数学 必修第二册 配人教B版 3.填表：指数函数的图象与性质 4做一做： 底数 a>1 0<a<1 (1)函数y=5-1的值域为 (2)函数f(x)=a-2+2(a>0,a≠1)的图象过定点 y=a y=a 图象 (3)若函数g(x)=(2m一1)'是减函数，则实数m的 ----y=1 ---=1 取值范围是 0 0 答案(1)(-1，十∞) 定义域：R (2)(2,3) 值域：(0，+∞)，即图象位于x轴上方 过定点(0,1)，即x=0时，y=1 3(分 性质 在R上是增函数 在R上是减函数 当x>0时，y>1 当x>0时，0<y<1 当x<0时，0<y≤] 当x<0时，y>1 既不是奇函数，也不是偶函数 课堂·重难突破 C.(-∞，-3)U(-3,0] 探究一指数型函数的定义域、值域 D.(-∞，-3)U(-3,1] 【例1】求下列函数的定义域和值域： (2)函数f(x)=(兮）广-1，x∈[-1,2]的值城为 0=2à，2y=个763y-(》广 分析根据函数解析式有意义可求定义域：由定义域确 解析(1)由题意得，十3>0 1-2≥0， 解得-3<x≤0.故选A 定值城. (2)x∈[-1,2]， 解(1)由x一4≠0，得x≠4.所以定义域为{x|x∈R, .今1则y=20 ()e 因为这个函数的值域为{y|y>0,且y≠1}，所以y= ()广-1e[-82 2六的值战为{yly>0,且y≠1}. 通数)-（号）广-1[-1，的值线为[-吕可 (2)令1一2≥0，则21， x0,定义域为（一∞，0] 答案(1)A 2[8 2>0,∴.0≤1-2<1， ∴.0≤y=√1-2r<1, 探究二指数函数的图象 ∴.值域为[0,1). (3)定义域为R,由x2-2x-3=(x-1)2-4>-4, 【例2】若曲线|y=2+1与直线y=b没有公共点， 求实数b的取值范围. 解由y=2+1得，y=2+1或y=-(2+1). 所以=（侵） 而y=2十1的图象与y=一(2十1)的图象关于x轴 的值域为(0,16]. 对称，y=2+1的图象是由y=2的图象向上平移1个单 反思感悟 位得到的，|y|=2十1的图象如图所示. 对于函数y=af(a>0,a≠1)，其定义域是使 f(x)有意义的x的取值范围；求其值域时，分两步进 行：(1)由定义域求出u=f(x)的值域：(2)利用指数函 数y=a“的单调性求得原函数的值域。 的 【变式训练】1)函数f(x)=V-2+1 定义域为() A.(-3,0] 故当b∈[-1,1]时，直线y=b与曲线|y|=2+1无 B.(-3,1] 公共点 6
数 学 必修 第二册 配人教B版 3.填表:指数函数的图象与性质 底数 a>1 0<a<1 图象 性质 定义域:R 值域:(0,+∞),即图象位于x 轴上方 过定点(0,1),即x=0时,y=1 在R上是增函数 在R上是减函数 当x>0时,y>1; 当x<0时,0<y<1 当x>0时,0<y<1; 当x<0时,y>1 既不是奇函数,也不是偶函数 4.做一做: (1)函数y=5x -1的值域为 ; (2)函数f(x)=ax-2+2(a>0,a≠1)的图象过定点 ; (3)若函数g(x)=(2m-1)x 是减函数,则实数m 的 取值范围是 . 答案 (1)(-1,+∞) (2)(2,3) (3)1 2 ,1 课堂·重难突破 探究一 指数型函数的定义域、值域 【例1】求下列函数的定义域和值域; (1)y=2 1 x-4;(2)y= 1-2x ;(3)y= 1 2 x 2-2x-3 . 分析 根据函数解析式有意义可求定义域;由定义域确 定值域. 解 (1)由x-4≠0,得x≠4.所以定义域为{x|x∈R, x≠4}.令 1 x-4 =t,则y=2t(t≠0). 因为这个函数的值域为{y|y>0,且y≠1},所以y= 2 1 x-4的值域为{y|y>0,且y≠1}. (2)令1-2x ≥0,则2x ≤1, ∴x≤0,∴定义域为(-∞,0]. ∵2x >0,∴0≤1-2x <1, ∴0≤y= 1-2x <1, ∴值域为[0,1). (3)定义域为R,由x2-2x-3=(x-1)2-4≥-4, 得0< 1 2 x 2-2x-3 ≤ 1 2 -4 =16. 