第四章指数函数、对数函数与幂函数 课后·训练提升 基础：巩固 2工为偶函数.易证A,B选项中的函数既不是奇函数也 不是偶函数，而C选项中的函数为奇函数 1.已知a=20.2,b=0.402,c=0.40.6,则( 答案D A.a>b>c B.a>c>b C.c>a>b D.b>c>a 6设a=(侵).6=()c=(侵)则abc的大小送 解析由0.2<0.6,0.4<1，并结合指数函数的图象可知 系是 0.402>0.40.8,即b>c;因为a=24.2>1,b=0.40.2<1,所 以a>b. 解析因为函数y=(号)是减函数，所以（号）< 综上可知，a>b>c. 答案A (得)<（得）”=1，又a=()产>1.所以>>b 2.已知a>0,且a≠1，如果a2>a3,那么函数f(x)=a'的 答案a>c>b 图象可能是( 7.下列说法中，正确的是 (填序号) ①任取x>0,均有3>2： 半人 ②当a>0,且a≠1时，有a3>a2: ③y=(√5)是增函数： ④y=2的最小值为1： ⑤在同一平面直角坐标系中，y=2与y=2r的图象关 于y轴对称. 解析由a2>a3可得a<1,所以0<a<1,所以函数 解析任取x>0,均有3>2，即①正确：当a>1时， f(x)=a2的图象为A. 答案A a2>a2,当0<a<1时，a3<a2,②错误；y=(5)是减 函数，③错误：y=2的最小值为1，④正确；在同一平面 3.设a>0,b>0,() A.若2+2a=2+3b,则a>b 直角坐标系中，y=2与y=2=()广的图象关于y轴 B.若2+2a=2+3b,则a<b 对称，⑤正确.故正确的是①④⑤】 C.若2-2a=2-3b,则a>b 答案①④⑤ D.若2-2a=2-3b,则a<b 8.已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足 解析因为a>0.b>0,所以若2+2a=2十3b,则2十 f(x)十g(x)=a-a十2(a>0,且a≠1).若g(2)= 2a>2+2b,易知函数f(x)=2十2x在R上单调递增， a,则f(2)= 所以a>b. 解析，f(x)是奇函数，g(x)是偶函数， 答案A ∴.由f(x)十g(x)=af-ar+2, ① 4.函数f(x)=3+-x一2的零点的个数为() 得f(-x)十g(-x)=-f(x)+g(x)=ar-a'+2, A.3 B.2 C.1 D.0 ② 解析函数f(x)=3一x一2的零，点个数即函数y=3 ①十②，得g(x)=2,①-②，得f(x)=a-a. 又g(2)=a,.a=2, 与函数y=x十2的图象的交点个数，由图可知，函数 f(x)=3-x-2的零点个数为2. 六fx)=2-2,∴f(2)=2-22=5 =+2 答案只 ,设函数f)=3,gx)=(得厂 (1)在同一平面直角坐标系中作出f(x),g(x)的图象： (2)计算f(1)与g(-1),f(π)与g(-π)，f(m)与 g(一m)的值，从中你能得到什么结论？ 答案B 解(1)函数f(x),g(x)的图象如图所示： 5.下列函数为偶函数的是( g=t'fe)=3 A.f(x)=x-1 B.f()=x2+x C.f(x)=2-2 D.f(x)=2+2 解析因为f(x)=2十2，所以f(-x)=2十2= f(x),又f(x)=2+2的定义域为R,故f(x)=2r+ 11
第四章 指数函数、对数函数与幂函数 课后·训练提升 基础 巩固 1.已知a=20.2,b=0.40.2,c=0.40.6,则( ) A.a>b>c B.a>c>b C.c>a>b D.b>c>a 解析 由0.2<0.6,0.4<1,并结合指数函数的图象可知 0.40.2>0.40.6,即b>c;因为a=20.2>1,b=0.40.2<1,所 以a>b. 综上可知,a>b>c. 答案 A 2.已知a>0,且a≠1,如果a2>a3,那么函数f(x)=ax 的 图象可能是( ) 解析 由a2>a3 可得a<1,所以0<a<1,所以函数 f(x)=ax 的图象为 A. 答案 A 3.