第四章指数函数、对数函数与幂函数 4.2.3对数函数的性质与图象 第1课时对数函数的性质与图象 课前·基础认知 一、对数函数的概念 提示关于x轴对称。 【问题思考】 4填表： 1.将指数式a'=x(a>0,且a≠l)化成对数式得y= 对数函数y=logx在底数a>1及0<a<1这两种情 logx,请问：y=logx(a>0,且a≠1)是函数吗？若是，指明 况下的图象和性质如下表所示： 其定义域：若不是，请说明理由. 底数 a>1 0<a<1 提示是，定义域为(0，十∞). 2.填空：一般地，函数y=logx称为对数函数，其中a ix=1 是常数，a>0,且a≠1. 图 iy=logx 特别地，以10为底的对数函数y=lgx叫做常用对数 象 1.0) 函数，以e为底的对数函数y=lnx叫做自然对数函数. 1,0) 3.怎样判断一个函数是对数函数？ y=log x 提示(1)形如y=logx:(2)底数a满足a>0,且a≠ 定义域：(0，十∞) 1:(3)真数为x,而不是x的函数：(4)定义域为(0，十∞). 二、对数函数的图象、性质 值域：R 质 过定点(1,0)，即x=1时，y=0 【问题思考】 1.对数函数y=logx(a>0,a≠1)的定义域是什么？ 在区间(0，十∞)内是增函数在区间(0，十o∞)内是减函数 它可能是奇函数或偶函数吗？ 5.做一做：(1)函数y=log(1-2x)(a>0,a≠1)的定 提示x∈(0，十∞)，不能是奇函数，也不能是偶函数. 义域是 2.如何作函数y=log2x的图象？ (2)若函数y=l0g(如+2)x是区间(0，十∞)内的减函 提示描点法。 数，则实数a的取值范围是 3.函数y=logx与y=log1x(a>0,且a≠1)的图象 答案(1)(-∞，2 (2)(-6,-3) 有何关系？ 课堂 ·重难突破 探究一求与对数函数有关的函数定义域 故函数y=√og42-x)的定义域为{x1≤x<2}. 【例1】求函数f(x)=√g(2-x)的定义域， (②)由题意得阳2x>0. 2-x>0, 解由题意得2-)0即亿一r之也即≤1 2-x>0, 2-x>0. 0 故函数f(x)=√g(2-x)的定义域为{x|x≤1. 延伸探究 解得x<1,故函数y= 的定义域为{xx<I} √1g(2-x) 本例变为：1)求y=√og号2-7可的定义域： ①反思感悟 求定义域时应注意： (2)求y= 1 的定义域， √1g(2-x) (1)分式的分母不为0，偶次根式被开方式非负等： 1og号(2-x)≥0， (2)对数函数中，底数大于0且不等于1，真数大 解(1)由题意可知 2-x>0, 于0. og号2-x)≥og4l, 【变式训练1】(1)求函数y=√gx+lg(5-3x)的 所以 2-x>0, 定义域： 2-x≤1·即1≤x<2 (2)已知函数y=f(2)的定义域为[-1,1]，求函数 所以 l2-x>0, f(log2x)的定义域. 21
第四章 指数函数、对数函数与幂函数 4.2.3 对数函数的性质与图象 第1课时 对数函数的性质与图象 课前·基础认知 一、对数函数的概念 【问题思考】 1.将指数式ay =x(a>0,且a≠1)化成对数式得y= logax,请问:y=logax(a>0,且a≠1)是函数吗? 若是,指明 其定义域;若不是,请说明理由. 提示 是,定义域为(0,+∞). 2.填空:一般地,函数y=logax 称为对数函数,其中a 是常数,a>0,且a≠1. 特别地,以10为底的对数函数y=lgx 叫做常用对数 函数,以e为底的对数函数y=lnx 叫做自然对数函数. 3.怎样判断一个函数是对数函数? 提示 (1)形如y=logax;(2)底数a满足a>0,且a≠ 1;(3)真数为x,而不是x 的函数;(4)定义域为(0,+∞). 二、对数函数的图象、性质 【问题思考】 1.对数函数y=logax(a>0,a≠1)的定义域是什么? 它可能是奇函数或偶函数吗? 提示 x∈(0,+∞),不能是奇函数,也不能是偶函数. 2.如何作函数y=log2x 的图象? 提示 描点法. 3.函数y=logax 与y=log1 a x(a>0,且a≠1)的图象 有何关系? 提示 关于x 轴对称. 4.填表: 对数函数y=logax 在底数a>1及0<a<1这两种情 况下的图象和性质如下表所示: 底数 a>1 0<a<1 图 象 性 质 定义域:(0,+∞) 值域:R 过定点(1,0),即x=1时,y=0 在区间(0,+∞)内是增函数 在区间(0,+∞)内是减函数 5.