所以y= 1 2 x 2-2x-3 的值域为(0,16]. 对于函数y=af(x)(a>0,a≠1),其定义域是使 f(x)有意义的x 的取值范围;求其值域时,分两步进 行:(1)由定义域求出u=f(x)的值域;(2)利用指数函 数y=au 的单调性求得原函数的值域. 【变式训练1】(1)函数f(x)= 1-2x + 1 x+3 的 定义域为( ) A.(-3,0] B.(-3,1] C.(-∞,-3)∪(-3,0] D.(-∞,-3)∪(-3,1] (2)函数f(x)= 1 3 x -1,x∈[-1,2]的值域为 . 解析 (1)由题意得, 1-2x ≥0, x+3>0, 解得-3<x≤0.故选A. (2)∵x∈[-1,2], ∴ 1 3 x ∈ 1 9 ,3 , ∴ 1 3 x -1∈ - 8 9 ,2 . ∴函数f(x)= 1 3 x -1,x∈[-1,2]的值域为 - 8 9 ,2 . 答案 (1)A (2) - 8 9 ,2 探究二 指数函数的图象 【例2】若曲线|y|=2x +1与直线y=b没有公共点, 求实数b的取值范围. 解 由|y|=2x +1得,y=2x +1或y=-(2x +1). 而y=2x +1的图象与y=-(2x +1)的图象关于x 轴 对称,y=2x +1的图象是由y=2x 的图象向上平移1个单 位得到的,|y|=2x +1的图象如图所示. 故当b∈[-1,1]时,直线y=b与曲线|y|=2x +1无 公共点. 6
第四章指数函数、对数函数与幂函数 ①反思感悟 求解与函数图象有关的问题的策略： 的最大值比最小值大号，求a的值。 (1)抓住特殊点：指数函数的图象过定点(0,1). 分析分a>l和0<a<1两种情况求解。 (2)巧用图象变换：函数图象的平移变换（左右平 解(1)若a>1,则f(x)在区间[1,2]上单调递增，最 移、上下平移) 大值为a2,最小值为a. (3)利用函数的性质：奇偶性与单调性. 【变式训练2】函数y=a-2a>0.a≠1)的图象可 a-a=号 解得a=号或a=0(含去》。 能是() (2)若0<a<1,则f(x)在区间[1,2]上单调递减，最大 值为a,最小值为a2. 0-3=号解得a=或a=0合去 综上所述，a的值为2或 1 ①方法点睛》 解析若a>1,则y=a-是R上的增函教，且过 由于函数f(x)=a「的底数未知，本题在求解时 (0,1-)点，01-日<1，无正确选项：若0<a<1,则 应用了分类讨论的方法，当a>1时，f(x)为增函数， 当0<a<1时，∫(x)为减函数，从而使问题降低了 难度 y=a-是R上的减函数，且过(01-)点，1-<0。 D正确. 【变式训练】求函数g(x)=a'(a>0,a≠1)，x∈ 答案D [-1,1]的最大值. 解当a>1时，g(x)在区间[-1,1]上为增函数， 思想方法 g(x)mx=g(1)=a:当0<a<1时，g(x)在区间[-1,1]上 分类讨论思想在指数函数单调性中的应用 为减函数，g(工)“=g(-1)=a1=后 【典例】函数f(x)=a(a>0,a≠1)在区间[1,2]上 课后·训练提升 1函数y=2尸-1的定义域.值域分别是( 3.函数f(x)=a-6的图象如图所示，其中a,b为常数，则 下列结论正确的是() A.R,(0,十∞) B.{xlx≠0}，{yly>-1} C.{xlx≠0}，{yly>-1,且y≠1》 D.{xlx≠0}，{yly>-1,且y≠0} 解析要使y=2分-1有意义，只需二1有意义，即 x≠0. A.a>1,b<0 B.a>1,b>0 若令u=二1-1- -,则可知u≠1，.y≠21一1=1 C.0a<1,b>0 D.0a<1,b<0 又y=2宁-1>0-1=-1函数y=2宁-1的 解析由题图可得函数为减函数， ∴.0<a<1. 定义域为{x|x≠0}，值域为{yly>-1,且y≠1}. 又图象是由y=a'的图象向左平移所得， 答案C ∴.-b>0,b<0.故选D. 2.若函数y=(a一1)在R上为减函数，则a的取值范围是 答案D () Aa>0,且a≠1 4.函数y=√2一1的定义域是() B.a>2 A.(-∞，0) B.(-,0] C.a<2 C.[0,十∞) D.(0,十∞) D.1<a<2 解析由2-1≥0，得2≥1=2°，故x≥0. 答案D 答案C
