数学 必修第二册 配人教B版 ④自然对数无底数. 答案C 其中正确说法的个数为() 7.方程(lgx)2-lgx=ln1的解是 A.1 B.2 C.3 D.0 解析，ln1=0,lgx(lgx一1)=0， 解析②④不正确.（一2）3=一8不能化对数式，nx是以 ,lgx=0或lgx=1,∴x=1或x=10 e为底数的. 答案x=10或x=1 答案B 2.下列指数式与对数式互化不正确的一组是( 8.2*5+3og✉81+lg10-- 1 A.20=1与1og21=0 解析22+5=22X25=4X5=20. &s时=2与1w2-号 1 1 设1ogm87=t,则27=81 C.1og24=2与4在=2 3=3-,.3t=-4. D.loga3=1与31=3 设lg10-8=m,则10"=10-8，∴m=一8， 答案C .原式=20-4-8=8. 3.若log拓=c,则下列关系式中正确的是( 答案8 A.b=a B.b=a 9.(1)若f(10)=x,求f(3)的值： C.b=5a" D.b=c (2)计算：2+63+3 解析由log万=c,得a=6,故b=(a)5=ax. 解(1)令t=10,则x=lgt, 答案A ∴f(t)=lgt,即f(x)=lgx .f(3)=lg3. 4方程2=的解是( (2)2t04+3=2.23+ 39=22X3+3 Ax=司 B.r= 3 24十27=51. C.x=5 D.x=9 10.设M={0,1},N={11-a,lga,2,a},是否存在实数a, 解析2r==20g=-2.=3 使M∩V={1}? 9 解若M∩N={1},则1∈N. 答案A ①若11一a=1,则a=10,于是1ga=1,这与集合 5.已知log[1og,(log2x]=0,那么x立等于() 中元素的互异性矛盾； ②若lga=1,则a=10,于是11一a=1,这与集合 A号 B. 中元素的互异性矛盾： 25 ③若2=1，则a=0,这与a>0矛盾： 1 D.35 ④若a=1,则11-a=10,lga=0,2=2,N={10, 0,2,1},于是M∩N={0,1},这与M∩N={1}矛盾. 解析：log[loga(log2x]=0, 综上可知，不存在实数a,使M∩N={1}. ∴.log3(log2.x)=1, 11.已知二次函数f(x)=(lga)x2+2x十4lga的最大值为 ∴.l0g2x=3,x=8, 3,求a的值. x克=8支= 2√2 解原数式可化为e-ketE)广ga十a 答案C ,f(x)有最大值3， 6.在对数式log可V下=b中，下列对a,b,N的限制条件 ∴.lga<0 中正确的是(） 并且二Ra十ga=3,叁理得4ga)只-3lga A.a>1,N≥0，b∈R B.a>1且a≠2，N≥0，b>0 1=0,解得ga=1或ga=-子 C.a>1且a≠2，N>0,b∈R D.a>1且a≠2，N>0,b>0 lga<0取ga=-号 解析√/N>0,√a-1>0且√a-I≠1，故N>0,a> a=10片 1,且a≠2. 16
数 学 必修 第二册 配人教B版 ④自然对数无底数. 其中正确说法的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.0 解析 ②④不正确.(-2)3=-8不能化对数式,lnx 是以 e为底数的. 答案 B 2.下列指数式与对数式互化不正确的一组是( ) A.20=1与log21=0 B.8 1 3 =2与log82= 1 3 C.log24=2与4 1 2 =2 D.log33=1与31=3 答案 C 3.若loga 5b=c,则下列关系式中正确的是( ) A.b=a5c B.b5=ac C.b=5ac D.b=c5a 解析 由loga 5b=c,得ac= 5b,故b=(ac)5=a5c. 答案 A 4.方程2 log3x = 1 4 的解是( ) A.x= 1 9 B.x= 3 3 C.x= 3 D.x=9 解析 ∵2 log3x = 1 4 =2-2,∴log3x=-2,∴x=3-2= 1 9 . 答案 A 5.已知log7[log3(log2x)]=0,那么x - 1 2 等于( ) A. 1 3 B. 1 23 C. 1 22 D. 1 33 解析 ∵log7[log3(log2x)]=0, ∴log3(log2x)=1, ∴log2x=3,∴x=8, ∴x - 1 2 =8 - 1 2 = 1 22 . 答案 C 6.