第二节序列算子与灰色序列生成 灰色系统理论的主要任务之一,是根据社会、经济、生态等系统的行为特征数据,寻 找不同系统变量之间或某些系统变量自身的数学关系和变化规律。灰色系统理论认为任何 随机过程都是在一定幅值范围和一定时区内变化的灰色量,并把随机过程看成灰色过程 灰色系统理论是通过对原始数据的挖掘,整理来寻求其变化规律的,这是一种就数据 寻找数据的现实规律的途径,我们称为灰色序列生成。灰色系统理论认为,尽管客观系统 表象复杂,数据离乱,但它总是有整体功能的,因此必然蕴含某种内在规律。关键在于如 何选择适当的方式去挖掘它和利用它。一切灰色序列都能通过某种生成弱化其随机性,显 现其规律性。 例如考虑4个数据,记为X(,X0(2,X0(3),X0(4),其数据见下表: 表72原始数据表 序号 符号 x(2) (4) 数据 15 将上表数据作图得 图71数据变化折线图 上图表明原始数据X没有明显的规律性,其发展态势是摆动的。如果将原始数据作 累加生成,记第K个累加生成为X(K),并且 x(1) X(2)=X()+X(2)=1+2=3 X(3)=X0(1)+X0(2)+X(3)=1+2+15=45(73) X(4)=Xo(1)+X0(2)+x(3)+X(4)=1+2+1.5+3=75(74 得到数据如下表所示。 176
176 第二节 序列算子与灰色序列生成 灰色系统理论的主要任务之一，是根据社会、经济、生态等系统的行为特征数据，寻 找不同系统变量之间或某些系统变量自身的数学关系和变化规律。灰色系统理论认为任何 随机过程都是在一定幅值范围和一定时区内变化的灰色量，并把随机过程看成灰色过程。 灰色系统理论是通过对原始数据的挖掘，整理来寻求其变化规律的，这是一种就数据 寻找数据的现实规律的途径，我们称为灰色序列生成。灰色系统理论认为，尽管客观系统 表象复杂，数据离乱，但它总是有整体功能的，因此必然蕴含某种内在规律。关键在于如 何选择适当的方式去挖掘它和利用它。一切灰色序列都能通过某种生成弱化其随机性，显 现其规律性。 例如考虑 4 个数据，记为 (1), (2), (3), (4) (0) (0) (0) (0) X X X X ，其数据见下表： 表 7.2 原始数据表 序号 1 2 3 4 符号 (1) (0) X (2) (0) X (3) (0) X (4) (0) X 数据 1 2 1.5 4 将上表数据作图得。 0 1 2 3 4 5 1 2 3 4 X Y 图 7.1 数据变化折线图 上图表明原始数据 (0) X 没有明显的规律性，其发展态势是摆动的。如果将原始数据作 累加生成，记第 K 个累加生成为 ( ) (1) X K ，并且 (1) (1) 1 (1) (0) X = X = （7.1） (2) (1) (2) 1 2 3 (1) (0) (0) X = X + X = + = （7.2） (3) (1) (2) (3) 1 2 1.5 4.5 (1) (0) (0) (0) X = X + X + X = + + = （7.3） (4) (1) (2) (3) (4) 1 2 1.5 3 7.5 (1) (0) (0) (0) (0) X = X + X + X + X = + + + = （7.4） 得到数据如下表所示
表73数据计算过程表 序号 符号 x() X(2) x(3) x(4) 数据 3 8765432 图72数据变化折线图 上图表明生成数列ⅹ()是单调递增数列。 冲击扰动系统与序列算子 定义21设X0=(x"(1),x(2)…,x(m)为系统真实行为序列,而观察到的系统行为 数据序列为X=(x(1),x(2)…,x(m)=(x(1)+61,x(2)+E2…,x(m)+En)=X+E 其中,E=(E1,E2…En)为冲击扰动项(干扰项)。X称为冲击扰动序列。 、缓冲算子公理 定义221设系统行为数据序列为X=(x(1),x(2)2…,x(n) 1.若任意k=23…,n,x(k)-x(k-1)>0,则称X为单调增长序列; 2.若1中不等号反过来成立,则称X为单调衰减序列 3.若存在玉k,k'∈{2,3…,m},有x(k)-x(k-1)>0,x(k)-x(k-1)<0,则称X为随 机振荡序列 4.设M=max{x(k)k=1,2,3…,n},m=min{x(k)|k=12,3,…n},则称Mm 为序列X的振幅。 定义222设X=(x(1)x(2)…,x(m)为系统行为数据系列,D为作用于X的算子, X经过算子D作用后所得序列记为 177