第四章 指数函数、对数函数与幂函数 求解与函数图象有关的问题的策略: (1)抓住特殊点:指数函数的图象过定点(0,1). (2)巧用图象变换:函数图象的平移变换(左右平 移、上下平移). (3)利用函数的性质:奇偶性与单调性. 【变式训练2】函数y=ax - 1 a (a>0,a≠1)的图象可 能是( ) 解析 若a>1,则y=ax - 1 a 是 R上的增函数,且过 0,1- 1 a 点,0<1- 1 a <1,无正确选项;若0<a<1,则 y=ax - 1 a 是R上的减函数,且过 0,1- 1 a 点,1- 1 a <0, D正确. 答案 D 思 想 方 法 分类讨论思想在指数函数单调性中的应用 【典例】函数f(x)=ax (a>0,a≠1)在区间[1,2]上 的最大值比最小值大 a 2 ,求a的值. 分析 分a>1和0<a<1两种情况求解. 解 (1)若a>1,则f(x)在区间[1,2]上单调递增,最 大值为a2,最小值为a. ∴a2-a= a 2 , 解得a= 3 2 或a=0(舍去). (2)若0<a<1,则f(x)在区间[1,2]上单调递减,最大 值为a,最小值为a2. ∴a-a2= a 2 ,解得a= 1 2 或a=0(舍去). 综上所述,a的值为 1 2 或 3 2 . 由于函数f(x)=ax 的底数未知,本题在求解时 应用了分类讨论的方法,当a>1时,f(x)为增函数, 当0<a<1时,f(x)为减函数,从而使问题降低了 难度. 【变式训练】求函数g(x)=ax (a>0,a≠1),x∈ [-1,1]的最大值. 解 当a>1时,g(x)在区间[-1,1]上为增函数, g(x)max=g(1)=a;当0<a<1时,g(x)在区间[-1,1]上 为减函数,g(x)max=g(-1)=a-1= 1 a . 课后·训练提升 1.函数y=2 x-1 x -1的定义域、值域分别是( ) A.R,(0,+∞) B.{x|x≠0},{y|y>-1} C.{x|x≠0},{y|y>-1,且y≠1} D.{x|x≠0},{y|y>-1,且y≠0} 解析 要使y=2 x-1 x -1 有意义,只需 x-1 x 有意义,即 x≠0. 若令u= x-1 x =1- 1 x ,则可知u≠1,∴y≠21-1=1. 又y=2 x-1 x -1>0-1=-1,∴函数y=2 x-1 x -1的 定义域为{x|x≠0},值域为{y|y>-1,且y≠1}. 答案 C 2.若函数y=(a-1)x 在R上为减函数,则a的取值范围是 ( ) A.a>0,且a≠1 B.a>2 C.a<2 D.1<a<2 答案 D 3.函数f(x)=ax-b 的图象如图所示,其中a,b为常数,则 下列结论正确的是( ) A.a>1,b<0 B.a>1,b>0 C.0<a<1,b>0 D.0<a<1,b<0 解析 由题图可得函数为减函数, ∴0<a<1. 又图象是由y=ax 的图象向左平移所得, ∴-b>0,b<0.故选D. 答案 D 4.函数y= 2x -1的定义域是( ) A.(-∞,0) B.(-∞,0] C.[0,+∞) D.(0,+∞) 解析 由2x -1≥0,得2x ≥1=20,故x≥0. 答案 C 7