在对数式loga-1 N =b中,下列对a,b,N 的限制条件 中正确的是( ) A.a>1,N≥0,b∈R B.a>1且a≠2,N≥0,b>0 C.a>1且a≠2,N>0,b∈R D.a>1且a≠2,N>0,b>0 解析 N >0, a-1>0且 a-1≠1,故 N>0,a> 1,且a≠2. 答案 C 7.方程(lgx)2-lgx=ln1的解是 . 解析 ∵ln1=0,∴lgx(lgx-1)=0, ∴lgx=0或lgx=1,∴x=1或x=10. 答案 x=10或x=1 8.2 2+log25+3log27 1 81 +lg10-8= . 解析 2 2+log25=22×2 log25=4×5=20. 设log27 1 81 =t,则27t= 1 81 , ∴33t=3-4,∴3t=-4. 设lg10-8=m,则10m =10-8,∴m=-8, ∴原式=20-4-8=8. 答案 8 9.(1)若f(10x)=x,求f(3)的值; (2)计算:2 3+log23+3 5-log39. 解 (1)令t=10x,则x=lgt, ∴f(t)=lgt,即f(x)=lgx. ∴f(3)=lg3. (2)2 3+log23+3 5-log39=23·2 log23+ 35 3 log39=23×3+ 35 9 = 24+27=51. 10.设M={0,1},N={11-a,lga,2a,a},是否存在实数a, 使M∩N={1}? 解 若M∩N={1},则1∈N. ①若11-a=1,则a=10,于是lga=1,这与集合 中元素的互异性矛盾; ②若lga=1,则a=10,于是11-a=1,这与集合 中元素的互异性矛盾; ③若2a =1,则a=0,这与a>0矛盾; ④若a=1,则11-a=10,lga=0,2a =2,N={10, 0,2,1},于是M∩N={0,1},这与M∩N={1}矛盾. 综上可知,不存在实数a,使M∩N={1}. 11.已知二次函数f(x)=(lga)x2+2x+4lga的最大值为 3,求a的值. 解 原函数式可化为f(x)=(lga)x+ 1 lga 2 - 1 lga +4lga. ∵f(x)有最大值3, ∴lga<0. 并且- 1 lga +4lga=3,整理得4(lga)2-3lga- 1=0,解得lga=1或lga=- 1 4 . ∵lga<0,∴取lga=- 1 4 . ∴a=10 - 1 4 . 16
第四章指数函数、对数函数与幂函数 4.2.2对数运算法则 课前·基础认知 一、对数的运算性质 二、换底公式 【问题思考】 【问题思考】 1我们知道，aM+w=aM·a',那么log(M·N)与 1.对数log2能否用1g2和lg3表示？能否用n2和 logM,logN有什么关系呢？ ln3表示？能否用log.2和log3表示？ 提示log(M·N)=logM十log N(a>0,a≠1，M> log.2 Ig 2 In 2 0,N>0). 提示log2-0e5g3a3 2.填空：对数运算具有运算法则 2.填空：一般地，我们有 log.(MN)=log,M+log.N, logb log.M"=alog.M, logb1og4 M log -log M-log N. 其中a>0且a≠1，b>0,c>0且c≠1，这一结果通常 被称为换底公式。 其中，a>0且a≠1，M>0,N>0,a∈R 3.做一做：loga32= 3.做一做： 解析1og,32= 1og232_log225_5log22_5 求值：(1)lg2+lg5= 1og2410g222-21og22-2 (2)1og2五= 5 答案之 答案(11(2)号 课堂·重难突破 2log32-5log2+2log33+3log32-9=2-9=-7. 探究一对数运算性质的应用 反思感悟 1.运用对数的运算性质求值时注意性质的正用和 【例1】求下列各式的值： 逆用. ag14-2g子+g7-g18: 2.对于复杂的运算式，可先化简再计算：化简问题 的常用方法：(1)“拆”：将积（商）的对数拆成两对数之 21g 2++1g 3 (2)2+1g0.36+2lg2 和（差）：(2)“收”：将同底对数的和（差）收成积（商）的 对数. (3)loga +g25+g4+, 3 【变式训练1】求下列各式的值， （4)2log2-loeg,号+log,8-5 32 (1)32 7 分析若对数的底数相同，则直接利用对数的运算性质 (2)log,35-2logs3log 7-log,1.8; 求解.注意性质的正用和逆用 (3)(lg5)2+2lg2-(lg2)2. 解(1)原式=lg(2×7)-2(1g7-1g3)十lg7-lg(3× 解(1)32=32 9 99 2)=lg2+lg7-2lg7+2lg3+lg7-2g3-lg2=0. 