177 表 7.3 数据计算过程表 序号 1 2 3 4 符号 (1) (1) X (2) (1) X (3) (1) X (4) (1) X 数据 1 3 4.5 7.5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 X Y 图 7.2 数据变化折线图 上图表明生成数列 X (1) 是单调递增数列。 一、冲击扰动系统与序列算子 定义 2.1.1 设 0 0 0 0 X x x x n = ( (1), (2), , ( )) 为系统真实行为序列，而观察到的系统行为 数据序列为 0 0 0 0 1 2 ( (1), (2), , ( )) ( (1) , (2) , , ( ) ) X x x x n x x x n X n = = + + + = + 其中， 1 2 ( , ) n = 为冲击扰动项（干扰项）。X 称为冲击扰动序列。 二、缓冲算子公理 定义 2.2.1 设系统行为数据序列为 X x x x n = ( (1), (2), , ( ))， 1. 若任意 = − − k n x k x k 2,3 , , ( ) ( 1) 0 ，则称 X 为单调增长序列； 2. 若 1 中不等号反过来成立，则称 X 为单调衰减序列； 3. 若存在 − − − − k k n x k x k x k x k , {2,3 , }, ( ) ( 1) 0, ( ) ( 1) 0 有 ，则称 X 为随 机振荡序列。 4. 设 M x k k n m x k k n = = = = max ( ) | 1 2,3, , , min ( ) | 1 2,3, , ， ， ，则称 M-m 为序列 X 的振幅。 定义 2.2.2 设 X x x x n = ( (1), (2), , ( )) 为系统行为数据系列，D 为作用于 X 的算子， X 经过算子 D 作用后所得序列记为
D=(x(1)d,x(2)d,…,x(n)d) 称D为序列算子,称XD为一阶算子作用序列。 序列算子的作用可以进行多次,相应的,若DD2,D都是序列算子,我们称DD2为二阶算 并称 mDD2=(x(1)ld4d2,x(2d4d2,…,x(m)dd2)(76) 为二阶算子作用序列,同理,DD2D3为三阶序列算子 定义22.3称下述三公理为缓冲算子三公理,满足缓冲算子三公理的序列算子D称为缓 冲算子,一阶,二阶,三阶…缓冲算子作用序列称为一阶,二阶,三阶缓冲序列。 公理1(不动点公理)设X=(x(1),x(2)…,x(m)为系统行为数据系列,D为序列 算子,则D满足x(n)d 不动点公理限定在序列算子作用下,系统行为数据序列的数据x(m)保持不变 根据定性分析的结论,亦可使x(m)以后的若干个数据在序列算子作用下保持不变。例如 x()d≠x()且x()d=x(1) (77) 其中,j=1,2…,k- k,k+1,…,n 公理2.(信息充分利用公理)系统行为数据序列Ⅹ中的每一个数据x(k,k=1,2…, 都要充分地参与算子的作用全过程 公理3(解析化、规范化公理)任意的x(k)d,(k=1,2…),皆可由一个统一的 x(1),x(2),…,x(m)的初等解析式表达 定义22.4设X为原始数据序列,D为缓冲算子,当X分别为增长序列,衰减序列或振 荡序列时 若缓冲序列XD比原始序列ⅹ的增长速度(或衰减速度)减缓或振幅减小,则称缓冲 算子D为弱化算子 2.若缓冲序列XD比原始序列ⅹ的增长速度(或衰减速度)加快或振幅增大,则称缓冲 算子D为强化算子。 三、实用缓冲算子的构造 定理23.1设原始数据序列X=(x(1),x(2),…x(H)),令缓冲序列 XD=(x(1)d,x(2)d,…,x(n)d) (78) 其中 x( k)d [x(k)+x(k+1)+…+x(m)];k=1,2, (79) n-k 则当Ⅹ为增长序列,衰减序列或振荡序列时,D为弱化算子,并称为平均弱化缓冲算子 CAWBO 证明:直接利用x(k)d,(k=12,…)的定义,可知定理成立。 178
178 XD x d x d x n d = ( (1) , (2) , , ( ) ) （7.5） 称 D 为序列算子，称 XD 为一阶算子作用序列。 序列算子的作用可以进行多次，相应的，若 1 2 3 D D D , , 都是序列算子，我们称 DD1 2 为二阶算 子，并称 1 2 1 2 1 2 1 2 XD D x d d x d d x n d d = ( (1) , (2) , , ( ) ) （7.6） 为二阶算子作用序列，同理， D D D 1 2 3 为三阶序列算子…… 定义 2.2.3 称下述三公理为缓冲算子三公理，满足缓冲算子三公理的序列算子 D 称为缓 冲算子，一阶，二阶，三阶……缓冲算子作用序列称为一阶，二阶，三阶……缓冲序列。 公理 1（不动点公理） 设 X x x x n = ( (1), (2), , ( )) 为系统行为数据系列，D 为序列 算子，则 D 满足 x n d x n ( ) ( ) = 。 不动点公理限定在序列算子作用下，系统行为数据序列的数据 xn( ) 保持不变。 