数学 必修 第二册 配人教B版 5.函数f(x)=π与g(x)= ()广的图象关于( A.原点对称 B.x轴对称 C.y轴对称 D.直线y=一x对称 (2②)1)知画数为fx)=(号)(x≥0，由x≥ 解析设点(x,y)为函数f(x)=的图象上任意一点， 0,得x-1≥-1. 到点（一）为gu)==(月)广的图象上的点。 于是<()≤() =2,所以函数的值域为 因为点(x,y)与点（一x,y)关于y轴对称，所以函数 (0,2]. fu)=示与gx)=(广的图象关于y轴对称。 10已知两数)=（传） -1 答案C (1)作出f(x)的简图； (2)若关于x的方程f(x)=3m有两个解，求m的取值 6.若a>3,则函数f(x)=4(a-2)2x+6-1的图象恒过定点 范围。 的坐标是 解析a>3,a-2>1. 解(1)f(x) (号广-1≥0 令2x十6=0，得x=-3, 3-1,x<0, 则f(-3)=4(a-2)°-1=3. 其图象如图所示 故函数f(x)恒过定点的坐标是（一3,3）. 答案(-3,3) 7.函数y=√16-4F的定义域为」 x) 解析由16一4≥0，得4'≤16=42，故x≤2. 答案(-∞，2] (2)作出直线y=3m(图略)，当-1<3m<0, 8.函数g(x)=3-3(1<x≤5)的值域是 即-吉<m<0时，品数y=fx)的图象与直线 解析令u=x-3,1<x≤5，∴.-2<u≤2， y=3m有两个交，点， 3<g≤3，即gx(日，可] 即关于x的方程f(x)=3m有两个解. 11.已知-1≤x≤2，求函数f(x)=3+2×3+1-9的最大 答案（兮] 值和最小值 解设t=3,,-1≤x≤2， 9.已知函数f(x)=a一1(x≥0)的图象经过点(2,2)，其中 a>0,且a≠1 9 (1)求a的值； 则f(x)=g(t)=-(t-3)2+12, (2)求函数y=f(x)(x≥0)的值域. 故当t=3,即x=1时，f(x)取得最大值12： 解（①)因为画数图象经过点2，》，所以。=则 当t=9,即x=2时，f(x)取得最小值-24， 第2课时 指数函数及其性质的应用 课前·基础认知 指数函数的图象与性质 续表 【问题思考】 一般形式 y=a(a>0,且a≠1) L填表： 定义域 R 一般形式 y=a(a>0,且a≠1) 值域 (0,+o∞) 过定点 (0,1) '=a(a>1) y=*0<a<1) 图象 单调性 在区间（一∞，十∞）内 在区间（一∞，十∞）内 是增函数 是减函数 6
数 学 必修 第二册 配人教B版 5.函数f(x)=πx 与g(x)= 1 π x 的图象关于( ) A.原点对称 B.x 轴对称 C.y轴对称 D.直线y=-x 对称 解析 设点(x,y)为函数f(x)=πx 的图象上任意一点, 则点(-x,y)为g(x)=π-x = 1 π x 的图象上的点. 因为点(x,y)与点(-x,y)关于y轴对称,所以函数 f(x)=πx 与g(x)= 1 π x 的图象关于y轴对称. 答案 C 6.若a>3,则函数f(x)=4(a-2)2x+6-1的图象恒过定点 的坐标是 . 解析 ∵a>3,∴a-2>1. 令2x+6=0,得x=-3, 则f(-3)=4(a-2)0-1=3. 故函数f(x)恒过定点的坐标是(-3,3). 答案 (-3,3) 7.函数y= 16-4x 的定义域为 . 解析 由16-4x ≥0,得4x ≤16=42,故x≤2. 答案 (-∞,2] 8.函数g(x)=3x-3(1<x≤5)的值域是 . 解析 令u=x-3,∵1<x≤5,∴-2<u≤2, ∴3-2<g(x)≤32,即g(x)∈ 1 9 ,9 . 答案 1 9 ,9 9.已知函数f(x)=ax-1(x≥0)的图象经过点 2, 1 2 ,其中 a>0,且a≠1. (1)求a的值; (2)求函数y=f(x)(x≥0)的值域. 解 (1)因为函数图象经过点 2, 1 2 ,所以a2-1= 1 2 ,则 a= 1 2 . (2)由(1)知函数为f(x)= 1 2 x-1 (x≥0),由x≥ 0,得x-1≥-1. 于是0< 1 2 x-1 ≤ 1 2 -1 =2,所以函数的值域为 (0,2]. 10.已知函数f(x)= 1 3 |x| -1. (1)作出f(x)的简图; (2)若关于x 的方程f(x)=3m 有两个解,求m 的取值 范围. 解 (1)f(x)= 1 3 x -1,x≥0, 3x -1,x<0, 其图象如图所示. (2)作出直线y=3m(图略),当-1<3m<0, 即- 1 3 <m<0时,函数y=f(x)的图象与直线 y=3m 有两个交点, 即关于x 的方程f(x)=3m 有两个解. 11.