设a>0,b>0,( ) A.若2a +2a=2b+3b,则a>b B.若2a +2a=2b+3b,则a<b C.若2a -2a=2b-3b,则a>b D.若2a -2a=2b-3b,则a<b 解析 因为a>0,b>0,所以若2a +2a=2b +3b,则2a + 2a>2b+2b,易知函数f(x)=2x +2x 在 R上单调递增, 所以a>b. 答案 A 4.函数f(x)=3x -x-2的零点的个数为( ) A.3 B.2 C.1 D.0 解析 函数f(x)=3x -x-2的零点个数即函数y=3x 与函数y=x+2的图象的交点个数,由图可知,函数 f(x)=3x -x-2的零点个数为2. 答案 B 5.下列函数为偶函数的是( ) A.f(x)=x-1 B.f(x)=x2+x C.f(x)=2x -2-x D.f(x)=2x +2-x 解析 因为f(x)=2x +2-x,所以f(-x)=2-x +2x = f(x),又f(x)=2x +2-x 的定义域为 R,故f(x)=2x + 2-x 为偶函数.易证 A,B选项中的函数既不是奇函数也 不是偶函数,而C选项中的函数为奇函数. 答案 D 6.设a= 3 2 1 3 ,b= 2 3 2 3 ,c= 2 3 1 3 ,则a,b,c的大小关 系是 . 解析 因 为 函 数 y= 2 3 x 是 减 函 数,所 以 2 3 2 3 < 2 3 1 3 < 2 3 0 =1,又a= 3 2 1 3 >1,所以a>c>b. 答案 a>c>b 7.下列说法中,正确的是 .(填序号) ①任取x>0,均有3x >2x; ②当a>0,且a≠1时,有a3>a2; ③y=(3)-x 是增函数; ④y=2|x|的最小值为1; ⑤在同一平面直角坐标系中,y=2x 与y=2-x 的图象关 于y轴对称. 解析 任取x>0,均有3x >2x,即①正确;当a>1时, a3>a2,当0<a<1时,a3<a2,②错误;y=(3)-x 是减 函数,③错误;y=2|x|的最小值为1,④正确;在同一平面 直角坐标系中,y=2x 与y=2-x = 1 2 x 的图象关于y轴 对称,⑤正确.故正确的是①④⑤. 答案 ①④⑤ 8.已知定义在 R 上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足 f(x)+g(x)=ax -a-x +2(a>0,且a≠1).若g(2)= a,则f(2)= . 解析 ∵f(x)是奇函数,g(x)是偶函数, ∴由f(x)+g(x)=ax -a-x +2, ① 得f(-x)+g(-x)=-f(x)+g(x)=a-x -ax +2, ② ①+②,得g(x)=2,①-②,得f(x)=ax -a-x . 又g(2)=a,∴a=2, ∴f(x)=2x -2-x,∴f(2)=22-2-2= 15 4 . 答案 15 4 9.设函数f(x)=3x,g(x)= 1 3 x . (1)在同一平面直角坐标系中作出f(x),g(x)的图象; (2)计算f(1)与g(-1),f(π)与g(-π),f(m)与 g(-m)的值,从中你能得到什么结论? 解 (1)函数f(x),g(x)的图象如图所示: 11
数学 必修 第二册 配人教B版 2f1)=3=3g-1)=(得）=3. D.线段AB与BC 解析函数f(x)=2-川的图象为开口方向朝上，以x=1 f)=38-)=(号）'=3. 为对称轴的曲线，如图①， 当x=1时，函数取最小值1，若y=2-川=2，则 fm=3,g-m)=(）”= x=0或x=2,而函数y=2k-在区间[a,b]上的值域为 从以上计算的结果看，两个函数当自变量取值互为 相反数时，其函数值相等，即当指数函数的底数互为倒数 1.习.和任点信到有序宾氨时a6)在全 标平面内所对应点组成的图形为图②，故选C 时，函教y=a与y=(日）广 的图象关于y轴对称. 1 1 10.