325)容25)容-4 2lg 2+lg 3 (2)原式=2+1g36-2+21g2 9 (2)原式=log(5×7)-2(log7-log3)+log7-log5 21g 2+1g 3 2g2+lg3=1 logs 5+logs 7-2logs 7+2logs 3+logs 7-2logs 3+1=2. 2(1g2+lg3)+2lg24lg2+2lg32 (3)原式=(1g5+lg2)(1g5-lg2)+2lg2=lg10· (3)原式=16g,号+1g(25×40+2=1og3+1g10+g号+lg4=lg(号×4=g10=1 2=-+2+2=5 探究二换底公式的应用 (4)原式=21oga2-(1og,25-1oga9)+3og,2-5 【例2】已知log1s9=a,18=5,求log645. 17
第四章 指数函数、对数函数与幂函数 4.2.2 对数运算法则 课前·基础认知 一、对数的运算性质 【问题思考】 1.我们知道,aM+N =aM ·aN ,那么loga(M ·N)与 logaM,logaN 有什么关系呢? 提示 loga(M·N)=logaM+logaN(a>0,a≠1,M> 0,N>0). 2.填空:对数运算具有运算法则 loga(MN)=logaM+logaN, logaMα=αlogaM, loga M N =logaM-logaN. 其中,a>0且a≠1,M>0,N>0,α∈R. 3.做一做: 求值:(1)lg2+lg5= ; (2)log2 34= . 答案 (1)1 (2) 2 3 二、换底公式 【问题思考】 1.对数log32能否用lg2和lg3表示? 能否用ln2和 ln3表示? 能否用loga2和loga3表示? 提示 log32= loga2 loga3 = lg2 lg3 = ln2 ln3 . 2.填空:一般地,我们有 logab= logcb logca 其中a>0且a≠1,b>0,c>0且c≠1,这一结果通常 被称为换底公式. 3.做一做:log432= . 解析 log432= log232 log24 = log225 log222= 5log22 2log22 = 5 2 . 答案 5 2 课堂·重难突破 探究一 对数运算性质的应用 【例1】求下列各式的值: (1)lg14-2lg 7 3 +lg7-lg18; (2) 2lg2+lg3 2+lg0.36+2lg2 ; (3)log3 427 3 +lg25+lg4+7 log72; (4)2log32-log3 32 9 +log38-5 2log53. 分析 若对数的底数相同,则直接利用对数的运算性质 求解.注意性质的正用和逆用. 解 (1)原式=lg(2×7)-2(lg7-lg3)+lg7-lg(32× 2)=lg2+lg7-2lg7+2lg3+lg7-2lg3-lg2=0. (2)原式= 2lg2+lg3 2+lg36-2+2lg2 = 2lg2+lg3 2(lg2+lg3)+2lg2 = 2lg2+lg3 4lg2+2lg3 = 1 2 . (3)原式=log3 3 3 4 3 +lg(25×4)+2=log33 - 1 4 +lg102+ 2=- 1 4 +2+2= 15 4 . (4)原式=2log32-(log325-log39)+3log32-5 log53 2 = 2log32-5log32+2log33+3log32-9=2-9=-7. 1.运用对数的运算性质求值时注意性质的正用和 逆用. 2.对于复杂的运算式,可先化简再计算;化简问题 的常用方法:(1)“拆”:将积(商)的对数拆成两对数之 和(差);(2)“收”:将同底对数的和(差)收成积(商)的 对数. 【变式训练1】求下列各式的值. (1)3 2-log3 2; (2)log535-2log5 7 3 +log57-log51.8; (3)(lg5)2+2lg2-(lg2)2. 解 (1)3 2-log3 2 = 32 3 log3 2= 9 (3) 2log3 2= 9 (3) log3 4= 9 4 . (2)原式=log5(5×7)-2(log57-log53)+log57-log5 9 5 = log55+log57-2log57+2log53+log57-2log53+1=2. (3)原式=(lg5+lg2)(lg5-lg2)+2lg2=lg10· lg 5 2 +lg4=lg 5 2 ×4 =lg10=1. 探究二 换底公式的应用 【例2】已知log189=a,18b=5,求log3645. 17
