数学 必修第二册 配人教B版 课后·训练提升 基础·巩固 故函数y=loga.8(-x2+4x)的递减区间为(0,2]. 答案(0,2] 1.已知0<x<y<a<1,则有() 7.已知定义域为R的偶函数f(x)在区间[0，十∞)内是增 A.log.(ry)<0 B.0<log.(ry)<1 函数，且f(侵）=0，则不等式f(1gx)<0的解集是 C.1<log,(ry)<2 D.log.(ry)> 解析0<x<y<a<l,xy<a2. 解析由题意可知f(logx)<0台一 2<logx<2台 <a<1,.'.log (ry)>log a2=2. 2r<2 loga4<logx<log44 答案D 2.方程log2(x十4)=2的实数解的个数是() 答案（分，2 A.0 B.1 C.2 D.3 8.已知函数f(x)=2十logx(1≤x≤9)，则函数g(x)= 解析方程解的个数即函数y=log2(x十4)与y=2图象 2(x)+f(x2)的最大值为 ,最小值为 交点的个数，作出两函数图象，由图象易知两图象有两个 交点. 1≤x≤9， 答案C 解析由已知，得函数g(x)的定义域为 →1≤ 1x29 3.若x∈(e1,l),a=lnx,b=2lnx,c=(nx)3,则( x≤3，且g(x)=f(x)十f(x2)=(2+logar)2+2十 A.a<b<c B.c<a<b logax2=(logar)2+6logx+6. C.b<a<c D.b<c<a 则当logx=0,即x=1时，g(x)有最小值g(1)=6: 解析x∈(e1,l),∴.-1<lnx<0. 当logx=1,即x=3时，g(x)有最大值g(3)=13. .'b-a=2In x-Inx=In x<0,.'.b<a. 答案136 c-a=(In r)-In z=In r[(In r)2-1]>0, 9.已知函数f(x)满足f(x十1)=lg(2十x)-lg(-x). ∴.c>a. (1)求函数f(x)的解析式及定义域； 答案C (2)判断并证明f(x)的单调性. 4.函数y=log1(x2-2x)的单调递增区间是( 解(1)f(x+1)=lg(2+x)-lg(-x)=lg(1十1十x)- A.(1,+∞) B.(2,十∞) 1g[1-(1+x)], C.(-∞，1) D.(-∞，0) f)=g1+x)-g1-x,由任+10得 解析由x2-2x>0得x<0或x>2,又y=log1x在区 1-x>0. -1x<1 间(0，十∞)内是减函数，故函数y=l0g1(x2-2x)的单调 .f(x)的定义域为（一1,1）. 递增区间为（一∞，0）. (2)f(x)在区间（一1,1）内是增函数.证明如下： 答案D f)=g1+x-g1-)=g 5.若函数f(x)= flog.r,r>1, 是R上的增函数，则 l(8-a)x-4,x≤1 实数a的取值范围为( 令4-成-11 A.(1,+∞) B.(1,8) 1十x4_1十x2= 2(x1-x2） C.(4,8) D.[4,8) 剥h-t=1-无1-1-a-1-<0, a>1, .<tgt<gt 解析由题可得8-a>0,故4≤a<8.选D. .f(x)在区间（一1,1）内是增函数 8-a-40, 10.已知函数f(x)=log(x十1)-log(1-x)(a>0,且 a≠1). 答案D (1)求函数f(x)的定义域： 6.函数y=loga.(-x2+4x)的单调递减区间是 (2)判断函数f(x)的奇偶性，并加以证明： 解析令一x2十4x>0得0<x<4,故函数的定义域为 (3)设a=之，解不等式fu)>0 (0,4). 解(1)由题意知 x+1>0, 解得-1<x<1,所以函数 因为t=一x2十4x的递增区间为（一∞，2] 1-x>0, 26
数 学 必修 第二册 配人教B版 课后·训练提升 基础 巩固 1.已知0<x<y<a<1,则有( ) A.loga(xy)<0 B.0<loga(xy)<1 C.1<loga(xy)<2 D.loga(xy)>2 解析 ∵0<x<y<a<1,∴xy<a2. 又0<a<1,∴loga(xy)>logaa2=2. 答案 D 2.方程log2(x+4)=2x 的实数解的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 解析 方程解的个数即函数y=log2(x+4)与y=2x 图象 交点的个数,作出两函数图象,由图象易知两图象有两个 交点. 答案 C 3.若x∈(e-1,1),a=lnx,b=2lnx,c=(lnx)3,则( ) A.a<b<c B.c<a<b C.b<a<c D.b<c<a 解析 ∵x∈(e-1,1),∴-1<lnx<0. ∵b-a=2lnx-lnx=lnx<0,∴b<a. 又c-a=(lnx)3-lnx=lnx[(lnx)2-1]>0, ∴c>a. 