设函数fx)=2一2十7 (1)证明函数f(x)是奇函数： (2)证明函数f(x)在区间（一∞，十∞）内是增函数： 5 5 (3)求函数f(x)在区间[1,2]上的值域. ① ② (1)证明由题意，得x∈R,即函数的定义域关于原点对 -1 12 1-24 答案C 称，f(-x)=2一 2+1 22+-22+i xa 2.函数y=女(0<a<1)的图象的大致形状是( -(1+2)+2。-1 2十2+1=一f八x),故函数fx)为 1 2(24+1) 奇函数 (2)证明设x1,x2是（一∞，十∞）内任意两实数，且 fu)号1古计中 1 21-29 (2+1)(2+1) x1<x2,2-2<0. 又21+1>0,22+1>0， .f(x1)-f(x2)0, 解析由函数式可知当x>0时，y=a(0<a<1),当x< ∴.函数f(x)在区间（一∞，十∞）内是增函数. 0时，y=一a'(0<a<1),由函数的图象可知，大致形状是 (3)解函数f(x)在区间（一∞，十∞）内是增函数， D选项. ∴.函数f(x)在区间[1,2]上单调递增. 答案D ()()-(2- 函量)在区同[1，上的值城为[后，高引， 3若关于x的方程（传）》 一a一l=0有解，则a的取值范 围是( A.{al|0a1} 拓展·提高 B.{a|-l<a0} 1.如图所示，已知f(x)=2-,该函数在区间[a,b]上的值 C.{ala≥1} 域为[1,2]，记满足该条件的实数a,b所形成的实数对为 D.ala>0) 点P(a,b),则由点P构成的点集组成的图形为( ) 解析根据题意，结合指数通数的性质，得0<=（付）≤ 1由方程() -a-1=0有解，知（付）》 =a十1有 解，则a十1∈(0,1]，即-1<a≤0.故选B. 答案B 4.若y=f(x)是奇函数且x。(x。≠0)是y=f(x)十e(e为 无理数，e=2.71828…)的一个零点，则一x。一定是下列 A.线段AD 哪个函数的零点？() B.线段AB A.y=f(-x)e'-1 C.线段AD与线段CD B.y=f(-x)e-+l 12
数 学 必修 第二册 配人教B版 (2)f(1)=31=3,g(-1)= 1 3 -1 =3, f(π)=3π,g(-π)= 1 3 -π =3π, f(m)=3m ,g(-m)= 1 3 -m =3m . 从以上计算的结果看,两个函数当自变量取值互为 相反数时,其函数值相等,即当指数函数的底数互为倒数 时,函数y=ax 与y= 1 a x 的图象关于y轴对称. 10.设函数f(x)= 1 2 - 1 2x +1 . (1)证明函数f(x)是奇函数; (2)证明函数f(x)在区间(-∞,+∞)内是增函数; (3)求函数f(x)在区间[1,2]上的值域. (1)证明 由题意,得x∈R,即函数的定义域关于原点对 称,f(-x)= 1 2 - 1 1 2x+1 = 1 2 - 2x 2x +1 = 1-2x 2(2x +1) = -(1+2x)+2 2(2x +1) =- 1 2 + 1 2x +1 =-f(x),故函数f(x)为 奇函数. (2)证明 设x1,x2 是(-∞,+∞)内任意两实数,且 x1<x2,则f(x1)-f(x2)= 1 2 - 1 2 x1+1 - 1 2 + 1 2 x2+1 = 2 x1-2 x2 (2 x1+1)(2 x2+1) . ∵x1<x2,∴2 x1-2 x2<0. 又2 x1+1>0,2 x2+1>0, ∴f(x1)-f(x2)<0, ∴函数f(x)在区间(-∞,+∞)内是增函数. (3)解 ∵函数f(x)在区间(-∞,+∞)内是增函数, ∴函数f(x)在区间[1,2]上单调递增. ∴f(x)min=f(1)= 1 6 ,f(x)max=f(2)= 3 10 . ∴函数f(x)在区间[1,2]上的值域为 1 6 , 3 10 . 拓展 提高 1.如图所示,已知f(x)=2|x-1|,该函数在区间[a,b]上的值 域为[1,2],记满足该条件的实数a,b所形成的实数对为 点P(a,b),则由点P 构成的点集组成的图形为( ) A.线段AD B.线段AB C.线段AD 与线段CD D.