变成标准正交向量组 解先把它们正交化，得 A=4=u0L房=4-会A=分-0 再单位化，得 %=(方万00%=（店5石0 乃=（← 市市市后岁 最后，我们来讨论两组正交基的关系 设无，.，6n,7。是V的两组标准正交基且 a:a2.aw (,.,1n)=(,.,En） a1am.a 因为 1i= m.,n)-0.i≠j (4) (3)有 1,i=5 a,a,+a4++aa,={0.i≠j 令A=(a),则(5)相当于A-E 定义7设AER,若AA=E,则称为A正交矩阵 之，若第 此外，A=E时，必有A=E故有 1i=方 aa+a02++aan-0,i≠j (6) (⑤)式是矩阵A的列之间的关系.（⑥式是A的行之间的关系这两组关系均是A为正交矩阵的充要条 件，它们是等价的 作业：P394,习题6。 预习：下一节的基本概念
变成标准正交向量组. 解.先把它们正交化，得 2 1 1 1 2 2 1 1 1 ( , ) 1 1 (1,1,0,0), ( , ,1,0), ( , ) 2 2 = = = − = − 再单位化，得 1 2 1 1 1 1 2 ( , ,0,0). ( , , ,0). 2 2 6 6 6 = = − 3 4 1 1 1 3 1 1 1 1 ( , , , ), ( , , , ). 12 12 12 12 2 2 2 2 = − = − − 最后，我们来讨论两组正交基的关系. 设 1 1 , , , , , n n 是 V 的两组标准正交基.且 11 12 1 11 22 2 1 1 1 2 ( , , ) ( , , ) n n n n n n nn a a a a a a a a a = 因为 1, ; ( , , ) 0, . i j i j i j = = (4) 由(3)有 1 1 2 2 1, ; 0, . i j i j ni nj i j a a a a a a i j = + + + = (5) 令 ( ), A a = ij 则(5)相当于 A A E = . 定义 7 设 n n A R ，若 A A E = ，则称为 A 正交矩阵. 此定义 7 及前面的讨论知，标准正交基到标准正基的过渡矩阵 是正交矩阵，反之，若第一组基为标准正交基且过渡矩阵为正交矩阵.则第二组基必定是标准正交基. 此外， A A E = 时，必有 A A E = .故有 1 1 2 2 1, ; 0, . i j i j in jn i j a a a a a a i j = + + + = (6) (5)式是矩阵 A 的列之间的关系.(6)式是 A 的行之间的关系.这两组关系均是 A 为正交矩阵的充要条 件，它们是等价的. 作业: P394,习题 6。. 预习: 下一节的基本概念
§3同构 教学目标掌握同构的定义与性质，有限维欧氏空间同构的充要条件。 教学重点：同构的定义与性质。 教学方法讲授法 教学过程 本节我们来建立欧氏空间同构的概念 定义8欧氏空间V与V'称为同构的，如果有V到V的双射σ，适合 1)o(a+B)=o(a)+c(B) 2)a(ka)=ka(a). 3)(o(a),o(B》=(a,B), 这里a,B∈，k∈R,这样的o称为V到V'的同构映射。 显然，同构的欧氏空间必有相同的维数 设G,.,6n是欧氏空间V的标准正交基对于Va∈V,设 a=X6+x62+.+xn5n G:→R,(a)=(x,x2.,x) 则σ显然是双射且适合定义8中条件1)与2)上节(3)式说明0也适合定义8中条件3).故V与 欧氏空间R”同构 显然，V与V同构.即同构具有反身性设o是V到V的同构映射，则σ显然适合条件1)与2) 且由 (a,)=(a(o'(a),σ(oB)=(o'(a),o'(B)