答案 C 4.函数y=log1 π (x2-2x)的单调递增区间是( ) A.(1,+∞) B.(2,+∞) C.(-∞,1) D.(-∞,0) 解析 由x2-2x>0得x<0或x>2,又y=log1 π x 在区 间(0,+∞)内是减函数,故函数y=log1 π (x2-2x)的单调 递增区间为(-∞,0). 答案 D 5.若函数f(x)= logax,x>1, (8-a)x-4,x≤1 是 R上的增函数,则 实数a的取值范围为( ) A.(1,+∞) B.(1,8) C.(4,8) D.[4,8) 解析 由题可得 a>1, 8-a>0, 8-a-4≤0, 故4≤a<8.选D. 答案 D 6.函 数 y =log0.8 (-x2 +4x)的 单 调 递 减 区 间 是 . 解析 令-x2+4x>0得0<x<4,故函数的定义域为 (0,4). 因为t=-x2+4x 的递增区间为(-∞,2], 故函数y=log0.8(-x2+4x)的递减区间为(0,2]. 答案 (0,2] 7.已知定义域为R的偶函数f(x)在区间[0,+∞)内是增 函数,且f 1 2 =0,则不等式f(log4x)<0的解集是 . 解析 由题意可知f(log4x)<0⇔- 1 2 <log4x< 1 2 ⇔ log44 - 1 2 <log4x<log44 1 2 ⇔ 1 2 <x<2. 答案 1 2 ,2 8.已知函数f(x)=2+log3x(1≤x≤9),则函数g(x)= f 2(x)+f (x2 )的 最 大 值 为 ,最 小 值 为 . 解析 由已知,得函数g(x)的定义域为 1≤x≤9, 1≤x2≤9 ⇒1≤ x≤3,且g(x)=f 2(x)+f(x2)=(2+log3x)2+2+ log3x2=(log3x)2+6log3x+6. 则当log3x=0,即x=1时,g(x)有最小值g(1)=6; 当log3x=1,即x=3时,g(x)有最大值g(3)=13. 答案 13 6 9.已知函数f(x)满足f(x+1)=lg(2+x)-lg(-x). (1)求函数f(x)的解析式及定义域; (2)判断并证明f(x)的单调性. 解 (1)f(x+1)=lg(2+x)-lg(-x)=lg(1+1+x)- lg[1-(1+x)], ∴f(x)=lg(1+x)-lg(1-x),由 x+1>0, 1-x>0, 得 -1<x<1, ∴f(x)的定义域为(-1,1). (2)f(x)在区间(-1,1)内是增函数.证明如下: f(x)=lg(1+x)-lg(1-x)=lg 1+x 1-x , 令t= 1+x 1-x ,设-1<x1<x2<1, 则t1-t2= 1+x1 1-x1 - 1+x2 1-x2 = 2(x1-x2) (1-x1)(1-x2)<0, ∴t1<t2,∴lgt1<lgt2, ∴f(x)在区间(-1,1)内是增函数. 10.已知函数f(x)=loga(x+1)-loga(1-x)(a>0,且 a≠1). (1)求函数f(x)的定义域; (2)判断函数f(x)的奇偶性,并加以证明; (3)设a= 1 2 ,解不等式f(x)>0. 解 (1)由题意知 x+1>0, 1-x>0, 解得-1<x<1,所以函数 26
第四章指数函数、对数函数与幂函数 f(x)的定义域为(-1,1). 答案D (2)函数f(x)为奇函数 3.若函数f(x)=xn(x十√a2+xZ)为偶函数，则a的值为 证明如下：由(1)知函数f(x)的定义域为（一1,1）， () 对任意x∈(-1,1)，f(-x)=log(-x十1)-log[1- A.0 B.1 C.-1D.1或-1 (-x)]=-[log(x十1)-log(1-x)]=-f(x),所以 函数f(x)是奇函数. 解析f(x)为偶函数，f(-x)一f(x)=0, (3)由题意知log4(x十1)>log4(1-x),则有 即-xln(-x十√a+x)-xln(x十√a+x)=0, x+1>0, ∴.ln(x+√a2+x)+ln(-x+√a2+xZ)=0, 1-x>0, 解得-1<x<0,所以不等式f(x)>0的 .ln[(x+√a+x)(-x+√a+x)]=0, x+1<1-x, 即lna2=0. 解集为{x|-1<x<0. .a2=1,a=士1，故选D 拓展·提高 答案D 4.已知函数f(x)=log.(2r十b-1)(a>0,a≠1)的图象如 1.若0<a<1,且函数f(x)=|logx|,则下列各式中成立 图所示，则a,b满足的关系是( 的是( Af2>f(3)>f() Bf()>f(传)>f2) cf(3)>f2>f(4) A.0a-1<b<1 B.0<b<a-1<1 nf（日)>f2>(传) C.0<b-1<a<1 D.0<a-l<b-l<1 解析令g(x)=2十b一1，这是一个增函数，而由图象可 解析f(x)=|logx|的图象如图所示，当0<x<1时， 知函数f(x)=logg(x)是单调递增的，所以必有a>1. f(x)为减函数」 又由图象知函数图象与y轴交点的纵坐标介于一1 和0之间，即一1<f(0)<0,所以一1<1ogb<0, 故a1<b<1,因此0<a1<b<1. 