线段AB 与BC 解析 函数f(x)=2|x-1|的图象为开口方向朝上,以x=1 为对称轴的曲线,如图①, 当x=1时,函数取最小值1,若y=2|x-1|=2,则 x=0或x=2,而函数y=2|x-1|在区间[a,b]上的值域为 [1,2],则 a=0, 1≤b≤2 或 0<a≤1, b=2, 则有序实数对(a,b)在坐 标平面内所对应点组成的图形为图②,故选C. 答案 C 2.函数y= xax |x| (0<a<1)的图象的大致形状是( ) 解析 由函数式可知当x>0时,y=ax(0<a<1),当x< 0时,y=-ax(0<a<1),由函数的图象可知,大致形状是 D选项. 答案 D 3.若关于x 的方程 1 3 |x| -a-1=0有解,则a 的取值范 围是( ) A.{a|0<a≤1} B.{a|-1<a≤0} C.{a|a≥1} D.{a|a>0} 解析 根据题意,结合指数函数的性质,得0<y= 1 3 |x| ≤ 1,由方程 1 3 |x| -a-1=0有解,知 1 3 |x| =a+1有 解,则a+1∈(0,1],即-1<a≤0.故选B. 答案 B 4.若y=f(x)是奇函数且x0(x0≠0)是y=f(x)+ex (e为 无理数,e=2.71828…)的一个零点,则-x0 一定是下列 哪个函数的零点? ( ) A.y=f(-x)ex -1 B.y=f(-x)e-x +1 12
第四章指数函数、对数函数与幂函数 C.y=f(r)e'-1 x∈(-1,0)时，-x∈(0,1)， D.y=f(r)e'+1 f(-x)=22+2=-fx), 解析因为f(x)是奇函数，所以f(一xo)=一f(xo),而 f(x)=-22+2z xo(x0≠0)是y=f(x)十e的一个零，点，所以f(xo)+ 22-ax∈(0,1) eo=0. f(x)= 0,x=0, 对于选项A,f(xo)e0-1=-1-1=-2≠0，排 -22+2z,x∈(-1,0). 除A: (2)当x∈(0,1)时，由复合函数的单调性可知， 对于选项B,f(xo)e+1=-e。十1≠0，排除B: f(x)=22-z在区间(0,1)内单调递减， 对于选项C,f(-xo)e0-1=-f(x0)e0-1= 1-1=0,C正确： f)e(号 对于选项D,f(-xo)e0十1=-f(xo)e0十1= ,f(x)为奇函数， 1十1=2≠0，排除D,故选C .当x∈(-1,0)时， 答案C f)e(-1.-2): 5.用min{a,b,c}表示a,b,c三个数中的最小值，设f(x)= min{2,x+2,10-x}(x≥0)，则f(x)的最大值为 综上所，fx)的值城为/)-1<fx)- 解析根据函数f(x)的意义，得函数f(x)的图象如图 或7<fu)1,或r)=0. (实线部分)所示，观察图象可知，当0≤x≤2时，f(x)= 挑战·创新 2,当2<x≤4时，f(x)=x十2，当x>4时，f(x)=10- x,易知f(x)在x=4时取得最大值，最大值为6. 已知函数f(x)=1十2十a·4',对任意的x∈(-∞，1]， f(x)>0恒成立，求实数a的取值范围。 解由题意得1十2十4·a>0在x∈(-∞，1]上恒成 y=x+2 立，即a>-1+2在x∈(-0,1]上恒成主 4 y=10-x 令g(x)=一 =2 +=-()°-（合扩= 4 01234567 -[》++ 答案6 x∈(-∞，1] 6.若函数f(x)= (2-3a)x+1,x≤是R上的减函数，则 a,x>1, (合)广'e[3+∞)， 实数a的取值范围是 解析，f(x)是R上的减函数， 令=（合）广，则h)=-(+2)》+子[2 10a1, +∞) .2-3a<0, (2-3a)+1≥a, h()在区间[号，十∞)内为减函教， 分）=-（合+）+=- 蓄案（号引 即6c(-o,-引， 7.已知f(x)为定义在区间（一1,1）内的奇函数，当x∈(0， 1)时，f(x)=22-z ga)e(-o,-] (1)求f(x)在区间(-1,1)内的解析式： ,a>g(x)恒成立， (2)求函数f(x)的值域. 解(1)：f(x)在区间(-1,1)内为奇函数，f(0)=0,当 ae(←+∞) 13