做一做:(1)函数y=loga(1-2x)(a>0,a≠1)的定 义域是 ; (2)若函数y=log 1 3a+2 x 是区间(0,+∞)内的减函 数,则实数a的取值范围是 . 答案 (1)-∞, 1 2 (2)(-6,-3) 课堂·重难突破 探究一 求与对数函数有关的函数定义域 【例1】求函数f(x)= lg(2-x)的定义域. 解 由题意得 lg(2-x)≥0, 2-x>0, 即 2-x≥1, 2-x>0, 也即x≤1. 故函数f(x)= lg(2-x)的定义域为{x|x≤1}. 本例变为:(1)求y= log1 2 (2-x)的定义域; (2)求y= 1 lg(2-x) 的定义域. 解 (1)由题意可知 log1 2 (2-x)≥0, 2-x>0, 所以 log1 2 (2-x)≥log1 2 1, 2-x>0, 所以 2-x≤1, 2-x>0, 即1≤x<2. 故函数y= log1 2 (2-x)的定义域为{x|1≤x<2}. (2)由题意得 lg(2-x)>0, 2-x>0, 即 2-x>1, 2-x>0, 解得x<1,故函数y= 1 lg(2-x) 的定义域为{x|x<1}. 求定义域时应注意: (1)分式的分母不为0,偶次根式被开方式非负等; (2)对数函数中,底数大于0且不等于1,真数大 于0. 【变式训练1】(1)求函数y= lgx+lg(5-3x)的 定义域; (2)已知函数y=f(2x )的定义域为[-1,1],求函数 f(log2x)的定义域. 21
数学 必修 第二册 配人教B版 gx≥0， 又当x<0时，-x>0,1-x>1, 解(1)要使函数有意义，须x>0, y=ln(1-x)>0,排除D,故选C 5-3x>0. 答案C x≥1， 所以 所以1<号 思想方法 应用数形结合法求解有关对数函数的问题 所以原函数的定又越为口1<<哥}。 【典例】当x∈(1,2)时，不等式(x-1)2<1ogx恒成 (2)因为f(2)的定义域为[-1,1]， 立，则a的取值范围是( 所以t=2∈ A.(0,1) B.(1,2) C.(1,2 D.(o.2) 所以f)的定义城为[是2]，所以 解析设f1(x)=(x-1)2,f2(x)=logx,要使当x∈ 2≤1og2r≤2， (1,2)时，不等式(x一1)2<logx恒成立，只需f1(x)= 所以瓦≤x≤4， (x-1)2在区间(1,2)内的图象在f2(x)=l0gx的图象的 所以f(log2x)的定义战为[V2,4幻 下方即可 当0<a<1时，显然不成立」 探究二对数函数的图象 当a>1时，如图所示，要使在区间(1,2)内，f1(x)= (x-1)2的图象在f2(x)=logx的图象的下方，只需 【例2】已知a>0,且a≠1，则函数y=a'与y= f1(2)≤f2(2),即(2-1)2≤1og.2,∴.l0g2≥1. og.（一x)的图象只能是( (x) 分析分a>1或0<a<1两种情况讨论分析：也可以 龈据函数定义域确定图象的位置，从而选出正确答案 ∴.1<a2. 解析（方法一）若0<a<1,则函数y=a2的图象下降 答案C 且过点(0,1)，而函数y=log(一x)的图象上升且过点 飞方法点睛 (一1,0)，以上图象均不符合. 不等式问题就是两个函数图象相对位置关系问 若a>l,则函数y=a'的图象上升且过点(0，l),而函 题.本题利用数形结合的方法求解，收到了事半功倍的 数y=og(一x)的图象下降且过点（一1,0），只有B中图象 效果。 符合 (方法二)首先指数函数y=a2的图象只可能在上半平 【变式训练】方程gx十x=3的解所在的区间是 ( 面，函数y=l0g(一x)的图象只可能在左半平面，从而排除 A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,十∞) A,C；再看单调性，y=a'与y=log(一x)的单调性正好相 反，排除D.只有B中图象符合. 解析在同一平面直角坐标系中，画出函数y=gx与 答案B y=一x十3的图象（如图）. 反思感悟 根据函数解析式选择其图象，可利用特殊点排除 错误选项，或根据函数的定义域、值域、单调性等性质 判断. 0 【变式训练2】函数y=ln(1-x)的图象大致为 它们交点的横坐标x。显然在区间(1,3)内，由此可排 除选项A,D 实际上这是要比较x。与2的大小 当x=2时，lgx=lg2,3-x=1. 解析要使函数y=ln(1-x)有意义，应满足1一x≥ 由于1g2<1,因此x。>2,从而确定x。∈(2,3). 0,∴x<1,排除A,B 答案C 22