答案A 5.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，十∞) >…传）f得) 内单调递增.若实数a满足f(log2a)十f(log1a)≤2f(1), 又f2)=log2l=-1g2=log2=f(号）， 则a的取值范围是( A.[1,2] >()<f(兮)故选B n(o. c层 D.(0,2] 答案B l0g2x,x>0, 解析f(log1a)=f(-log2a)=f(log2a), 2.已知函数f(x)= log (-r),<0, 若f(a)>f(-a), ∴.原不等式可化为f(log2a)≤f(1). 则实数a的取值范围是( 又f(x)在区间[0，十∞)内单调递增， A(-1,0)U(0,1) .0≤loga≤1，即1≤a≤2. B.(-0∞，-1)U(1,+∞) :f(x)是偶函数，f(log2a)≤f(-1) C.(-∞，-1)U(0,1) 又f(x)在区间（一∞，0]上单调递减， D.(-1,0)U(1,+∞) -1ea02a1 解析∫(x)的图象如图所示，则f(x)是奇函数，由 f(a)>f(-a),得2f(a)>0,从图象可知a的取值范图 综上可知，<a<2 是（一1,0）U(1.+∞).故选D 答案C [2a+In x,x>1, 6.已知函数f(x)= a+1-x2,x≤1 的值域为R,则实数a 的取值范围是 解析由题意知，当x>1时，f(x)=2a十lnx>2a; 27
第四章 指数函数、对数函数与幂函数 f(x)的定义域为(-1,1). (2)函数f(x)为奇函数. 证明如下:由(1)知函数f(x)的定义域为(-1,1), 对任意x∈(-1,1),f(-x)=loga(-x+1)-loga[1- (-x)]=-[loga(x+1)-loga(1-x)]=-f(x),所以 函数f(x)是奇函数. (3)由题意知log1 2 (x+1)>log1 2 (1-x),则有 x+1>0, 1-x>0, x+1<1-x, 解得-1<x<0,所以不等式f(x)>0的 解集为{x|-1<x<0}. 拓展 提高 1.若0<a<1,且函数f(x)=|logax|,则下列各式中成立 的是( ) A.f(2)>f 1 3 >f 1 4 B.f 1 4 >f 1 3 >f(2) C.f 1 3 >f(2)>f 1 4 D.f 1 4 >f(2)>f 1 3 解析 f(x)=|logax|的图象如图所示,当0<x<1时, f(x)为减函数. ∵ 1 3 > 1 4 ,∴f 1 3 <f 1 4 . 又f(2)=|loga2|=-loga2=loga 1 2 =f 1 2 , ∵ 1 2 > 1 3 ,∴f 1 2 <f 1 3 .故选B. 答案 B 2.已知函数f(x)= log2x,x>0, log1 2 (-x),x<0, 若f(a)>f(-a), 则实数a的取值范围是( ) A.(-1,0)∪(0,1) B.(-∞,-1)∪(1,+∞) C.(-∞,-1)∪(0,1) D.(-1,0)∪(1,+∞) 解析 f(x)的 图 象 如 图 所 示,则 f(x)是 奇 函 数,由 f(a)>f(-a),得2f(a)>0,从图象可知a 的取值范围 是(-1,0)∪(1,+∞),故选D. 答案 D 3.若函数f(x)=xln(x+ a2+x2 )为偶函数,则a的值为 ( ) A.0 B.1 C.-1 D.1或-1 解析 ∵f(x)为偶函数,∴f(-x)-f(x)=0, 即-xln(-x+ a2+x2)-xln(x+ a2+x2)=0, ∴ln(x+ a2+x2 )+ln(-x+ a2+x2 )=0, ∴ln[(x+ a2+x2 )(-x+ a2+x2 )]=0, 即lna2=0. ∴a2=1,a=±1,故选D. 答案 D 4.已知函数f(x)=loga(2x +b-1)(a>0,a≠1)的图象如 图所示,则a,b满足的关系是( ) A.0<a-1<b<1 B.0<b<a-1<1 C.0<b-1<a<1 D.0<a-1<b-1<1 解析 令g(x)=2x +b-1,这是一个增函数,而由图象可 知函数f(x)=logag(x)是单调递增的,所以必有a>1. 又由图象知函数图象与y 轴交点的纵坐标介于-1 和0之间,即-1<f(0)<0,所以-1<logab<0, 故a-1<b<1,因此0<a-1<b<1. 答案 A 5.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间[0,+∞) 内单调递增.