第四章 指数函数、对数函数与幂函数 C.y=f(x)ex -1 D.y=f(x)ex +1 解析 因为f(x)是奇函数,所以f(-x0)=-f(x0),而 x0(x0≠0)是y=f(x)+ex 的一个零点,所以f(x0)+ e x0=0. 对于选项 A,f(x0)e -x0 -1=-1-1=-2≠0,排 除 A; 对于选项B,f(x0)e x0+1=-e 2x0+1≠0,排除B; 对于选项 C,f(-x0)e -x0 -1=-f(x0)e -x0-1= 1-1=0,C正确; 对于选项 D,f(-x0)e -x0+1=-f(x0)e -x0 +1= 1+1=2≠0,排除D,故选C. 答案 C 5.用 min{a,b,c}表示a,b,c三个数中的最小值,设f(x)= min{2x,x+2,10-x}(x≥0),则 f(x)的最大值为 . 解析 根据函数f(x)的意义,得函数f(x)的图象如图 (实线部分)所示,观察图象可知,当0≤x≤2时,f(x)= 2x,当2<x≤4时,f(x)=x+2,当x>4时,f(x)=10- x,易知f(x)在x=4时取得最大值,最大值为6. 答案 6 6.若函数f(x)= ax,x>1, (2-3a)x+1,x≤1 是 R上的减函数,则 实数a的取值范围是 . 解析 ∵f(x)是R上的减函数, ∴ 0<a<1, 2-3a<0, (2-3a)+1≥a, 解得 2 3 <a≤ 3 4 . 答案 2 3 , 3 4 7.已知f(x)为定义在区间(-1,1)内的奇函数,当x∈(0, 1)时,f(x)=2x 2-2x . (1)求f(x)在区间(-1,1)内的解析式; (2)求函数f(x)的值域. 解 (1)∵f(x)在区间(-1,1)内为奇函数,f(0)=0,当 x∈(-1,0)时,-x∈(0,1), f(-x)=2x 2+2x =-f(x), ∴f(x)=-2x 2+2x . ∴f(x)= 2x 2-2x,x∈(0,1), 0,x=0, -2x 2+2x,x∈(-1,0). (2)当x∈ (0,1)时,由复合函数的单调性可知, f(x)=2x 2-2x 在区间(0,1)内单调递减, ∴f(x)∈ 1 2 ,1 . ∵f(x)为奇函数, ∴当x∈(-1,0)时, f(x)∈ -1,- 1 2 . 综上所述,f(x)的值域为 f(x) -1<f(x)<- 1 2 , 或 1 2 <f(x)<1,或f(x)=0 . 挑战 创新 已知函数f(x)=1+2x +a·4x,对任意的x∈(-∞,1], f(x)>0恒成立,求实数a的取值范围. 解 由题意得1+2x +4x ·a>0在x∈(-∞,1]上恒成 立,即a>- 1+2x 4x 在x∈(-∞,1]上恒成立. 令 g (x)= - 1+2x 4x = - 1 2 2x - 1 2 x = - 1 2 x + 1 2 2 + 1 4 , ∵x∈(-∞,1], ∴ 1 2 x ∈ 1 2 ,+∞ . 令t= 1 2 x ,则h(t)=- t+ 1 2 2 + 1 4 ,t∈ 1 2 , +∞ . ∵h(t)在区间 1 2 ,+∞ 内为减函数, ∴h(t)≤h 1 2 =- 1 2 + 1 2 2 + 1 4 =- 3 4 , 即h(t)∈ -∞,- 3 4 , ∴g(x)∈ -∞,- 3 4 . ∵a>g(x)恒成立, ∴a∈ - 3 4 ,+∞ . 13
数学 必修第二册 配人教B版 4.2对数与对数函数 4.2.1对数运算 课前·基础认知 一、对数的概念 2.填空：对数logN(a>0,且a≠1)的性质 【问题思考】 (1)0和负数没有对数，即V>0: 1适合3=81的x有几个值？各是什么？ (2)1的对数为0，即1og1=0: 提示一个值，4. (3)底数的对数等于1，即loga=1, 2.填空：在表达式ab=N(a>0,且a≠1，N∈(0，+o)) 3.做一做： 中，当a与N确定之后，只有唯一的b能满足这个式子，此 计算：(1)l0g.