数 学 必修 第二册 配人教B版 解 (1)要使函数有意义,须 lgx≥0, x>0, 5-3x>0, 所以 x≥1, x< 5 3 , 所以1≤x< 5 3 . 所以原函数的定义域为 x 1≤x< 5 3 . (2)因为f(2x)的定义域为[-1,1], 所以t=2x ∈ 1 2 ,2 , 所以f(t)的定义域为 1 2 ,2 ,所以 1 2 ≤log2x≤2, 所以 2≤x≤4, 所以f(log2x)的定义域为[2,4]. 探究二 对数函数的图象 【例2】已知a>0,且a≠1,则函数y=ax 与y= loga(-x)的图象只能是( ) 分析 分a>1或0<a<1两种情况讨论分析;也可以 根据函数定义域确定图象的位置,从而选出正确答案. 解析 (方法一)若0<a<1,则函数y=ax 的图象下降 且过点(0,1),而函数y=loga(-x)的图象上升且过点 (-1,0),以上图象均不符合. 若a>1,则函数y=ax 的图象上升且过点(0,1),而函 数y=loga(-x)的图象下降且过点(-1,0),只有B中图象 符合. (方法二)首先指数函数y=ax 的图象只可能在上半平 面,函数y=loga(-x)的图象只可能在左半平面,从而排除 A,C;再看单调性,y=ax 与y=loga(-x)的单调性正好相 反,排除D.只有B中图象符合. 答案 B 根据函数解析式选择其图象,可利用特殊点排除 错误选项,或根据函数的定义域、值域、单调性等性质 判断. 【变式训练2】函数y=ln(1-x)的图象大致为 ( ) 解析 要使函数y=ln(1-x)有意义,应满足1-x> 0,∴x<1,排除 A,B; 又当x<0时,-x>0,1-x>1, ∴y=ln(1-x)>0,排除D,故选C. 答案 C 思 想 方 法 应用数形结合法求解有关对数函数的问题 【典例】当x∈(1,2)时,不等式(x-1)2<logax 恒成 立,则a的取值范围是( ) A.(0,1) B.(1,2) C.(1,2] D.0, 1 2 解析 设f1(x)=(x-1)2,f2(x)=logax,要使当x∈ (1,2)时,不等式(x-1)2<logax 恒成立,只需f1(x)= (x-1)2 在区间(1,2)内的图象在f2(x)=logax 的图象的 下方即可. 当0<a<1时,显然不成立. 当a>1时,如图所示,要使在区间(1,2)内,f1(x)= (x-1)2 的图象在f2 (x)=logax 的图象的下方,只需 f1(2)≤f2(2),即(2-1)2≤loga2,∴loga2≥1. ∴1<a≤2. 答案 C 不等式问题就是两个函数图象相对位置关系问 题.本题利用数形结合的方法求解,收到了事半功倍的 效果. 【变式训练】方程lgx+x=3的解所在的区间是 ( ) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,+∞) 解析 在同一平面直角坐标系中,画出函数y=lgx 与 y=-x+3的图象(如图). 它们交点的横坐标x0 显然在区间(1,3)内,由此可排 除选项 A,D. 实际上这是要比较x0 与2的大小. 当x=2时,lgx=lg2,3-x=1. 由于lg2<1,因此x0>2,从而确定x0∈(2,3). 答案 C 22
第四章指数函数、对数函数与幂函数 课后·训练提升 L.若函数f(x)=√a-gx的定义域为(0,10]，则实数a 的值为( 7已知函数fx)=lg4的定义域为[m]值域为 [0,1],则m的取值范围为 A.0 B.10 C.1 a品 解析作出f(x)=log4x的图象（知图），可知f(） 解析由已知，得a一lgx≥0的解集为(0，l0],由a f(2)=1,f(1)=0,由题意结合图象知1≤m≤2. lgx≥0，得lgx≤a,又当0<x≤l0时，lgx≤1，所以a= 1,故选C 答案C 2.已知函数f(x)= |3,x≤0， log2x,x>0 那么f((日)的值为 答案[1,2] A.27 C.-27 D.一27 8.设集合M={y=(分)广x∈[o,+∞)N=(yy= 解折f(得)=1g:日=-3，f(r(日）)=f(-3)= log2.x,x∈(0,1]}，则集合MUN= 解析M=(0,1],N=(-∞，0]，故MUN=(-∞，1]. 