若实数a满足f(log2a)+f(log1 2 a)≤2f(1), 则a的取值范围是( ) A.[1,2] B.0, 1 2 C. 1 2 ,2 D.(0,2] 解析 ∵f(log1 2 a)=f(-log2a)=f(log2a), ∴原不等式可化为f(log2a)≤f(1). 又f(x)在区间[0,+∞)内单调递增, ∴0≤log2a≤1,即1≤a≤2. ∵f(x)是偶函数,∴f(log2a)≤f(-1). 又f(x)在区间(-∞,0]上单调递减, ∴-1≤log2a≤0,∴ 1 2 ≤a≤1. 综上可知, 1 2 ≤a≤2. 答案 C 6.已知函数f(x)= 2a+lnx,x>1, a+1-x2,x≤1 的值域为R,则实数a 的取值范围是 . 解析 由题意知,当x>1时,f(x)=2a+lnx>2a; 27
数学 必修第二册 配人教B版 当x≤1时，f(x)=a十1-x2≤a十1. 设==1+2=1十 要使函数f(x)的值战为R,需满足2a≤a十1，即 x-1x-1 x-1 a≤1. 答案(-∞，1] 六当1>x>1时，41-=2 2 x1-1x2-1 2(x2-x1) 7.已知函数f(x)=(仔/ -logar,0<a<b<c, m1-1)(a,-D<0t1<t f(a)f(b)f(c)<0,实数d是函数f(x)的一个零点，给 当a>1时，logt1<logt2 即f(x1)<f(x2), 出下列四个判断： .当a>1时，f(x)在区间(1，十∞)内是减函数. ①d<a:②d>b:③d<c;④d>c. 同理当0<a<1时，f(x)在区间(1，十∞)内是增函数. 其中可能成立的是一.（填序号） 解析易知函数f(x)在区间(0，十∞)内单调递减. (8当a=2时：fr)=l当站合2)可知， 因为0<a<b<c,f(a)f(b)f(c)<0,所以若 f(x)在区间[3,5]上是减函数，故f(5)≤f(x)≤f(3), f(a)<0,则必有f(b)<0,f(c)<0,又f(d)=0,所以 da,此时①成立； 即log:2≤fx)≤1. 3 若f(b)0,则必有f(a)0,f(c)<0,此时da: 若f(c)<0,则可以f(a)>0,f(b)>0或f(a)<0, 所以f)在区间[3.5]上的值线为[o影2] f(b)<0,当f(a)<0,f(b)<0时，d<a, 挑战·创新 当f(a)>0,f(b)>0时，因为f(d)=0,所以b< d<c,此时②③成立. 已知函数f(x)=logx(a>0,a≠1)，且f(3)-f(2)=1. 综上可知，可能成立的是①②③ (1)若f(3m-2)<f(2m+5),求实数m的取值范围； 答案①②③ (2)求使f:-）=og7成立的x的值 8.已知函数fx)=log 1一2x (a0,且a≠1，m≠1)是奇函数 x-1 解因为f(3)-f(2)=1,即log3-log2=log2=1, 3 (1)求实数m的值； 所以a= 3 (2)探究函数f(x)在区间(1，十∞)内的单调性： (3)若a=2,试求函数f(x)在区间[3,5]上的值域. 3m-2>0. 解(1)由已知条件得f(一x)十f(x)=0对定义域中的 2 (1)由已知可得{2m十5>0， 所以<m<7. x均成立 3m-2<2m十5， .x十1 .log tlos=0即十中.， (2由f(-2）=1g:7, 7 -x-1x-1 ∴m2x2-1=x2-1对定义域中的x均成立. 印1ek-2）=e子所以x-2-子 7 ∴m2=1,即m=1(舍去)或m=-1. 1十x (2)由(1)得f(x)=log- 解得1=之或=4 4.3指数函数与对数函数的关系 课前·基础认知 一、反函数 3.填空：一般地，如果在函数y=f(x)中，给定值域中 【问题思考】 任意一个y的值，只有唯二的x与之对应，那么工是y的 1.函数y=log2x的解析式可看作由y=2的解析式 函数，这个函数称为y=f(x)的反函数.此时，称y=f(x) 怎样变换得到？ 存在反函数.而且，如果函数的自变量仍用x表示，因变量 提示y=2“对调x以 =2化为对数式 仍用y表示，则函数y=f(x)的反函数的表达式，可以通 y=logzx. 过对调y=f(x)中的x与y,然后从x=f(y)中求出y 2.函数y=a'与y=logx(a>0,且a≠1)的定义域 得到. 值域有何关系？ 4.做一做：函数y=2x的反函数是」 提示函数y=a'的定义域和值域恰为y=logx的值 域和定义域。 答案y=之 28