数学 必修 第二册 配人教B版 解法一，log1s9=a,18=5, ..logis5=b, 又+言=2.所以6g3+lg4=lg12=2.中= 12,因为3=4=c>0,所以c=25. ∴.log3645= log1s45 logis(9X5)logis9+logis5 10g1836 1og1g(18X2) 1十1og182 延伸探究 a十b _a+b 将本例中条件改为“已知a,b,c∈(0，+∞)，且3“= 182-a 1十log1s9 4=6”,求证：1-1=1 解法二，log1s9=a,18=5, 证明设3=4=6=k,则a=logk,b=logk,c= .log185=b. 1oek,则2-=log,6-loe3=le2,而 1 于是1og645=-1ogn(9X5)_=1ogn9+10gs5_a十b c a 182 2logis 18-logis9 2-a og4=log2,故1-1= c a 2b 解法三，1og189=a,18=5, 反思感悟… .lg 9=alg 18,lg 5=blg 18. 利用换底公式解题时应特别注意： log645=g45_lg(9X5) lg 9+1g 5 (1)利用换底公式可以把不同底的对数化成同底 lg 36 18221g18-1g9 的对数，要注意换底公式的正用、逆用以及变形应用. 1g9 (2)题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式 -alg 18+blg 18_a+b 与对数式统一成一种形式 2lg 18-alg 18 2-a ①反思感悟 当对数的底不相同时，要用换底公式化为同底，再 规范解答 利用对数的运算法则化简求值 对数应用题的解法 【典例】抽气机每次抽出容器内空气的60%，要使容 【变式训练2】计算(logz125+log25+logs5)(log2+ 器内的空气少于原来的0.1%，则至少要抽几次？(lg2≈ 1og2s4十log12s8). 0.3010) 舞法原天一(e+密+密（®2十 审题策略理解题意“每次抽取容器内空气的60%”， 列出相应数学表示式，利用相应知识求解 logs4 logs8 10g25 1og125 =（3log25 21og22 +3)(og2+ 2log25 log25 规范展示解：设至少抽n次可使容器内空气少于原 2log2⊥3log2 来的0.1%，原先容器中的空气体积为a. 2l0gs5 3logs5 =(3+1+号）lg5(3g2=13g5· 则a(1-60%)"<0.1%a,即0.4"<0.001，两边取常用 10g22 对数，得n·lg0.4<1g0.001, 1og25 =13. ∴>g0.001_ -3 解法二原式=(log,53+1og,252十log25)(1og12+ 1g0.4=2lg2-≈7.5， 故至少需要抽8次才能使容器内的空气少于原来的 log2+lbg,2）)=(3le5+lbge5+号oe5)cg2+log2+ 0.1%. og2=8x3+1+号)og5l6g2=3x号-18 答题模板第一步，理解题意，恰当地设未知数，建立数 学模型，即已知a'=N型，求x: 探究三换底公式与对数运算性质的综合应用 第二步，在a'=N两边取以a为底的对数，利用对数 的有关知识求值： 1,1 第三步，还原为实际问题，归纳得结论。 【例3】已知3“=4=c,且 =2,求实数c的值， b 飞失误警示 解由3=4=c,得a=logc,b=logc,所以 1.不能正确地找出数学关系式： 2.求解错误： 1 1 logac -=1og4. 3.未回扣实际问题， 课后·训练提升 基础·巩固 ①logx2=2logx;②logx2=2log.lx|: ③log(xy)=logx+log.y;④log(xy)=log|x|十 1,若a>0,且a≠1，x∈R,y∈R,且xy>0,则下列各式不 log lyl. 恒成立的是() A②④ B.①③ C.①④ D.②③ 18