3=京 答案(-∞，1] 答案B 9.求下列函数的定义域 3.函数y=log(3x-2)(a>0,a≠1)的图象过定点( (1)y=log2(x2-4x-5): A(o,) (2)y=log+(16-4). B.(1,0) C.(0,1) n(层) 解(1)令x2-4x-5>0,得(x-5)(x十1)>0，所以x< 解析根据对数函数的图象过定点(1,0)，令3x一2=1， -1或x>5.故定义域为{x|x<-1,或x>5. 得x=1,故过定点(1,0). 16-4>0,x<2, 答案B (2)由已知得{x十1>0，则x>-1, x+1≠1. x≠0， 4.函数y=lg(x十1)的图象大致是( 故定义域为{x|-1<x<0,或0<x<2}. 兵头 10.已知函数f(x)=1og:x-1)+1, (1)若f(x)=3,求x的值： (2)若f(x)≥1，求x的取值范围。 解(1)log4(x-1)+1=3, 解析由底教大于1可排除A,B,y=lg(x十1)的图象可 看作是由y=gx的图象向左平移1个单位得到的.（或 令x=0得y=0,而且函数为增函数.) (2)由f(x)≥1，得1og1(x-1)+1>1, 答案C ∴log4x-1)>≥0=log41, 1 ∴.0x-1≤1，解得1<x≤2. 5.函数f(x)= 三的定义域为( √1og2x- .x的取值范围为{x|1x2} A.(0,2) B.(0,2] 11.已知f(x)=log2(x+2),g(x)=log2(4-x). C.(2,+) D.[2,+∞) (1)求函数f(x)一g(x)的定义域： 解析由题意可知x满足log2x-1>0,即log2x>log22, (2)求使函数f(x)一g(x)的值为正数的x的取值范围， 根据对数函数的性质得x>2,即函数f(x)的定义域是 解(1)因为f(x)=log2(x十2)，g(x)=log2(4-x),所 (2,十∞).故选C. 以+20解得-2<<4，故孟数fr)-g红)的定 答案C l4-x>0, 义域为（一2,4） 6.若函数f(x)=-5log(x-1)十2(a>0,a≠1)的图象恒 过定点P,则点P的坐标是」 (2)因为f(x)一g(x)的值为正数，所以log2(x十 解析令x-1=1,则y=一5log1十2=2，故P(2,2). 2)>og2(4一x),所以 红+2>4-工”解得1<x<4,所以使 -2<x<4, 答案(2,2) 函数f(x)一g(x)的值为正数的x的取值范围为(1,4). 23
第四章 指数函数、对数函数与幂函数 课后·训练提升 1.若函数f(x)= a-lgx的定义域为(0,10],则实数a 的值为( ) A.0 B.10 C.1 D. 1 10 解析 由已知,得a-lgx≥0的解集为(0,10],由algx≥0,得lgx≤a,又当0<x≤10时,lgx≤1,所以a= 1,故选C. 答案 C 2.已知函数f(x)= 3x,x≤0, log2x,x>0, 那么f f 1 8 的值为 ( ) A.27 B. 1 27 C.-27 D.- 1 27 解析 f 1 8 =log2 1 8 =-3,f f 1 8 =f(-3)= 3-3= 1 27 . 答案 B 3.函数y=loga(3x-2)(a>0,a≠1)的图象过定点( ) A.0, 2 3 B.(1,0) C.(0,1) D. 2 3 ,0 解析 根据对数函数的图象过定点(1,0),令3x-2=1, 得x=1,故过定点(1,0). 答案 B 4.函数y=lg(x+1)的图象大致是( ) 解析 由底数大于1可排除 A,B,y=lg(x+1)的图象可 看作是由y=lgx 的图象向左平移1个单位得到的.(或 令x=0得y=0,而且函数为增函数.) 答案 C 5.函数f(x)= 1 log2x-1 的定义域为( ) A.(0,2) B.(0,2] C.(2,+∞) D.[2,+∞) 解析 由题意可知x 满足log2x-1>0,即log2x>log22, 根据对数函数的性质得x>2,即函数f(x)的定义域是 (2,+∞).故选C. 答案 C 6.若函数f(x)=-5loga(x-1)+2(a>0,a≠1)的图象恒 过定点P,则点P 的坐标是 . 解析 令x-1=1,则y=-5loga1+2=2,故P(2,2). 答案 (2,2) 7.已知函数f(x)=|log1 2 x|的定义域为 1 2 ,m ,值域为 [0,1],则m 的取值范围为 . 