数 学 必修 第二册 配人教B版 当x≤1时,f(x)=a+1-x2≤a+1. 要使函数f(x)的值域为 R,需满足2a≤a+1,即 a≤1. 答案 (-∞,1] 7.已 知 函 数 f (x)= 1 3 x -log2x,0<a <b <c, f(a)f(b)f(c)<0,实数d 是函数f(x)的一个零点,给 出下列四个判断: ①d<a;②d>b;③d<c;④d>c. 其中可能成立的是 .(填序号) 解析 易知函数f(x)在区间(0,+∞)内单调递减. 因为0<a<b<c,f(a)f(b)f(c)<0,所以若 f(a)<0,则必有f(b)<0,f(c)<0,又f(d)=0,所以 d<a,此时①成立; 若f(b)<0,则必有f(a)<0,f(c)<0,此时d<a; 若f(c)<0,则可以f(a)>0,f(b)>0或f(a)<0, f(b)<0,当f(a)<0,f(b)<0时,d<a, 当f(a)>0,f(b)>0时,因为f(d)=0,所以b< d<c,此时②③成立. 综上可知,可能成立的是①②③. 答案 ①②③ 8.已知函数f(x)=loga 1-mx x-1 (a>0,且a≠1,m≠1)是奇函数. (1)求实数m 的值; (2)探究函数f(x)在区间(1,+∞)内的单调性; (3)若a=2,试求函数f(x)在区间[3,5]上的值域. 解 (1)由已知条件得f(-x)+f(x)=0对定义域中的 x 均成立. ∴loga mx+1 -x-1 +loga 1-mx x-1 =0,即 mx+1 -x-1 · 1-mx x-1 =1, ∴m2x2-1=x2-1对定义域中的x 均成立. ∴m2=1,即m=1(舍去)或m=-1. (2)由(1)得f(x)=loga 1+x x-1 . 设t= x+1 x-1 = x-1+2 x-1 =1+ 2 x-1 , ∴当 x1 >x2 >1 时,t1 -t2 = 2 x1-1 - 2 x2-1 = 2(x2-x1) (x1-1)(x2-1)<0,∴t1<t2. 当a>1时,logat1<logat2, 即f(x1)<f(x2), ∴当a>1时,f(x)在区间(1,+∞)内是减函数. 同理当0<a<1时,f(x)在区间(1,+∞)内是增函数. (3)当a=2时,f(x)=log2 1+x x-1 ,结合(2)可知, f(x)在区间[3,5]上是减函数,故f(5)≤f(x)≤f(3), 即log2 3 2 ≤f(x)≤1. 所以f(x)在区间[3,5]上的值域为 log2 3 2 ,1 . 挑战 创新 已知函数f(x)=logax(a>0,a≠1),且f(3)-f(2)=1. (1)若f(3m-2)<f(2m+5),求实数m 的取值范围; (2)求使f x- 2 x =log3 2 7 2 成立的x 的值. 解 因为f(3)-f(2)=1,即loga3-loga2=loga 3 2 =1, 所以a= 3 2 . (1)由已知可得 3m-2>0, 2m+5>0, 3m-2<2m+5, 所以 2 3 <m<7. (2)由f x- 2 x =log3 2 7 2 , 即log3 2 x- 2 x =log3 2 7 2 ,所以x- 2 x = 7 2 . 解得x=- 1 2 或x=4. 4.3 指数函数与对数函数的关系 课前·基础认知 一、反函数 【问题思考】 1.函数y=log2x 的解析式可看作由y=2x 的解析式 怎样变换得到? 提示 y=2x 对调x,y→x=2y 化为对数式 →y=log2x. 2.函数y=ax 与y=logax(a>0,且a≠1)的定义域、 值域有何关系? 提示 函数y=ax 的定义域和值域恰为y=logax 的值 域和定义域. 3.填空:一般地,如果在函数y=f(x)中,给定值域中 任意一个y的值,只有唯一的x 与之对应,那么x 是y 的 函数,这个函数称为y=f(x)的反函数.此时,称y=f(x) 存在反函数.而且,如果函数的自变量仍用x 表示,因变量 仍用y表示,则函数y=f(x)的反函数的表达式,可以通 过对调y=f(x)中的x 与y,然后从x=f(y)中求出y 得到. 4.做一做:函数y=2x 的反函数是 . 答案 y= 1 2 x 28
第四章指数函数、对数函数与幂函数 二、函数与其反函数图象之间的关系 值域相同，y=f(x)的值域与y=f-(x)的定义域相同， 【问题思考】 y=f(x)与y=f-(x)的图象关于直线y=x对称 1.在同一坐标系内作出y=10和y=lgx的图象，你 3.做一做：(1)若y=2的定义域为[1,5]，则y=log2 能观察到它们的图象有什么关系？ 的值域为 提示关于直线y=x对称 (2)若点(5,3)在y=f(x)的图象上，则点 2.填空：一般地，函数y=f(x)的反函数记作y= 必在y=f(x)的图象上 f-1(x).值得注意的是，y=f(x)的定义域与y=f-(x)的 答案(1)[1,5](2)(3,5) 课堂 重难突破 反思感悟 探究一 求反函数 由互为反函数图象间的关系可得，若点(x0,y)在 【例1】求下列函数的反函数： 函数y=f(x)的图象上，则(yo,xo)必在其反函数y f-1(x)的图象上 1y=1ogx:(2y=(得）广：63y=r<0. 