已知-1≤x≤2,求函数f(x)=3+2×3x+1-9x 的最大 值和最小值. 解 设t=3x,∵-1≤x≤2, ∴ 1 3 ≤t≤9, 则f(x)=g(t)=-(t-3)2+12, 故当t=3,即x=1时,f(x)取得最大值12; 当t=9,即x=2时,f(x)取得最小值-24. 第2课时 指数函数及其性质的应用 课前·基础认知 指数函数的图象与性质 【问题思考】 1.填表: 一般形式 y=a x (a>0,且a≠1) 图 象 续 表 一般形式 y=a x (a>0,且a≠1) 定义域 R 值 域 (0,+∞) 过定点 (0,1) 单调性 在区间(-∞,+∞)内 是增函数 在区间(-∞,+∞)内 是减函数 8
第四章指数函数、对数函数与幂函数 续表 2.做一做：(1)若函数f(x)=a(a>0,且a≠1)在区间 一般形式 y=a'(a>0,且a≠1) [1,3]上是减函数，则实数a的取值范围是」 若x>0,则y=a>1:若x>0,则0<y= (2)比较大小：0.24.3 0.29 函数值变 化情况 若x<0,则0<y= a2<1:若x<0,则y= 答案(1)(0,1)(2)> a<l a2>1 补充性质 在y轴右侧时，底数越大，图象越靠上 课堂 重难突破 ①反思感悟 探究一 比较两个数的大小 比较暴的大小的方法： (1)对于底数相同但指数不同的两个暴的大小的 【例1】比较下列各组数的大小： 比较，可以利用指数函数的单调性来判断 (1)1.525和1.52： (2)对于底数不同，指数相同的两个暴的大小比 @(停》和()》， 较，可利用指数函数的图象的变化规律来判断。 (3)对于底数不同，指数也不同的暴的大小的比 (3)1.702和0.921； 较，则应通过中间值来比较 w(号)“和() 【变式训练1】已知a=0.8a7,b=0.8a.9,c=1.2a8,则 分析根据函数的单调性比较大小，或结合函数图象比 a,b,c的大小关系是( 较大小，或借助中间量比较大小 A.a>b>c B.b>a>c 解(1)1.525,1.5a2可看做函数y=1.5的两个函 C.c>b>a D.c>a>b 数值， 解析考查函数y=0.8, 因为底数1.5>1， 0<0.8<1,函数y=0.8在R上是减函数 所以函数y=1.5在R上是增函数， 又00.7<0.9，∴0.89<0.847<1. 因为2.5<3.2， 考查函数y=1.2, 所以1.525<1.52 1.2>1,函数y=1.2在R上是增函数. 0.8>0,∴1.2a8>1. (2)因为0<号<1，所以函数y=(停）厂在定义城内单 综上可知，0.8a9<0.8a.7<1.2a8,选D. 调递减， 答案D 又-12-25.所以（停）》“<（停） 探究二解指数不等式 (3)由指数函数性质，得1.72>1.7°=1,0.921< 【例2】已知a>0,且a≠1，解关于x的不等式a-r> 0.9°=1，故1.702>0.921 (4)作出指数函教y=(号)广与y=()广的图象，如 解当a>1时，函数y=a'(a>l)为R上的增函数， 图所示。 a>g,-3z>x+1,解得x<- y=(↑ 当0<a<1时，函数y=a(0<a<1)为R上的减函 (别 数，a-r>a1, -3x<x+1,解得x>-1 4 综上所述，当a>1时，原不等式的解集为（一∞， 当x=-05时，由图象观察可得（号）>→（任） ）,当0心a<1时，原不等式的解集为（子，十∞） 延伸探究 ①反思感悟 已知a>0,且a≠1，试比较a2-2+2与a-2的大小 利用指数函数的单调性解不等式需将不等式两边 解，m2-2m十2=(m-1)2+1≥1>-2， 凑成底数相同的指数式并判断底数与1的大小关系， 当a>1时，a2-2m+2>a2; 当a>1时，af>ao→f(x)>g(x):当0<a<1 当0<a<1时，a2-2mt2<a-2 时，afm>am→f(x)<g(x）. 9