解析 作出f(x)=|log1 2 x|的图象(如图),可知f 1 2 = f(2)=1,f(1)=0,由题意结合图象知1≤m≤2. 答案 [1,2] 8.设集合 M= y y= 1 2 x ,x∈[0,+∞) ,N={y|y= log2x,x∈(0,1]},则集合M∪N= . 解析 M=(0,1],N=(-∞,0],故M∪N=(-∞,1]. 答案 (-∞,1] 9.求下列函数的定义域. (1)y=log2(x2-4x-5); (2)y=log(x+1)(16-4x). 解 (1)令x2-4x-5>0,得(x-5)(x+1)>0,所以x< -1或x>5.故定义域为{x|x<-1,或x>5}. (2)由已知得 16-4x >0, x+1>0, x+1≠1, 则 x<2, x>-1, x≠0, 故定义域为{x|-1<x<0,或0<x<2}. 10.已知函数f(x)=log1 2 (x-1)+1. (1)若f(x)=3,求x 的值; (2)若f(x)≥1,求x 的取值范围. 解 (1)∵log1 2 (x-1)+1=3, ∴log1 2 (x-1)=2,∴x-1= 1 4 ,∴x= 5 4 . (2)由f(x)≥1,得log1 2 (x-1)+1≥1, ∴log1 2 (x-1)≥0=log1 2 1, ∴0<x-1≤1,解得1<x≤2. ∴x 的取值范围为{x|1<x≤2}. 11.已知f(x)=log2(x+2),g(x)=log2(4-x). (1)求函数f(x)-g(x)的定义域; (2)求使函数f(x)-g(x)的值为正数的x 的取值范围. 解 (1)因为f(x)=log2(x+2),g(x)=log2(4-x),所 以 x+2>0, 4-x>0, 解得-2<x<4,故函数f(x)-g(x)的定 义域为(-2,4). (2)因为f(x)-g(x)的值为正数,所以log2(x+ 2)>log2(4-x),所以 x+2>4-x, -2<x<4, 解得1<x<4,所以使 函数f(x)-g(x)的值为正数的x的取值范围为(1,4). 23
数学 必修第二册 配人教B版 第2课时 对数函数及其性质的应用 课前·基础认知 对数函数的图象与性质 (0,1)时，log.n≤0. 【问题思考】 (4)在第一象限内，自左而右，对数函数的底数依次增大 1.填空：(1)对于函数f(x)=logx(a>0,a≠1)，因为 2.做一做：(1)若函数f(x)=log2-yx在区间(0，十∞) 必有f(1)=0,所以f(x)的图象必过(1,0)点， 内是减函数，则实数a的取值范围是 (2)在函数f(x)=logx(a>0,a≠1)中，a决定f(x) (2)log0.3 log2.(填“>”“<”或 的单调性。 “=”) (3)当m,n∈(0,1)（或m,n∈(1，十∞）)时，logn≥>0： 答案(1)(-2，-1)U(1,w2)(2)< 当m∈(0,1)，n∈(1，+∞)（或m∈(1，+∞），n∈ 课堂 ·重难突破 【变式训练1】比较下列各组中两个值的大小： 探究一比较大小 (1)ln0.3,ln2: 【例1】比较下列各组数的大小： (2)log3.1,log5.2(a>0,且a≠1)： (1)log2π与1og20.9;(2)1og20.3与loga.20.3: (3)log30.2,log0.2: (3)loga.76与647；(4)log25与log35. (4)log3元，logx3. 分析比较对数值的大小，主要依据对数函数的单调 解(1)因为函数y=nx是增函数，且0.3<2，所以 性，同底时相应的对数函数可直接比较大小：不同底时，可找 ln0.3<ln2. 中间量进行比较 (2)当a>1时，函数y=logx在区间(0，十∞)内是增 解(1)：函数y=log2x在区间(0，十∞)内是增函数， 函数，又3.1<5.2，所以log3.1<1og5.2; 当0<a<1时，函数y=logx在区间(0，十∞)内是减 π>0.9， 函数，又3.1<5.2，所以1og3.1>log5.2. ,∴.log2元>log20.9. (2)log20.3<1og21=0,logo.20.3>1og21=0, （3)因为0>l0ga3>loga:4,所以1og023<1oga24 1 1 .l0g20.3<1oga.20.3. 