数 学 必修 第二册 配人教B版 解法一 ∵log189=a,18b=5, ∴log185=b, ∴log3645= log1845 log1836 = log18(9×5) log18(18×2)= log189+log185 1+log182 = a+b 1+log18 18 9 = a+b 2-a . 解法二 ∵log189=a,18b=5, ∴log185=b. 于是log3645= log18(9×5) log18 182 9 = log189+log185 2log1818-log189 = a+b 2-a . 解法三 ∵log189=a,18b=5, ∴lg9=alg18,lg5=blg18. ∴log3645= lg45 lg36 = lg(9×5) lg 182 9 = lg9+lg5 2lg18-lg9 = alg18+blg18 2lg18-alg18 = a+b 2-a . 当对数的底不相同时,要用换底公式化为同底,再 利用对数的运算法则化简求值. 【变式训练2】计算(log2125+log425+log85)(log52+ log254+log1258). 解法一 原 式 = log253+ log225 log24 + log25 log28 log52 + log54 log525 + log58 log5125 = 3log25+ 2log25 2log22 + log25 3log22 log52+ 2log52 2log55 + 3log52 3log55 = 3+1+ 1 3 log25·(3log52)=13log25· log22 log25 =13. 解法二 原式=(log2 153+log2 252+log2 351)(log5 12+ log5 222+log5 323)= 3log25+log25+ 1 3 log25 (log52+log52+ log52)=3× 3+1+ 1 3 log25·log52=3× 13 3 =13. 探究三 换底公式与对数运算性质的综合应用 【例3】已知3a =4b=c,且 1 a + 1 b =2,求实数c的值. 解 由3a =4b =c,得a=log3c,b=log4c,所以 1 a = 1 log3c =logc3, 1 b = 1 log4c =logc4. 又 1 a + 1 b =2,所以logc3+logc4=logc12=2,即c2= 12,因为3a =4b=c>0,所以c=23. 将本例中条件改为“已知a,b,c∈(0,+∞),且3a = 4b=6c”,求证: 1 c - 1 a = 1 2b . 证明 设3a =4b =6c =k,则a=log3k,b=log4k,c= log6k,则 1 c - 1 a =logk6-logk3=logk2,而 1 2b = 1 2 ×logk4= logk4 1 2 =logk2,故 1 c - 1 a = 1 2b . 利用换底公式解题时应特别注意: (1)利用换底公式可以把不同底的对数化成同底 的对数,要注意换底公式的正用、逆用以及变形应用. (2)题目中有指数式和对数式时,要注意将指数式 与对数式统一成一种形式. 规 范 解 答 对数应用题的解法 【典例】抽气机每次抽出容器内空气的60%,要使容 器内的空气少于原来的0.1%,则至少要抽几次? (lg2≈ 0.3010) 审题策略 理解题意“每次抽取容器内空气的60%”, 列出相应数学表示式,利用相应知识求解. 规范展示 解:设至少抽n 次可使容器内空气少于原 来的0.1%,原先容器中的空气体积为a. 则a(1-60%)n <0.1%a,即0.4n <0.001,两边取常用 对数,得n·lg0.4<lg0.001, ∴n> lg0.001 lg0.4 = -3 2lg2-1 ≈7.5. 故至少需要抽8次才能使容器内的空气少于原来的 0.1%. 答题模板 第一步,理解题意,恰当地设未知数,建立数 学模型,即已知ax =N 型,求x; 第二步,在ax =N 两边取以a 为底的对数,利用对数 的有关知识求值; 第三步,还原为实际问题,归纳得结论. 1.不能正确地找出数学关系式; 2.求解错误; 3.未回扣实际问题. 课后·训练提升 基础 巩固 1.若a>0,且a≠1,x∈R,y∈R,且xy>0,则下列各式不 恒成立的是( ) ①logax2=2logax;②logax2=2loga|x|; ③loga (xy)=logax+logay;④loga (xy)=loga|x|+ loga|y|. A.②④ B.①③ C.①④ D.②③ 18