第四章 指数函数、对数函数与幂函数 续 表 一般形式 y=a x (a>0,且a≠1) 函数值变 化情况 若x>0,则y=a x >1; 若x<0,则 0<y= a x <1 若x>0,则 0<y= a x <1;若x<0,则y= a x >1 补充性质 在y轴右侧时,底数越大,图象越靠上 2.做一做:(1)若函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)在区间 [1,3]上是减函数,则实数a的取值范围是 . (2)比较大小:0.20.3 0.29. 答案 (1)(0,1) (2)> 课堂·重难突破 探究一 比较两个数的大小 【例1】比较下列各组数的大小: (1)1.52.5 和1.53.2; (2)5 7 -1.8 和 5 7 -2.5 ; (3)1.70.2 和0.92.1; (4)2 3 -0.5 和 3 4 -0.5 . 分析 根据函数的单调性比较大小,或结合函数图象比 较大小,或借助中间量比较大小. 解 (1)1.52.5,1.53.2 可看做函数y=1.5x 的两个函 数值, 因为底数1.5>1, 所以函数y=1.5x 在R上是增函数, 因为2.5<3.2, 所以1.52.5<1.53.2. (2)因为0< 5 7 <1,所以函数y= 5 7 x 在定义域内单 调递减, 又-1.8>-2.5,所以 5 7 -1.8 < 5 7 -2.5 . (3)由指数函数性质,得1.70.2 >1.70 =1,0.92.1 < 0.90=1,故1.70.2>0.92.1. (4)作出指数函数y= 2 3 x 与y= 3 4 x 的图象,如 图所示. 当x=-0.5时,由图象观察可得 2 3 -0.5 > 3 4 -0.5 . 已知a>0,且a≠1,试比较am 2-2m+2 与a-2 的大小. 解 ∵m2-2m+2=(m-1)2+1≥1>-2, ∴当a>1时,am 2-2m+2>a-2; 当0<a<1时,am 2-2m+2<a-2. 比较幂的大小的方法: (1)对于底数相同但指数不同的两个幂的大小的 比较,可以利用指数函数的单调性来判断. (2)对于底数不同,指数相同的两个幂的大小比 较,可利用指数函数的图象的变化规律来判断. (3)对于底数不同,指数也不同的幂的大小的比 较,则应通过中间值来比较. 【变式训练1】已知a=0.80.7,b=0.80.9,c=1.20.8,则 a,b,c的大小关系是( ) A.a>b>c B.b>a>c C.c>b>a D.c>a>b 解析 考查函数y=0.8x, ∵0<0.8<1,∴函数y=0.8x 在R上是减函数. 又0<0.7<0.9,∴0.80.9<0.80.7<1. 考查函数y=1.2x, ∵1.2>1,∴函数y=1.2x 在R上是增函数. ∵0.8>0,∴1.20.8>1. 综上可知,0.80.9<0.80.7<1.20.8,选D. 答案 D 探究二 解指数不等式 【例2】已知a>0,且a≠1,解关于x 的不等式a-3x > ax+1. 解 当a>1时,函数y=ax(a>1)为R上的增函数, ∵a-3x >ax+1,∴-3x>x+1,解得x<- 1 4 . 当0<a<1时,函数y=ax (0<a<1)为 R上的减函 数,∵a-3x >ax+1, ∴-3x<x+1,解得x>- 1 4 . 综上所述,当a>1 时,原不等式的解集为 - ∞, - 1 4 ,当0<a<1时,原不等式的解集为 - 1 4 ,+∞ . 利用指数函数的单调性解不等式需将不等式两边 凑成底数相同的指数式并判断底数与1的大小关系, 当a>1时,af(x)>ag(x)⇒f(x)>g(x);当0<a<1 时,af(x)>ag(x)⇒f(x)<g(x). 9