即log0.2<1og0.2. (3),6a7>6°=1，loga.76<loga.71=0, (4)因为函数y=logx是增函数，且π>3，所以 ∴.6a7>loga.76. (4)(解法一)函数y= logaπ>loga3=1. y y=log,x 同理，1=log.π>l0g.3,所以log3π>log.3. log2.x和y=logar的图象如图 y=logx 所示，当x>1时，y=log2x的 探究二解对数不等式 图象在y=logx的图象上方， 这里x=5, 【例2】(1)已知1oga.5(2x)<loga.(x-1),求x的取 ∴.log25>log35. 值范围： 2 (解法二)1log:51og2,l1og5=1g3 (2)若1og亏<1，求实数a的取值范围。 又1og3>log52>0, 解(1)因为函数y=l0g0.5x在区间(0，十∞)内为减函 ∴.log25>logx5. 数，所以由loga.5(2x)<1oga.5(x-1), ①反思感悟 12x>0, 比较对数大小的方法 得x-1>0,解得x>1. 类 型 方法 2x>x-1, 底数相同，真数不同 利用对数函数的单调性 即x的取值范围是(1，十∞). 2 底数不同，真数相同 1.化为同底数：2.利用图象 (2lo吧号<1，即1og<1oga,当a>1时，函数y= 底数不同，真数不同 利用中间量 指数值与对数值的比较 利用中间量 0g工在定义战内是增画数，所以log。<10g口总成立 当0a<1时，函数y=logx在定义域内是减函数， 24
数 学 必修 第二册 配人教B版 第2课时 对数函数及其性质的应用 课前·基础认知 对数函数的图象与性质 【问题思考】 1.填空:(1)对于函数f(x)=logax(a>0,a≠1),因为 必有f(1)=0,所以f(x)的图象必过(1,0)点. (2)在函数f(x)=logax(a>0,a≠1)中,a 决定f(x) 的单调性. (3)当m,n∈(0,1)(或m,n∈(1,+∞))时,logmn>0; 当m∈(0,1),n∈(1,+∞)(或 m∈(1,+∞),n∈ (0,1))时,logmn<0. (4)在第一象限内,自左而右,对数函数的底数依次增大. 2.做一做:(1)若函数f(x)=log(a 2-1)x在区间(0,+∞) 内是减函数,则实数a的取值范围是 ; (2)log30.3 log52.(填 “>”“<”或 “=”) 答案 (1)(- 2,-1)∪(1,2) (2)< 课堂·重难突破 探究一 比较大小 【例1】比较下列各组数的大小: (1)log2π与log20.9;(2)log20.3与log0.20.3; (3)log0.76与60.7;(4)log25与log35. 分析 比较对数值的大小,主要依据对数函数的单调 性,同底时相应的对数函数可直接比较大小;不同底时,可找 中间量进行比较. 解 (1)∵函数y=log2x 在区间(0,+∞)内是增函数, π>0.9, ∴log2π>log20.9. (2)∵log20.3<log21=0,log0.20.3>log0.21=0, ∴log20.3<log0.20.3. (3)∵60.7>60=1,log0.76<log0.71=0, ∴60.7>log0.76. (4)(解 法 一)函 数 y= log2x 和y=log3x 的图象如图 所示,当x>1时,y=log2x 的 图象在y=log3x 的图象上方, 这里x=5, ∴log25>log35. (解法二)∵log25= 1 log52 ,log35= 1 log53 , 又log53>log52>0, ∴log25>log35. 比较对数大小的方法 类 型 方 法 底数相同,真数不同 利用对数函数的单调性 底数不同,真数相同 1.化为同底数;2.利用图象 底数不同,真数不同 利用中间量 指数值与对数值的比较 利用中间量 【变式训练1】比较下列各组中两个值的大小: (1)ln0.3,ln2; (2)loga3.1,loga5.2(a>0,且a≠1); (3)log30.2,log40.2; (4)log3π,logπ3. 解 (1)因为函数y=lnx 是增函数,且0.3<2,所以 ln0.3<ln2. (2)当a>1时,函数y=logax 在区间(0,+∞)内是增 函数,又3.1<5.2,所以loga3.1<loga5.2; 当0<a<1时,函数y=logax 在区间(0,+∞)内是减 函数,又3.1<5.2,所以loga3.1>loga5.2. (3)因为0>log0.23>log0.24,所以 1 log0.23 < 1 log0.24 , 即log30.2<log40.2. (4)因 为 函 数 y=log3x 是 增 函 数,且 π>3,所 以 log3π>log33=1. 