-t cos ))(0≤t≤2); 1、e“(2+a)-2 4、计算ys,其中L为双纽线2、93(1+2m2); L a2(x2-y2)(a>0).3、22a3( 2a2(2-√2)
二、 计算下列求弧长的曲线积分: 1、 + L x y e ds 2 2 ,其中L为圆周 2 2 2 x + y = a ,直线 y = x 及x轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界； 2、 x yzds 2 ,其中L为折线ABCD,这里A , B , C , D 依次为点(0,0,0),(0,0,2),(1,0,2),(1,3,2)； 3、 + L (x y )ds 2 2 ,其中L为曲线 = − = + (sin cos ) (cos sin ) y a t t t x a t t t (0 t 2 )； 4、计算L y ds,其中L为双纽线 ( ) ( ) ( 0) 2 2 2 2 2 2 x + y = a x − y a . 1、 ) 2 4 (2 − e + a a ； 2、9； 3、2 (1 2 ) 2 3 2 a + ； 4、2 (2 2) 2 a −
第二节对坐标的曲线积分 、对坐标的曲线积分的概念与性质 对坐标的曲线积分的计算法 三、两类曲线积分之间的联系
一、对坐标的曲线积分的概念与性质 二、 对坐标的曲线积分的计算法 三、两类曲线积分之间的联系 第二节 对坐标的曲线积分
F(x,)=P(,D)+O(x,W H/. M6 问题的提出 实例:变力沿曲线所作的功 L:A→B. 常力所作的功W=F·AB 分割A=Mn,M1(x,y1),…,Mn(xn1,yn,),Mn=B M11M1=(Ax)+(41)j
o x y A B L 一、问题的提出 Mn−1 Mi Mi−1 M2 M1 xi i 实例: 变力沿曲线所作的功 y L: A → B, F x y P x y i Q x y j ( , ) = ( , ) + ( , ) 常力所作的功 分割 , ( , ), , ( , ), . A = M0 M1 x1 y1 M n−1 x n−1 yn−1 M n = B ( ) ( ) . 1 M M x i y j i i i i − = + W = F AB
取F(51,m1)=P(5;,m)+Q(5;1) F(5,m) △ △W≈F(5;,m)·M11M1 即△W2≈P(5,m)x1+Q(5;n);° 求和W=∑△W 近似值 ≈∑P(6,m)△x2+Q(51,m)4 取极限W=Iim∑P(6,m)Ax+Q(5,m,)4y 精确值
求和 [ ( , ) ( , ) ]. 1 = + ni i i i i i i P x Q y 取极限 lim [ ( , ) ( , ) ]. 1 0 = → = + ni i i i i i i W P x Q y 近似值 精确值 F( , ) P( , )i Q( , ) j, i i i i i i 取 = + ( , ) , Wi F i i Mi−1Mi ( , ) ( , ) . i i i i i i i 即 W P x + Q y = = ni W Wi 1 o x y A B L Mn−1 Mi Mi−1 M2 M1 ( , ) F i i xi i y
二、对坐标的曲线积分的概念 1定义设L为xo面内从点A到点B的一条有 向光滑曲线弧函数P(x,y,Q(x,y)在L 上有界,用L上的点M1(x1,y1),M2(x2,y2) ,Mn1(xn1,yn-1)把L分成n个有向小弧段 M;:1M;(i=1, Mo=A,Mn=B). 设△ 15 △y;=y2-y2a1,点(8;,n)为 M1M1上任意取定的点如果当各小弧段 长度的最大值→0时
二、对坐标的曲线积分的概念 0 , . , , ( , ) ( 1,2, , ; , ). , ( , ) . ( , ), ( , ), , ( , ), ( , ) 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 2 2 2 长度的最大值 时 上任意取定的点 如果当各小弧段 设 点 为 把 分 成 个有向小弧段 上有界 用 上的点 向光滑曲线弧 函 数 在 设 为 面内从点 到 点 的一条有 → = − = − = = = − − − − − − − i i i i i i i i i i i i n n n n M M x x x y y y M M i n M A M B M x y L n L M x y M x y P x y Q x y L L xoy A B 1.定义