数学 必修第二册 配人教B版 【变式训练2】已知3≥（兮）”求实数x的取值范围 又0y=0.脚 =0,1十b≠0，.a=1,.b=1. 解（付）》=3”=3”在R上是增高载 22-1 (2)证明由(1)知f(x)= 22+1 .由3≥3a5可得x≥0.5，∴x∈[0.5，十∞). 2 f(x) 2-11+2)-2=1- 2+11+2 1+29 探究三指数型函数的单调区间 任取x1x2∈R,且x1<x2,则 【例3】已知函数y=() ,求函数的单调 1+251+2 fx2)-f(x1)=1-2 区间. 2 2(2-21) 分析画数y=(份 x2-6r+17 是由y=()广u=x2- 1+2(1+2)(1+2*) ,y=2是R上的增函数， 6x十17复合成的，根据复合函数单调性规律可求单调区间. ∴当x1<x2时，22>21，即22-21>0. 解西数的定义战为R,由0<号<1，知指数西教y 又1+21>0,1+22>0， (侵)广是减画数.二次函数u=2-6x十17=(-3)十8 f(x2)-f(x1)>0,∴f(x)是R上的增函数. (3)解由(2)知函数f(x)在R上是增函数，且当x∈ 在x∈[3，十∞)内为增函数，在x∈（一∞，3）内为减函数. (-1,1)时，f(x)单调递增，所以f(-1)<f(x)<f(1),即 y=(分) 2-6+17 的单调递增区间为（一∞，3），单调 )解得-日<)号 递减区间为[3，十∞). 所以当x∈(-1.D时，函数fc)的值城为-子）】 ①反思感悟 1.对于形如y=a(a>0,且a≠1)的函数，可利 答题模板第1步，由f(一x)=一f(x),变形整理； 用复合函数的单调性，由指数函数y=a“及函数u= 第2步，比较系数，求得a,b的值： g(x)的单调性求解y=a的单调性. 第3步，设x1<x2,作差f(x2)-f(x1),变形： 2.复合函数单调性规律是同增异减， 第4步，判定出f(x)的单调性： 第5步，研究f(x)在区间（一1,1）内的单调性： 【变式训练3】求函数y=3-2的单调区间 第6步，根据上一步研究的结论求值域 解令u=x2-2x,x∈R,:u=(x-1)2-1,在区间 飞失误警示 (一∞，1]上是减函数，在区间(1，十∞)内是增函数，且y= 在第(1)问中未舍去 a=-1, 的情况或利用特值 3在其定义域内为增函数， b=-1 ,.函数f(x)的单调递增区间为(1，十∞)，单调递减区 求a,b的值：第(2)问中利用特值判定：第(3)问盲目代 间为（一，1]. 端点值求值域。 规范解答 【变式训练】已知函数fx)=3- 34+1 与指数函数有关的综合问题 (1)证明：f(x)为奇函数： 【典例】已知定义在R上的奇函数f(x)=一口 (2)判断f(x)的单调性，并用定义加以证明. 2+b (1)求a,b的值： (I)证明由题知f(x)的定义域为R (2)证明：f(x)在R上是增函数； f(-x) 3-1(3-1)·3_1-3 (3)当x∈（一1,1）时，求该函数的值域， 3+(3+1)·3=i+3=-fx), 所以f(x)为奇函数 审题策略根据奇函数的定义f(一x)=一f(x)可求 a,b的值：利用定义证明f(x)的单调性；结合(2)的结论求 (2)解f(x)在定义域上是增函数.证明如下： f(x),x∈（一1,1）的值域. 任取x1,x2∈R,且x1<x2, 规范展示(1)解，f(x)是奇函数， -f---+ ∴f(-x)=-f(x). 3+13+1 2-a=-2-a 2(3-31) 2-x+b2+b ++ -a…2=a-2 +b·2=2+6对任意x∈R恒成立 x1<x2 ∴3-3>0,3+1>0,3+1>0， ∴f(x2)>f(x1),∴f(x)为R上的增函数 b=-1. 10
数 学 必修 第二册 配人教B版 【变式训练2】已知3x≥ 1 3 -0.5 ,求实数x的取值范围. 解 1 3 -0.5 =30.5.∵y=3x 在R上是增函数, ∴由3x ≥30.5 可得x≥0.5,∴x∈[0.5,+∞). 探究三 指数型函数的单调区间 【例3】已知函数y= 1 2 x 2-6x+17 ,求函数的单调 区间. 分析 函数y= 1 2 x 2-6x+17 是由y= 1 2 u ,u=x2- 6x+17复合成的,根据复合函数单调性规律可求单调区间. 解 函数的定义域为R,由0< 1 2 <1,知指数函数y= 1 2 u 是减函数.