【变式训练2】若函数f(.x)=log(x十b)(a>0,a≠ 分析由y=f(x)入手，用y表示出x,再互换x,y, 1)的图象过点(2,1)，其反函数的图象过点(2,8)，则a十b= 最后标明反函数的定义域 解(1)由y=log2x得x=2,所以f-1(x)=2, 解析由题意知，点(2,1)和(8,2)都在f(x)的图象 (2)由y=(兮）)'得x=1g4y且>0， log(2+b)=l'即2+b=a: b=1,a+b=4 g（8十b)=2,8十b=a2解将/a 上，故 所以f1(x)=log号x(x>0). 答案4 (3)由y=x2得x=士√. 探究三反函数性质的综合应用 因为x0,所以x=一√y. 所以f-1(x)=-丘(x≥0)， 【例3】已知x1是方程x十lgx=3的一个根，x2是方 ①反思感悟 程x十10=3的一个根，则x1十x2的值是() 求反函数的一叔步骤 A.6 B.3 C.2 D.1 (I)求值域：由函数y=f(x)求y的范围。 分析两方程分别化为gx=3一x,10=3一x.令 (2)解出x:由y=f(x)解出x=f-1(y).若求出 f(x)=lgx,g(x)=10F,h(x)=3-x,把三个函数图象画 的x不唯一，则要根据条件中工的取值范围决定取舍， 在同一坐标系中，则x1,x2分别是直线h(x)与f(x),g(x) 只取一个 图象交点的横坐标，注意f(x)与g(x)互为反函数. (3)得反函数：将x,y互换得y=f-(x),注明定 解析将已知的两个方程变形得lgx=3一x,10= 义城得反函数 3—工 令f(x)=lgx,g(x)=10,h(x)=3-x,如图所示. 【变式训练1】求下列函数的反函数： (1)y=log4(x-1):(2)y=0.2+1(x≤1). 解ay=(兮）广+1∈R: (2)y=logo.2(x-1),x∈1.2，十∞) 探究二互为反函数的两函数图象间的关系 记g(x)与h(x)图象的交点为A(x1y1),f(x)与 h(x)图象的交点为B(x2y2),利用函数的性质易知A,B 及其性质 两点关于直线y=x对称，便有x1=y2,x2=y1的结论. 将点A坐标代入直线方程，得y1=3一x1,再将y1= 【例2】若点A(1,2)既在函数f(x)=√ax+b的图象 x2代入上式，得x2=3-x1,即x1十x2=3.故选B. 上，又在f(x)的反函数的图象上，求实数a,b的值 答案B 解由题意及互为反函数图象间的关系可知，点(1,2)， 3延伸探究 (2,1)都在y=f(x)的图象上， 将本例中“lgx”改为log2x”,“10”改为“2”，求x1十 中1解释公=3 x2的值 故 √2a+b=1, b=7. 解将方程整理得2=一x十3，l0g2.x=一x十3. 29
第四章 指数函数、对数函数与幂函数 二、函数与其反函数图象之间的关系 【问题思考】 1.在同一坐标系内作出y=10x 和y=lgx 的图象,你 能观察到它们的图象有什么关系? 提示 关于直线y=x 对称. 2.填空:一般地,函数y=f(x)的反函数记作y= f -1(x).值得注意的是,y=f(x)的定义域与y=f -1(x)的 值域相同,y=f(x)的值域与y=f -1(x)的定义域相同, y=f(x)与y=f -1(x)的图象关于直线y=x 对称. 3.做一做:(1)若y=2x 的定义域为[1,5],则y=log2x 的值域为 . (2)若点(5,3)在y=f -1(x)的图象上,则点 必在y=f(x)的图象上. 答案 (1)[1,5] (2)(3,5) 课堂·重难突破 探究一 求反函数 【例1】求下列函数的反函数: (1)y=log2x;(2)y= 1 3 x ;(3)y=x2(x≤0). 分析 由y=f(x)入手,用y 表示出x,再互换x,y, 最后标明反函数的定义域. 解 (1)由y=log2x 得x=2y,所以f -1(x)=2x . (2)由y= 1 3 x 得x=log1 3 y且y>0, 所以f -1(x)=log1 3 x(x>0). (3)由y=x2 得x=± y. 因为x≤0,所以x=- y. 所以f -1(x)=- x(x≥0). 求反函数的一般步骤 (1)求值域:由函数y=f(x)求y的范围. (2)解出x:由y=f(x)解出x=f -1(y).若求出 的x 不唯一,则要根据条件中x 的取值范围决定取舍, 只取一个. (3)得反函数:将x,y互换得y=f -1(x),注明定 义域得反函数. 【变式训练1】求下列函数的反函数: (1)y=log1 3 (x-1);(2)y=0.2x +1(x≤1). 解 (1)y= 1 3 x +1(x∈R); (2)y=log0.2(x-1),x∈[1.2,+∞). 探究二 互为反函数的两函数图象间的关系 及其性质 【例2】若点A(1,2)既在函数f(x)= ax+b的图象 上,又在f(x)的反函数的图象上,求实数a,b的值. 