同理,1=logππ>logπ3,所以log3π>logπ3. 探究二 解对数不等式 【例2】(1)已知log0.5(2x)<log0.5(x-1),求x 的取 值范围; (2)若loga 2 5 <1,求实数a的取值范围. 解 (1)因为函数y=log0.5x 在区间(0,+∞)内为减函 数,所以由log0.5(2x)<log0.5(x-1), 得 2x>0, x-1>0, 2x>x-1, 解得x>1. 即x 的取值范围是(1,+∞). (2)loga 2 5 <1,即loga 2 5 <logaa,当a>1时,函数y= logax 在定义域内是增函数,所以loga 2 5 <logaa总成立; 当0<a<1时,函数y=logax 在定义域内是减函数, 24
第四章指数函数、对数函数与幂函数 由loe号<,得a<号0a<号 在区间（一∞，√2）内应是减函数，且恒大于0， 综上可知，a的取值范国为(0，号)U1,十∞)， 解得2√2≤a≤2(2+1)， l(2)2-√2a+a≥0， 延伸探究 故所求a的取值范围是[22,2(2十1)门 例2(2)政为：若log号>1，求实数a的取值范围。 ①反思感悟 判断y=logf(x)的单调性的方法：函数y= 解：1og号>1， logf(x)可看成是y=logu与u=f(x)两个简单函数 0<1 复合而成的，由复合函数单调性“同增异减”的规律即 2 log 1<loga<1=log5 log.5 可判断.另外，在求复合函数的单调性时，首先要考虑 函数的定义域 【变式训练3】求函数f(x)=loga(8-2.x-x2)的单 ae(号. 调区间. 解由8-2x一x2>0得函数f(x)的定义城是(-4， 反思感悟 2),令u=8-2x-x2=-(x十1)2+9，可知当x∈(-4， 构造函数，利用函数的单调性解对数不等式，应注 一1]时，u为增函数，x∈[一1,2)时，u为减函数 意以下几点： f(x)=loga.4w在u>0上为减函数， (1)解决与对数函数相关的问题时要遵循“定义域 ∴.函数f(x)=loga.4(8-2x一x2)的单调区间是（一4， 优先”原则； -1],[-1,2),且在区间(-4，-1]上是减函数，在区间 (2)底数不确定时要对底数进行分类讨论： 「一1,2)内是增函数 (3)为防止参数的取值范围扩大，应在求解的过程 中加上限制条件，使参数的取值范围保持不变，即进行 思想方法 同解变形 用分类讨论思想解决对数问题 【变式训练2】(1)解不等式loga,(3x)< 【典例】求函数f(x)=1og(x2-2x-3)的单调区间. loga.:(2x-1); 分析先求f(x)的定义域，再在定义域内根据复合函 (2)若-1<1og <1(a>0,且a≠1)，求实数a的取 数的单调性规律确定单调区间. 4 解令x2-2x-3>0,得x<-1或x>3. 值范围。 x>0, 设u=x2-2x-3,易知u=x2-2x-3在区间(-∞， 13x>0, 一1)内单调递减，在区间(3，十∞)内单调递增. 解(1)由题意得， 1 210,故r>2解得>2 当a>1时，y=logw在区间(0，十∞)内单调递增，故 3x>2x-1, x>-1, f(x)的单调递增区间是(3，十∞)，单调递减区间是（一∞， -1) 不等式的解集为（分+∞）： 当0<a<1时，y=logu在区间(0，十o∞)内单调递减， (2)1<oIo ∴.f(x)的单调递增区间是（一o∞，一1），单调递减区间 是(3，十∞). ①方法点睛 对于对数函数y=logx(a>0,a≠1)的单调性研 当0Ka1时>子>0<是 究，一极分a>l和0<a<1两种情况.a的取值决定 函数的单调性， 故实数a的取值范围是(0，)U(停，+∞)】 【变式训练】求函数f(x)=log(x2+1),x∈[-1,2] (a>0,a≠1)的值域. 探究三对数型复合函数的单调性 解令u=x2+1,当x∈[-1,2]时，1≤u≤5. 【例3】若函数y=log4(x2-ax十a)在区间(-∞， 当a>1时，y=logu在区间[1,5]上单调递增，故 √2)内是增函数，求实数α的取值范围. f(x)的值战为[0，log5]: 当0a<1时，y=logu在区间[1,5]上单调递减，故 解令u=x2-ar十a,则y=log!u显然为减函数，则 f(x)的值域为[log5,0]. 要使函数在区间（一∞，√2）内是增函数，则u=x2-ax十a 25