第四章指数函数、对数函数与幂函数 解析，xy>0,∴①中若x<0则不成立；③中若x<0, ∴324-b=20 y<0也不成立，故选B 答案20 答案B 7.计算：100k9-2）-1ogs8.10g,5= 2.化简：loe+be号+log:是++lce》等于( 解折10k-t)-10g,8·10g,万=10*9÷10- A.5 B.4 C.-5 D.-4 g8,31g393g2,31g39_1 解折原式=lg(×号××…×》 1 31 1g9·1g4=421g3·2g2=4-4=2 =log32=-5. 答案2 答案C 8.已知x,y∈(0,1)，若gx+lgy=lg(x十y),则lg(1 3.若lga,lgb是方程3x2+6x+1=0的两个实根，则ab的 x)+lg(1-y)= 值等于() 解析lg(x十y)=lgx十lgy=lg(xy)→x+y=xy, A.2 b. lg(1-x)+lg(1-y)=lg[(1-x)(1-y]=lg(1-x- y十xy)=lg1=0. c高 D.√1o 答案0 解析：lga,lgb是方程3x2+6x十1=0的两个实根，由 9.计算：oesE,log9+0g,W5+万-3-5. 1 根与系数的关系，得ga十lgb=-2,ab=1O0故选C 答案C 解原式=og巨·1og9+lg(W3+5-√3-后)2= 4计算：1 -21ga2·31g3+lg(3+5+3-5-2V9-5)= log÷9 1og3 A.Ig 3 B.-lg 3 -2+o2=-+-1 1 C.1g3 1 D.一1g3 10.已知a=g1+号)，6=lg(1+,用含a,6的式子表 解析 1 1 1 1 示lg2和g7. 十一 1 1=log号4+log号5-=log4+log5= log 9 1og33 解a=k1+号）=k号-g号-3g2-g76= loga2+log5-log,10-ig 3 1 a1+3）-e28-g-2-2-24g7. 102 答案C 5.已知2“=3=k(k≠1)，且2a十b=ab,则实数k的值为 联立，得方程组a=3lg2-g7, b=2-lg2-2lg7, ( A.6 B.9 e2=72a-6+2. 解得 C.12 D.18 7=7(-a-36+6> 解析，2=3=k(k≠1)， '.a=logzk,b=logsk, 拓展·提高 ∴d=le2,g=loe8. "a 8 1已知2=3,1og.3=y,则x+2y的值为 ) 2a+b=ab, A.3 B.8 号+2=ke3+e2=6w39+le2=e18-1 C.4 D.log8 .k=18 解析由2=3，得x=log23. 答案D 8 21og23 6已知3=2.3=号则3* 故x十2y=1bg,3+20g,号=1e3+oge 解析：3=2,3=弓，两边取对数得a=10e2.6 l0g23+(3log22-log23)=3. 答案A 1 logs 5=-l0g35. 2.若xlog4=1,则4十4的值为() .2a-6=2l0gs2+l0ga5=logs 20, C.2 D.1 19
第四章 指数函数、对数函数与幂函数 解析 ∵xy>0,∴①中若x<0则不成立;③中若x<0, y<0也不成立,故选B. 答案 B 2.化简:log2 1 2 +log2 2 3 +log2 3 4 +…+log2 31 32 等于( ) A.5 B.4 C.-5 D.-4 解析 原式=log2 1 2 × 2 3 × 3 4 ×…× 31 32 =log2 1 32 =-5. 答案 C 3.若lga,lgb是方程3x2+6x+1=0的两个实根,则ab的 值等于( ) A.2 B. 1 2 C. 1 100 D. 10 解析 ∵lga,lgb是方程3x2+6x+1=0的两个实根,由 根与系数的关系,得lga+lgb=-2,∴ab= 1 100 .故选C. 答案 C 4.计算: 1 log1 4 1 9 + 1 log1 5 1 3 等于( ) A.lg3 B.-lg3 C. 1 lg3 D.- 1 lg3 解析 1 log1 4 1 9 + 1 log1 5 1 3 =log1 9 1 4 +log1 3 1 5 =log94+log35= log32+log35=log310= 1 lg3 . 答案 C 5.已知2a =3b=k(k≠1),且2a+b=ab,则实数k的值为 ( ) A.6 B.9 C.12 D.18 解析 ∵2a =3b=k(k≠1), ∴a=log2k,b=log3k, ∴ 1 a =logk2, 1 b =logk3. ∵2a+b=ab, ∴ 2 b + 1 a =2logk3+logk2=logk9+logk2=logk18=1, ∴k=18. 答案 D 6.已知3a =2,3b= 1 5 ,则32a-b= . 解析 ∵3a =2,3b = 1 5 ,两边取对数得a=log32,b= log3 1 5 =-log35, ∴2a-b=2log32+log35=log320, ∴32a-b=20. 答案 20 7.计算:100 1 2lg9-lg2 -log98·log4 33= . 解析 100 1 2lg9-lg2 -log98·log4 33=10lg9 ÷10lg4 - lg8 lg9 · 1 3 lg3 lg4 = 9 4 - 3lg2 2lg3 · 1 3 lg3 2lg2 = 9 4 - 1 4 =2. 