解 由题意及互为反函数图象间的关系可知,点(1,2), (2,1)都在y=f(x)的图象上, 故 a+b=2, 2a+b=1, 即 a+b=4, 2a+b=1, 解得 a=-3, b=7. 由互为反函数图象间的关系可得,若点(x0,y0)在 函数y=f(x)的图象上,则(y0,x0)必在其反函数y= f -1(x)的图象上. 【变式训练2】若函数f(x)=loga(x+b)(a>0,a≠ 1)的图象过点(2,1),其反函数的图象过点(2,8),则a+b= . 解析 由题意知,点(2,1)和(8,2)都在f(x)的图象 上,故 loga(2+b)=1, loga(8+b)=2, 即 2+b=a, 8+b=a2. 解得 a=3, b=1, a+b=4. 答案 4 探究三 反函数性质的综合应用 【例3】已知x1 是方程x+lgx=3的一个根,x2 是方 程x+10x =3的一个根,则x1+x2 的值是( ) A.6 B.3 C.2 D.1 分析 两方程分别化为lgx=3-x,10x =3-x.令 f(x)=lgx,g(x)=10x,h(x)=3-x.把三个函数图象画 在同一坐标系中,则x1,x2 分别是直线h(x)与f(x),g(x) 图象交点的横坐标,注意f(x)与g(x)互为反函数. 解析 将已知的两个方程变形得lgx=3-x,10x = 3-x. 令f(x)=lgx,g(x)=10x,h(x)=3-x,如图所示. 记g(x)与h(x)图象的交点为 A(x1,y1),f(x)与 h(x)图象的交点为B(x2,y2),利用函数的性质易知A,B 两点关于直线y=x 对称,便有x1=y2,x2=y1 的结论. 将点A 坐标代入直线方程,得y1=3-x1,再将y1= x2 代入上式,得x2=3-x1,即x1+x2=3.故选B. 答案 B 将本例中“lgx”改为“log2x”,“10x ”改为“2x ”,求x1+ x2 的值. 解 将方程整理得2x =-x+3,log2x=-x+3. 29
数学 必修第二册 配人教B版 如图，设a是指数函数y=2的图象与直线y=一x十 y=f-1(x十1)的图象过定点(1,2019)， 3交点A的横坐标，b是对数函数y=log2x的图象与直线 以上解答过程中都有哪些错误？出错的原因是什么？ y=一x十3交点B的横坐标 你如何改正？你如何防范？ 提示错在误认为f(x十1)与f-1(x十1)互为反函数. =log- 正解：g(x)的图象过定点(1,2019) f(x十1)的图象过定点(2019,1). 又f(x)的图象可以看作由f(x十1)的图象向右平移 个单位长度得到的， 因为函数y=2与y=log2x互为反函数，所以它们的 ∴f(x)的图象过定点(2020,1) 图象关于直线y=x对称，由题意可得出A,B两点也关于直 ,f(x)与f-(x)互为反函数， 线y=x对称，于是A,B两点的坐标为A(a,b),B(b,a). ∴f-1(x)的图象过定点(1,2020)， 而A,B都在直线y=-x十3上，.b=-a十3（点A 再结合f-(x)与(x十1)图象的关系可知， 坐标代入)或a=-b十3（点B坐标代入），故a十b=3,即 f1(x十1)的图象过定点(0,2020). x1十x2=3. 答案(0,2020) ①反思感悟 防范措施 本题求解时应用了函数方程的思想和数形结合的方 只有互为反函数的两函数的图象才关于直线y= 法.发现y=lgx和y=10互为反函数是求解的关键. x对称，当一个函数图象变换时，另一个图象应根据对 称关系作出相应变换，这样两图象对应的函数才能仍 【变式训练3】若关于x的方程x2+x-5=0有一个 互为反函数 正根为x1,方程√反十x-5=0有一个根为x2,则x1十x2= 【变式训练】已知f(x)=a(a>0,且a≠1)， 解析x2=-x十5，√丘=-x十5，设y1=x2(x≥0) f1(2)<0,则f-(x十1)的图象可能是( y2=√丘，则y1与y2互为反函数，其图象关于y=x直线对 称，故x1十x2=5. 答案5 易错辨析 解析f(x)=a2,f-1(x)=-logx 对反函数定义理解不透致误 由f-1(2)<0, 【典例】已知函数y=f(x十1)与函数y=g(x)的图 即-log2<0,log2>0, 象关于直线y=x对称，且g(x)的图象过定点(1,2019)，则 所以a>l. y=f-1(x十1)的图象过定点 f-1(x十1)=-log(x十1)(a>1),过(0,0)点 错解g(x)的图象过定点(1,2019)， 答案A y=f(x十1)的图象过定点(2019,1). 课后·训练提升 1.设f(x)=3+9,则f-(x)的定义域是( .f(2x)=In 2x=In 2+In (>0). A(0,十∞) B.(9,十∞) 答案D C.