§3 同构 教学目标: 掌握同构的定义与性质，有限维欧氏空间同构的充要条件。 教学重点: 同构的定义与性质。 教学方法: 讲授法. 教学过程: 本节我们来建立欧氏空间同构的概念 定义 8 欧氏空间 V 与 V 称为同构的，如果有 V 到 V 的双射 ，适合 1） ( ) ( ) ( ), + = + 2） ( ) ( ), k k = 3） ( ( ), ( )) ( , ), = 这里 , , v k R ，这样的 称为 V 到 V 的同构映射. 显然，同构的欧氏空间必有相同的维数， 设 1 , , n 是欧氏空间 V 的标准正交基.对于 V, 设 1 1 2 2 . n n = + + + x x x 令 1 2 : , ( ) ( , , ). n V R x x x → = n 则 显然是双射且适合定义 8 中条件 1）与 2）.上节（3）式说明 也适合定义 8 中条件 3）.故 V 与 欧氏空间 n R 同构. 显然， V 与 V 同构.即同构具有反身性.设 是 V 到 V 的同构映射，则 1 − 显然适合条件 1）与 2） 且由 1 1 1 1 ( , ) ( ( ( ), ( )( ))) ( ( ), ( )) − − − − = =
知。也适合3)故V'与V同构，从而同构具有对称性类似可证同构具有仁递性由此及每个维欧 氏空间均与”同构可知，任意两个维欧氏空间都同构.综上所述，有 定理3两个有限维欧氏空间同构的充要条件是它们的维数相同 作业 预习：下一节的基本概念 §4正交变换 教学目标掌握正交变换的定义，欧氏空间V的线性变换是正交变换的充要条件。 教学重点：欧氏空间V的线性变换是正交变换的充要条件。 教学方法：讲授法 教学过程 定义9设A为做氏空间V的线性变换，若对Va,B∈V有 (Aa.AB)=(a.B) 则称A为正交变换 定理4设A是欧氏空间V的线性变换，则下述命题等价： 1)A是正交变换： 2)对a∈'，Aa=la 3)6,.,6n是标准正交基，则A6,.,AEn也是标准正交基： 先证1)与2)等价 若1)成立，则(4a,Aa)=(a,a).开方即得AC=a,故2)成立，反之，若2)成立则 (Aa,Aa)=(a,a),(AB.AB)=(B.B).(A(a+B).A(a+B))=(a+B.a+B). 将最后一个等式展开得 (Aa.Aa)+2(Aa,AB)+(AB.AB)=(a,a)+2(a.B)+(B.B) 再利用前两个等式即得(AB,AB)=(,B).这就推出1)成立
知 1 − 也适合 3）.故 V 与 V 同构，从而同构具有对称性.类似可证同构具有仁递性.由此及每个 n 维欧 氏空间均与 n R 同构可知，任意两个 n 维欧氏空间都同构.综上所述，有 定理 3 两个有限维欧氏空间同构的充要条件是它们的维数相同. 作业: 预习: 下一节的基本概念. §4 正交变换 教学目标: 掌握正交变换的定义, 欧氏空间 V 的线性变换是正交变换的充要条件。 教学重点: 欧氏空间 V 的线性变换是正交变换的充要条件。 教学方法: 讲授法. 教学过程: 定义 9 设 A 为欧氏空间 V 的线性变换，若对 , V 有 ( , ) ( , ) A A = 则称 A 为正交变换. 定理 4 设 A 是欧氏空间 V 的线性变换，则下述命题等价： 1） A 是正交变换； 2）对 = V A, ; 3） 1 , , n 是标准正交基，则 1 , , A A n 也是标准正交基； 4） A 在任一组标准正交基下的矩阵都是正交矩阵. 证明 先证 1）与 2）等价. 若 1）成立，则 ( , ) ( , ) A A = .开方即得 A = , 故 2）成立，反之，若 2）成立.则 ( , ) ( , ),( , ) ( , ),( ( ), ( )) ( , ). A A A A A A = = + + = + + 将最后一个等式展开得 ( , ) 2( , ) ( , ) ( , ) 2( , ) ( , ) A A A A A A + + = + + 再利用前两个等式即得 ( , ) ( , ). A A = 这就推出 1）成立