答案 2 8.已知x,y∈(0,1),若lgx+lgy=lg(x+y),则lg(1- x)+lg(1-y)= . 解析 lg(x+y)=lgx+lgy=lg(xy)⇒x+y=xy, lg(1-x)+lg(1-y)=lg[(1-x)(1-y)]=lg(1-xy+xy)=lg1=0. 答案 0 9.计算: log5 2·log79 log5 1 3 ·log7 34 +log2(3+ 5- 3- 5). 解 原式=log1 3 2·log349+log4(3+ 5- 3- 5)2= - 1 2 log32·3log23+log4(3+ 5+3- 5-2 9-5)= - 3 2 +log42=- 3 2 + 1 2 =-1. 10.已知a=lg1+ 1 7 ,b=lg1+ 1 49 ,用含a,b的式子表 示lg2和lg7. 解 a=lg1+ 1 7 =lg 8 7 =lg 23 7 =3lg2-lg7,b= lg1+ 1 49 =lg 50 49 =lg 102 2×72=2-lg2-2lg7, 联立,得方程组 a=3lg2-lg7, b=2-lg2-2lg7, 解得 lg2= 1 7 (2a-b+2), lg7= 1 7 (-a-3b+6). 拓展 提高 1.已知2x =3,log4 8 3 =y,则x+2y的值为( ) A.3 B.8 C.4 D.log48 解析 由2x =3,得x=log23. 故x+2y=log23+2log4 8 3 =log23+ 2log2 8 3 log24 = log23+(3log22-log23)=3. 答案 A 2.若xlog34=1,则4x +4-x 的值为( ) A. 8 3 B. 10 3 C.2 D.1 19
数学 必修第二册 配人教B版 1 解析“log4=1x=og4-log3. 由根与系数的关系，得lga十lgB=一(lg7十lg5)= r+r=+=8+日-号 g后g明=ga+lgB=g需明= 1 答案B 答案品 3.已知f(x)=log2.x,那么f(8)等于() 8.里氏地震震级最早是在1935年由美国加州理工学院 A分 的地震学家里克特和古腾堡共同制定的.它与震源中 B.8 心释放的能量（热能和动能）大小有关.震级M= C.18 n号 号gE-3,2,其中E(单位：》为以地震被的形式释敢 解析由x=8,得x=8后， 出的能量.如果里氏6.0级地震释放的能量相当于1 颗原子弹的能量，那么8.0级大地震所释放的能量相 则f(8)=1og,8=loe,2=7故选D 当于。 颗原子弹 答案D 解析设里氏8.0级、6.0级地震释放的能量分别为E2,E1. 4若gx-gy=,则g(行)°-g(之)）广=( 则8-6=2 E2一3， lgE,-lgE,).即lg A.3t 三10=1000，即8.0级大地宸所释放的能量相 当于1000颗原子弹的能量， C.t n台 答案1000 解析（号）'-（告）》广=8班兰-那兰=3驱子 9.已知lga,lgb是方程2x2-4x十1=0的两个根，求 lg(ab)·(logb十loga)的值. 3(lg x-lg y)=3t. 答案A 解由题设，得ga十g6=2,lga·g6=分 5.已知log29=a,log25=b,则logz75的值为( 所以lg(ab)·(logb十loga) Ab+号 =(lga+lgb)·( gb⊥ga B.b2+√a lg a Igb C.2b+a D.a =(lga+lgb).(lga)(gb)2 2 lga·lgb 解折1og:75=l1og:25+1og:3=21ogs5+1cg.3=2b+号- =(ga十lgb)· (lga+lgb)2-2lga·lgb lga·lgb 4b+a 1 2 2-2× =2X =12. 答案D 2 6.已知f(3)=4xlog23+234,则f(2)+f(4)+…十 f(28)=」 挑战·创新 解析，f(3)=4xlog23十234=4log23+234, 已知log(x2+4)+l1og.(y2+1)=log5十log(2xy-1) ∴.f(x)=4log2x+234. ∴f(2)+f(4)+…+f(28)=8X234+4×(1og22+ (a>0.a≠1)，求1og兰的值 1og24+…+l1og228)=1872+4×(1+2+…+8)= 解根据对数的运算法则，原等式可化为 1872+144=2016. log[(x2+4)·(y2+1)]=log[5(2xy-1)] 答案2016 .(x2+4)(y2+1)=5(2xy-1), 7.若方程(gx)2+(lg7+lg5)lgx十lg7·g5=0的两根 整理得x2y2+x2+4y2-10xy+9=0,① 是a,B,则a3= 配方得(xy-3)2+(x-2y)2=0. 解析方程(1gx)2+(1g7+lg5)lgx十lg7·lg5=0可 y=3, 以看成关于gx的二次方程 z=2y, 1 ,a,3是原方程的两根， “义= =2,.∴.log8之=ogs2= 31 ∴lga,lgB可以看成关于lgx的二次方程的两根. 20