二次函数u=x2-6x+17=(x-3)2+8 在x∈[3,+∞)内为增函数,在x∈(-∞,3)内为减函数. ∴y= 1 2 x 2-6x+17 的单调递增区间为(-∞,3),单调 递减区间为[3,+∞). 1.对于形如y=ag(x)(a>0,且a≠1)的函数,可利 用复合函数的单调性,由指数函数y=au 及函数u= g(x)的单调性求解y=ag(x)的单调性. 2.复合函数单调性规律是同增异减. 【变式训练3】求函数y=3x 2-2x 的单调区间. 解 令u=x2-2x,x∈R,∵u=(x-1)2-1,在区间 (-∞,1]上是减函数,在区间(1,+∞)内是增函数,且y= 3u 在其定义域内为增函数, ∴函数f(x)的单调递增区间为(1,+∞),单调递减区 间为(-∞,1]. 规 范 解 答 与指数函数有关的综合问题 【典例】已知定义在R上的奇函数f(x)= 2x -a 2x +b . (1)求a,b的值; (2)证明:f(x)在R上是增函数; (3)当x∈(-1,1)时,求该函数的值域. 审题策略 根据奇函数的定义f(-x)=-f(x)可求 a,b的值;利用定义证明f(x)的单调性;结合(2)的结论求 f(x),x∈(-1,1)的值域. 规范展示 (1)解 ∵f(x)是奇函数, ∴f(-x)=-f(x). ∴ 2-x -a 2-x +b =- 2x -a 2x +b . ∴ 1-a·2x 1+b·2x= a-2x 2x +b 对任意x∈R恒成立. ∴ a=1, b=1 或 a=-1, b=-1. 又f(0)=0,即 1-a 1+b =0,1+b≠0,∴a=1,∴b=1. (2)证明 由(1)知f(x)= 2x -1 2x +1 . f(x)= 2x -1 2x +1 = (1+2x)-2 1+2x =1- 2 1+2x. 任取x1,x2∈R,且x1<x2,则 f(x2)-f(x1)=1- 2 1+2 x2 -1+ 2 1+2 x1 = 2 1+2 x1 - 2 1+2 x2 = 2(2 x2-2 x1) (1+2 x1)(1+2 x2) . ∵y=2x 是R上的增函数, ∴当x1<x2 时,2 x2>2 x1,即2 x2-2 x1>0. 又1+2 x1>0,1+2 x2>0, ∴f(x2)-f(x1)>0,∴f(x)是R上的增函数. (3)解 由(2)知函数f(x)在 R上是增函数,且当x∈ (-1,1)时,f(x)单调递增,所以f(-1)<f(x)<f(1),即 2-1-1 2-1+1 <f(x)< 2-1 2+1 ,解得- 1 3 <f(x)< 1 3 . 所以当x∈(-1,1)时,函数f(x)的值域为 - 1 3 , 1 3 . 答题模板 第1步,由f(-x)=-f(x),变形整理; 第2步,比较系数,求得a,b的值; 第3步,设x1<x2,作差f(x2)-f(x1),变形; 第4步,判定出f(x)的单调性; 第5步,研究f(x)在区间(-1,1)内的单调性; 第6步,根据上一步研究的结论求值域. 在第(1)问中未舍去 a=-1, b=-1 的情况或利用特值 求a,b的值;第(2)问中利用特值判定;第(3)问盲目代 端点值求值域. 【变式训练】已知函数f(x)= 3x -1 3x +1 . (1)证明:f(x)为奇函数; (2)判断f(x)的单调性,并用定义加以证明. (1)证明 由题知f(x)的定义域为R. f(-x)= 3-x -1 3-x +1 = (3-x -1)·3x (3-x +1)·3x= 1-3x 1+3x=-f(x), 所以f(x)为奇函数. (2)解 f(x)在定义域上是增函数.证明如下: 任取x1,x2∈R,且x1<x2, f(x2)-f(x1)= 3 x2-1 3 x2+1 - 3 x1-1 3 x1+1 = 1- 2 3 x2+1 - 1- 2 3 x1+1 = 2(3 x2-3 x1) (3 x2+1)(3 x1+1) . ∵x1<x2, ∴3 x2-3 x1>0,3 x1+1>0,3 x2+1>0, ∴f(x2)>f(x1),∴f(x)为R上的增函数. 10