元= 时，幂指数b称为以a为底N的对数，记作b=logN,其中 (2)1og2o2w2020+log2o192019-1og2o1s1= a称为对数的底数，N称为对数的真数. 答案(1)1(2)2 3.在b=logN中，a,b,N的取值范围各是什么？ 三、对数恒等式 提示a∈(0,1)U(1,十o∞)，b∈R,N∈R. 【问题思考】 4.做一做：将下列指数式改写成对数式。 1.试求值：(1)a1,(2a a传）广=员：(22= 提示(1)a'=a=1,(2a=al=a. 2.填空：a=y,其中a>0,且a≠1，N>0. 8 1 解（1)m=log号2元.(2)-4=log16 3.做一做：(1)28=5：(2)5+2=10. 二、对数logN(a>0,且a≠1)的性质 四、常用对数与自然对数 【问题思考】 【问题思考】 1.当a>0,且a≠1时，log(-3),log.0是否存在？为 填表： 什么？ 名称 含义 简写 提示不存在.令log(-3)=b,则a0=一3， 常用对数 logioN Ig N a>0, ∴a=-3不成立，故log(一3)不存在. 自然对数 log。N In N 同理log0也不存在。 其中e=2.71828…是无理数. 课堂 ·重难突破 解得x>2,且x≠3， 探究一对数的概念 所以实数x的取值范围是(2,3)U(3,十∞). 【例1】(1)对数式lg(2x一1)中实数x的取值范围是 答案（分+∞ (2)(2,3)U(3,+∞) 延伸探究 (2)对数式log-2(x十2)中实数x的取值范围是 已知p:对数式lg(2x-1)有意义，q:对数式 l1og-2(x十2)有意义，若p,q中有且仅有一个为真，求实数 解析(1)由题意可知对数式1g(2x一1)中的真数大 x的取值范围。 于0， 即2z-1>0,解得x> 解由例1知，若p真，则x∈（分十∞）：若g真，则 x∈(2,3)U(3,十∞). 所以r的取值范国是（分，十∞）， 故p,9中有且仅有一个为真时，x的取值范国是 x十2>0. (号，2]U3. (2)由题意可得 x-2>0. x-2≠1， 14
数 学 必修 第二册 配人教B版 4.2 对数与对数函数 4.2.1 对数运算 课前·基础认知 一、对数的概念 【问题思考】 1.适合3x =81的x 有几个值? 各是什么? 提示 一个值,4. 2.填空:在表达式ab=N(a>0,且a≠1,N∈(0,+∞)) 中,当a与N 确定之后,只有唯一的b能满足这个式子,此 时,幂指数b称为以a为底N 的对数,记作b=logaN,其中 a称为对数的底数,N 称为对数的真数. 3.在b=logaN 中,a,b,N 的取值范围各是什么? 提示 a∈(0,1)∪(1,+∞),b∈R,N∈R+ . 4.做一做:将下列指数式改写成对数式. (1)1 3 m = 8 21 ;(2)2-4= 1 16 . 解 (1)m=log1 3 8 21 .(2)-4=log2 1 16 . 二、对数logaN(a>0,且a≠1)的性质 【问题思考】 1.当a>0,且a≠1时,loga(-3),loga0是否存在? 为 什么? 提示 不存在.令loga(-3)=b,则ab=-3, ∵ab>0, ∴ab=-3不成立,故loga(-3)不存在. 同理loga0也不存在. 2.填空:对数logaN(a>0,且a≠1)的性质 (1)0和负数没有对数,即N>0; (2)1的对数为0,即loga1=0; (3)底数的对数等于1,即logaa=1. 3.做一做: 计算:(1)logππ= ; (2)log20202020+log20192019-log20181= . 答案 (1)1 (2)2 三、对数恒等式 【问题思考】 1.试求值:(1)a loga1;(2)a logaa . 提示 (1)a loga1=a0=1;(2)a logaa =a1=a. 2.填空:a logaN =N,其中a>0,且a≠1,N>0. 3.做一做:(1)2 log23= 3;(2)5 1+log52=10. 