数 学 必修 第二册 配人教B版 解析 ∵xlog34=1,∴x= 1 log34 =log43, ∴4x +4-x =4 log43+4 -log43=3+ 1 3 = 10 3 . 答案 B 3.已知f(x6)=log2x,那么f(8)等于( ) A. 4 3 B.8 C.18 D. 1 2 解析 由x6=8,得x=8 1 6 , 则f(8)=log28 1 6 =log22 1 2 = 1 2 .故选D. 答案 D 4.若lgx-lgy=t,则lg x 2 3 -lg y 2 3 =( ) A.3t B. 3 2 t C.t D. t 2 解析 lg x 2 3 -lg y 2 3 =3lg x 2 -3lg y 2 =3lg x y = 3(lgx-lgy)=3t. 答案 A 5.已知log29=a,log25=b,则log275的值为( ) A.b2+ a 2 B.b2+ a C.2b+a D. 4b+a 2 解析 log275=log225+log23=2log25+log23=2b+ a 2 = 4b+a 2 . 答案 D 6.已知f(3x )=4xlog23+234,则f(2)+f(4)+ … + f(28)= . 解析 ∵f(3x)=4xlog23+234=4log23x +234, ∴f(x)=4log2x+234. ∴f(2)+f(4)+…+f(28)=8×234+4×(log22+ log24+ … +log228)=1872+4× (1+2+ … +8)= 1872+144=2016. 答案 2016 7.若方程(lgx)2+(lg7+lg5)lgx+lg7·lg5=0的两根 是α,β,则αβ= . 解析 方程(lgx)2+(lg7+lg5)lgx+lg7·lg5=0可 以看成关于lgx 的二次方程. ∵α,β是原方程的两根, ∴lgα,lgβ可以看成关于lgx 的二次方程的两根. 由根与系数的关系,得lgα+lgβ=-(lg7+lg5)= lg 1 35 ,∴lgαβ=lgα+lgβ=lg 1 35 ,∴αβ= 1 35 . 答案 1 35 8.里氏地震震级最早是在1935年由美国加州理工学院 的地震学家里克特和古腾堡共同制定的.它与震源中 心释 放 的 能 量 (热 能 和 动 能)大 小 有 关.震 级 M = 2 3 lgE-3.2,其中E(单位:J)为以地震波的形式释放 出的能量.如果里氏6.0级地震释放的能量相当于1 颗原子弹的能量,那么8.0级大地震所释放的能量相 当于 颗原子弹. 解析 设里氏8.0级、6.0级地震释放的能量分别为E2,E1. 则8-6= 2 3 (lgE2-lgE1),即lg E2 E1 =3. ∴ E2 E1 =103=1000,即8.0级大地震所释放的能量相 当于1000颗原子弹的能量. 答案 1000 9.已知lga,lgb 是方程2x2 -4x+1=0的两个根,求 lg(ab)·(logab+logba)的值. 解 由题设,得lga+lgb=2,lga·lgb= 1 2 . 所以lg(ab)·(logab+logba) =(lga+lgb)· lgb lga + lga lgb =(lga+lgb)· (lga)2+(lgb)2 lga·lgb =(lga+lgb)· (lga+lgb)2-2lga·lgb lga·lgb =2× 22-2× 1 2 1 2 =12. 挑战 创新 已知loga(x2+4)+loga(y 2+1)=loga5+loga(2xy-1) (a>0,a≠1),求log8 y x 的值. 解 根据对数的运算法则,原等式可化为 loga[(x2+4)·(y 2+1)]=loga[5(2xy-1)], ∴(x2+4)(y 2+1)=5(2xy-1), 整理得x2y 2+x2+4y 2-10xy+9=0,① 配方得(xy-3)2+(x-2y)2=0. ∴ xy=3, x=2y, ∴ y x = 1 2 ,∴log8 y x =log8 1 2 =- 1 3 . 20