第四章 指数函数、对数函数与幂函数 由loga 2 5 <logaa,得a< 2 5 ,即0<a< 2 5 . 综上可知,a的取值范围为 0, 2 5 ∪(1,+∞). 例2(2)改为:若loga 2 5 >1,求实数a的取值范围. 解 ∵loga 2 5 >1, ∴0< 1 loga 2 5 <1,即log2 5 1<log2 5 a<1=log2 5 2 5 , ∴ 2 5 <a<1, ∴a∈ 2 5 ,1 . 构造函数,利用函数的单调性解对数不等式,应注 意以下几点: (1)解决与对数函数相关的问题时要遵循“定义域 优先”原则; (2)底数不确定时要对底数进行分类讨论; (3)为防止参数的取值范围扩大,应在求解的过程 中加上限制条件,使参数的取值范围保持不变,即进行 同解变形. 【变 式 训 练 2】 (1)解 不 等 式 log0.7 (3x)< log0.7(2x-1); (2)若-1<loga 3 4 <1(a>0,且a≠1),求实数a 的取 值范围. 解 (1)由题意得, 3x>0, 2x-1>0, 3x>2x-1, 故 x>0, x> 1 2 , x>-1, 解得x> 1 2 . 不等式的解集为 1 2 ,+∞ . (2)∵-1<loga 3 4 <1,∴loga 1 a <loga 3 4 <logaa. 当a>1时, 1 a < 3 4 <a,则a> 4 3 ; 当0<a<1时, 1 a > 3 4 >a,则0<a< 3 4 . 故实数a的取值范围是 0, 3 4 ∪ 4 3 ,+∞ . 探究三 对数型复合函数的单调性 【例3】若函数y=log1 2 (x2-ax+a)在区间(-∞, 2)内是增函数,求实数a的取值范围. 解 令u=x2-ax+a,则y=log1 2 u显然为减函数,则 要使函数在区间(-∞,2)内是增函数,则u=x2-ax+a 在区间(-∞,2)内应是减函数,且恒大于0. 则 a 2 ≥ 2, (2)2- 2a+a≥0, 解得22≤a≤2(2+1), 故所求a的取值范围是[22,2(2+1)]. 判断y=logaf(x)的单调性的方法:函数y= logaf(x)可看成是y=logau与u=f(x)两个简单函数 复合而成的,由复合函数单调性“同增异减”的规律即 可判断.另外,在求复合函数的单调性时,首先要考虑 函数的定义域. 【变式训练3】求函数f(x)=log0.4(8-2x-x2)的单 调区间. 解 由8-2x-x2>0得函数f(x)的定义域是(-4, 2),令u=8-2x-x2=-(x+1)2+9,可知当x∈(-4, -1]时,u为增函数,x∈[-1,2)时,u为减函数. ∵f(x)=log0.4u在u>0上为减函数, ∴函数f(x)=log0.4(8-2x-x2)的单调区间是(-4, -1],[-1,2),且在区间(-4,-1]上是减函数,在区间 [-1,2)内是增函数. 思 想 方 法 用分类讨论思想解决对数问题 【典例】求函数f(x)=loga(x2-2x-3)的单调区间. 分析 先求f(x)的定义域,再在定义域内根据复合函 数的单调性规律确定单调区间. 解 令x2-2x-3>0,得x<-1或x>3. 设u=x2-2x-3,易知u=x2-2x-3在区间(-∞, -1)内单调递减,在区间(3,+∞)内单调递增. 当a>1时,y=logau 在区间(0,+∞)内单调递增,故 f(x)的单调递增区间是(3,+∞),单调递减区间是(-∞, -1). 当0<a<1时,y=logau在区间(0,+∞)内单调递减, ∴f(x)的单调递增区间是(-∞,-1),单调递减区间 是(3,+∞). 对于对数函数y=logax(a>0,a≠1)的单调性研 究,一般分a>1和0<a<1两种情况.a 的取值决定 函数的单调性. 【变式训练】求函数f(x)=loga(x2+1),x∈[-1,2] (a>0,a≠1)的值域. 解 令u=x2+1,当x∈[-1,2]时,1≤u≤5. 当a>1时,y=logau 在区间[1,5]上单调递增,故 f(x)的值域为[0,loga5]; 当0<a<1时,y=logau 在区间[1,5]上单调递减,故 f(x)的值域为[loga5,0]. 25