四、常用对数与自然对数 【问题思考】 填表: 名称 含义 简写 常用对数 log10N lgN 自然对数 logeN lnN 其中e=2.71828…是无理数. 课堂·重难突破 探究一 对数的概念 【例1】(1)对数式lg(2x-1)中实数x 的取值范围是 ; (2)对数式log(x-2)(x+2)中实数x 的取值范围是 . 解析 (1)由题意可知对数式lg(2x-1)中的真数大 于0, 即2x-1>0,解得x> 1 2 , 所以x 的取值范围是 1 2 ,+∞ . (2)由题意可得 x+2>0, x-2>0, x-2≠1, 解得x>2,且x≠3, 所以实数x 的取值范围是(2,3)∪(3,+∞). 答案 (1)1 2 ,+∞ (2)(2,3)∪(3,+∞) 已知 p:对 数 式 lg(2x -1)有 意 义,q:对 数 式 log(x-2)(x+2)有意义,若p,q中有且仅有一个为真,求实数 x 的取值范围. 解 由例1知,若p 真,则x∈ 1 2 ,+∞ ;若q 真,则 x∈(2,3)∪(3,+∞). 故p,q 中有且仅有一个为真 时,x 的 取 值 范 围 是 1 2 ,2 ∪{3}. 14
第四章指数函数、对数函数与幂函数 ①反思感悟 .(√2-1)= 1 =2-1,∴x=1 N>0, √2+1 式子logN有意义，须 a>0,此类问题求解时的 (4)x=5s =In e=1. a≠1， 易错点是忽略对底数的限制，只考虑真数。 反思感悟 使用对数的性质时，有时需要将底数或真数变形 【变式训练1】式子log2-(x-1)中实数x的取值 后才能运用：对于有多重对数符号的，可以先把内层视 范围是 为整体，逐层使用性质」 答案（号2U2,+∞） 【变式训练3】(1)已知log2(log(logx)= loga(log,(1og2y)=0,求x十y的值： 探究二 指数式与对数式的互化 2)求值：35-2“+10+（付） 【例2】将下列指数式化为对数式、对数式化为指数式. 解(1)，1og2(1og(1og4x)=0, 15=125:(（2(日）=16： .'.loga (logax)=1, ".logr=3. (3)lg100=2:(4)lne=1. ∴.x=43=64 分析根据指、对互化公式进行. 同理可得y=24=16. 解(1)log125=3;(2)log116=-2; .x+y=80. (3)102=100:(4)e=e (2)原式=3.35-24·23+(103)2+32= ①反思感悟 3X6-16x3+9+(e)=18-48+27+=-是 a"=N log N=b ,logN=b与a=N(a>0,a≠ 易错辨析 1,N>0)是等价的，表示a,b,N三者之间的同一种关 因忽略底数的限制条件致误 系，可利用其中两个量表示第三个量。 【典例】已知log-(x2-7x十13)=0，求x的值. 【变式训练2】将下列指数式、对数式互化， 错解由题意知，x2-7x十13=1，即x2-7x十12=0， (1)10"=0.3:(2)e=10: 解得x=3或x=4. (3)logg125=6:(4)log116=-4. 以上解答过程中都有哪些错误？出错的原因是什么？ 解(1)lg0.3=m;(2)n10=k; 你如何改正？你如何防范？ 85=125:4） =16. 提示上面求解中忽略了x一2>0，且x一2≠1的限 制，应舍去不合要求的x值 x2-7x+13=1. x2-7x+12=0, 探究三对数基本性质的应用 正解由题意知，x一2>0， x>2, 【例3】求下列各式中x的值： x-2≠1， x≠3. (1)log2(1og4x)=0:(2)log3(1gx)=1: x=4 ①反思感悟 【(3)logE-)万+=x:(4)W55=x 解对数方程时应注意同解变形，也可以解出根后 分析根据loga=1,logl=0及对数恒等式求解。 再检验 解(1)：log2(logx)=0, 【变式训练】已知1og(-)x2-4x+4)=h1,求t log4x=20=1,x=4l=4 的值. (2)'.'loga (Igz)=1, 解1og(-)2-4红+4=0.x2-4红+4=1， lgx=3=3,∴x=103=1000. ∴.x2-4x十3=0，解得x=1或x=3. 1 (3)log-2+1=x, 经检验知x=3. 课后·训练提升 1.有下列说法： ②任何一个指数式都可以化成对数式： ①零和负数没有对数： ③以10为底的对数叫做常用对数： 15