(10,+∞) D.(-∞，十0∞) 3.已知函数y=log(3-x)(0≤x<3),则它的反函数是( 解析，f(x)=3十9>9， A.y=3-3(x≥0) ∴，反函数的定义域为(9，十∞)，故选B B.y=3+3(x≤1) 答案B C.y=3+3(x≥0) 2.已知函数y=e的图象与函数y=f(x)的图象关于直线 D.y=3-3(x≤1) y=x对称，则( ) 解析由y=10g(3-x),得3-x=3, A.f(2x)=e2(x∈R) x=3-3,.有f1(x)=3-3,排除B,C B.f(2x)=n2·lnx(x>0) ,原函数中0x<3,∴.0<3-x≤3， C.f(2.x)=2e(x∈R) y=loga(3-x)≤1， D.f(2x)=In x+ln 2(>0) f-(x)的定义域为x≤1，故选D. 解析由y=e得f(x)=lnx, 答案D 30
数 学 必修 第二册 配人教B版 如图,设a是指数函数y=2x 的图象与直线y=-x+ 3交点A 的横坐标,b 是对数函数y=log2x 的图象与直线 y=-x+3交点B 的横坐标. 因为函数y=2x 与y=log2x 互为反函数,所以它们的 图象关于直线y=x对称,由题意可得出A,B 两点也关于直 线y=x对称,于是A,B 两点的坐标为A(a,b),B(b,a). 而A,B 都在直线y=-x+3上,∴b=-a+3(点A 坐标代入)或a=-b+3(点B 坐标代入),故a+b=3,即 x1+x2=3. 本题求解时应用了函数方程的思想和数形结合的方 法.发现y=lgx和y=10x 互为反函数是求解的关键. 【变式训练3】若关于x 的方程x2+x-5=0有一个 正根为x1,方程 x+x-5=0有一个根为x2,则x1+x2= . 解析 x2=-x+5,x=-x+5,设y1=x2(x≥0), y2= x,则y1 与y2 互为反函数,其图象关于y=x 直线对 称,故x1+x2=5. 答案 5 易 错 辨 析 对反函数定义理解不透致误 【典例】已知函数y=f(x+1)与函数y=g(x)的图 象关于直线y=x 对称,且g(x)的图象过定点(1,2019),则 y=f -1(x+1)的图象过定点 . 错解 ∵g(x)的图象过定点(1,2019), ∴y=f(x+1)的图象过定点(2019,1). ∴y=f -1(x+1)的图象过定点(1,2019). 以上解答过程中都有哪些错误? 出错的原因是什么? 你如何改正? 你如何防范? 提示 错在误认为f(x+1)与f -1(x+1)互为反函数. 正解 ∵g(x)的图象过定点(1,2019), ∴f(x+1)的图象过定点(2019,1). 又f(x)的图象可以看作由f(x+1)的图象向右平移 一个单位长度得到的, ∴f(x)的图象过定点(2020,1). ∵f(x)与f -1(x)互为反函数, ∴f -1(x)的图象过定点(1,2020). 再结合 f -1 (x)与 f -1 (x +1)图 象 的 关 系 可 知, f -1(x+1)的图象过定点(0,2020). 答案 (0,2020) 只有互为反函数的两函数的图象才关于直线y= x 对称,当一个函数图象变换时,另一个图象应根据对 称关系作出相应变换,这样两图象对应的函数才能仍 互为反函数. 【变式训练】已知f(x)=a-x (a>0,且a≠1), f -1(2)<0,则f -1(x+1)的图象可能是( ) 解析 f(x)=a-x,f -1(x)=-logax, 由f -1(2)<0, 即-loga2<0,loga2>0, 所以a>1. f -1(x+1)=-loga(x+1)(a>1),过(0,0)点. 答案 A 课后·训练提升 1.设f(x)=3x +9,则f -1(x)的定义域是( ) A.(0,+∞) B.(9,+∞) C.(10,+∞) D.(-∞,+∞) 解析 ∵f(x)=3x +9>9, ∴反函数的定义域为(9,+∞),故选B. 答案 B 2.已知函数y=ex 的图象与函数y=f(x)的图象关于直线 y=x 对称,则( ) A.f(2x)=e2x(x∈R) B.f(2x)=ln2·lnx(x>0) C.f(2x)=2ex(x∈R) D.f(2x)=lnx+ln2(x>0) 解析 由y=ex 得f(x)=lnx, ∴f(2x)=ln2x=ln2+lnx(x>0). 答案 D 3.已知函数y=log3(3-x)(0≤x<3),则它的反函数是( ) A.y=3-3x(x≥0) B.y=3+3x(x≤1) C.y=3+3x(x≥0) D.y=3-3x(x≤1) 解析 由y=log3(3-x),得3-x=3y, ∴x=3-3y,∴有f -1(x)=3-3x,排除B,C. ∵原函数中0≤x<3,∴0<3-x≤3, ∴y=log3(3-x)≤1, ∴f -1(x)的定义域为x≤1,故选D. 答案 D 30