第四章 指数函数、对数函数与幂函数 式子logaN 有意义,须 N>0, a>0, a≠1, 此类问题求解时的 易错点是忽略对底数的限制,只考虑真数. 【变式训练1】式子log(2x-3)(x-1)中实数x 的取值 范围是 . 答案 3 2 ,2 ∪(2,+∞) 探究二 指数式与对数式的互化 【例2】将下列指数式化为对数式、对数式化为指数式. (1)53=125;(2)1 4 -2 =16; (3)lg100=2;(4)lne=1. 分析 根据指、对互化公式进行. 解 (1)log5125=3;(2)log1 4 16=-2; (3)102=100;(4)e1=e. ,logaN=b与ab =N(a>0,a≠ 1,N>0)是等价的,表示a,b,N 三者之间的同一种关 系,可利用其中两个量表示第三个量. 【变式训练2】将下列指数式、对数式互化. (1)10m =0.3;(2)ek =10; (3)log5125=6;(4)log1 2 16=-4. 解 (1)lg0.3=m;(2)ln10=k; (3)(5)6=125;(4)1 2 -4 =16. 探究三 对数基本性质的应用 【例3】求下列各式中x 的值: (1)log2(log4x)=0;(2)log3(lgx)=1; (3)log(2-1) 1 2+1 =x;(4)5 log5 (lne) =x. 分析 根据logaa=1,loga1=0及对数恒等式求解. 解 (1)∵log2(log4x)=0, ∴log4x=20=1,∴x=41=4. (2)∵log3(lgx)=1, ∴lgx=31=3,∴x=103=1000. (3)∵log(2-1) 1 2+1 =x, ∴(2-1)x = 1 2+1 = 2-1,∴x=1. (4)x= 5 log5 lne =lne=1. 使用对数的性质时,有时需要将底数或真数变形 后才能运用;对于有多重对数符号的,可以先把内层视 为整体,逐层使用性质. 【变 式 训 练 3】(1)已 知 log2 (log3 (log4x))= log3(log4(log2y))=0,求x+y的值; (2)求值:3 1+log36-2 4+log23+103lg3+ 1 9 log34 . 解 (1)∵log2(log3(log4x))=0, ∴log3(log4x)=1, ∴log4x=3. ∴x=43=64. 同理可得y=24=16. ∴x+y=80. (2)原式=31·3 log36-24·2 log23+(10lg3)3+3 -2·log34= 3×6-16×3+33+(3 log34)-2=18-48+27+ 1 16 =- 47 16 . 易 错 辨 析 因忽略底数的限制条件致误 【典例】已知log(x-2)(x2-7x+13)=0,求x 的值. 错解 由题意知,x2-7x+13=1,即x2-7x+12=0, 解得x=3或x=4. 以上解答过程中都有哪些错误? 出错的原因是什么? 你如何改正? 你如何防范? 提示 上面求解中忽略了x-2>0,且x-2≠1的限 制,应舍去不合要求的x 值. 正解 由题意知, x2-7x+13=1, x-2>0, x-2≠1, ∴ x2-7x+12=0, x>2, x≠3. ∴x=4. 解对数方程时应注意同解变形,也可以解出根后 再检验. 【变式训练】已知logx- 3 2 (x2-4x+4)=ln1,求x 的值. 解 ∵logx- 3 2 (x2-4x+4)=0,∴x2-4x+4=1, ∴x2-4x+3=0,解得x=1或x=3. 经检验知x=3. 课后·训练提升 1.有下列说法: ①零和负数没有对数; ②任何一个指数式都可以化成对数式; ③以10为底的对数叫做常用对数; 15