根据定性分析的结论，亦可使 xn( ) 以后的若干个数据在序列算子作用下保持不变。例如， 令 x j d x j x i d x i ( ) ( ) ( ) ( ) = 且 （7.7） 其中, 1,2 , 1 , 1, , . j k i k k n = − = + 公理 2.（信息充分利用公理）系统行为数据序列 X 中的每一个数据 x k k ( ), 1,2, = ， 都要充分地参与算子的作用全过程。 公理 3（解析化、规范化公理）任意的 x k d k ( ) ,( 1,2, ) = ，皆可由一个统一的 x x x n (1), (2), , ( ) 的初等解析式表达。 定义 2.2.4 设 X 为原始数据序列，D 为缓冲算子，当 X 分别为增长序列，衰减序列或振 荡序列时： 1.若缓冲序列 XD 比原始序列 X 的增长速度（或衰减速度）减缓或振幅减小，则称缓冲 算子 D 为弱化算子。 2.若缓冲序列 XD 比原始序列 X 的增长速度（或衰减速度）加快或振幅增大，则称缓冲 算子 D 为强化算子。 三、实用缓冲算子的构造 定理 2.3.1 设原始数据序列 X x x x n = ( (1), (2), , ( )) ，令缓冲序列 XD x d x d x n d = ( (1) , (2) , , ( ) ) （7.8） 其中 1 ( ) [ ( ) ( 1) ( )] 1 x k d x k x k x n n k = + + + + − + ；k=1,2,……，n （7.9） 则当 X 为增长序列，衰减序列或振荡序列时，D 为弱化算子，并称为平均弱化缓冲算子 （AWBO） 证明：直接利用 x k d k ( ) ,( 1,2, ) = 的定义，可知定理成立
推论23.1对于定理1中定义的弱化算子D,令 XD=XDD=(x(1)d2,x(2)d2,…,x(n)d2)(7.10) x(k)d [x(kd+x(k+1l)d+…+x(m)dl],k=1,2 (7.11) 则D对于增长序列,衰减序列或振荡序列时,皆为二阶弱化算子。 定理2.3.2设原始序列和其缓冲算子序列分别为 (n)) (7.12) D=(x(1)d,x(2)d,…,x(n)d (7.13) 其中 x(k)=x(1)+x(2)+…+x(k-1)+kx(k) ,k=1,2…,n-1(7.14) 2k-1 (n)d=x(n) 则当ⅹ为增长序列(越来越大),衰减序列或振荡序列时,D为强化算子。 推论232设D为定理2中定义的强化算子,令 XD2=XDD=(x(1)d2, x(2)a (7.16) 其中 x(n)d-=x(n)d=x(n) (7.17) x(k x(1)d+x(2)d+…+x(k-1)d+kx(k)d ,k=1,2…,n-1(718) 则D对于增长序列,衰减序列或振荡序列皆为二阶强化算子 定理23.3原始数据序列和其缓冲算子序列分别为 X=(x(1)2x(2)2…,X(n)) (7.19) XD=(x(1)d,x(2)d,…,x(n)d)(7.20) 其中 x(akx(k)+(k+1)x(k+1)+…+nx(m) ,k=1,2……,n(7.21) (n+k(n-k+1)/2 则当ⅹ为增长序列,衰减序列或振荡序列时,D为弱化算子,并称D为加权平均弱化缓冲算 子( WAWBO) 定理234设Y=(x(1),x(2),……,x(H))为非负的系统行为数据序列,令 XD=(x(1)d2x(2)d,…,x(n)d)(722) 其中 x(k)d=[x(k)x(k+1)…·x(m)y-k=[Tx()y-k+,k=12…,n(723) 则当ⅹ为增长序列,衰减序列或振荡序列时,D为弱化缓冲算子,并称D为几何平均弱化缓 179
179 推论 2.3.1 对于定理 1 中定义的弱化算子 D，令 2 2 2 2 XD XDD x d x d x n d = = ( (1) , (2) , , ( ) ) （7.10） 2 1 ( ) [ ( ) ( 1) ( ) ], 1,2 1 x k d x k d x k d x n d k n n k = + + + + = − + （7.11） 则 2 D 对于增长序列，衰减序列或振荡序列时，皆为二阶弱化算子。 定理 2.3.2 设原始序列和其缓冲算子序列分别为 X x x x n = ( (1), (2), , ( )) （7.12） XD x d x d x n d = ( (1) , (2) , , ( ) ) （7.13） 其中 (1) (2) ( 1) ( ) ( ) , 1,2 , 1 2 1 x x x k kx k x k d k n k + + + − + = = − − （7.14） x n d x n ( ) ( ) = （7.15） 则当 X 为增长序列（越来越大），衰减序列或振荡序列时，D 为强化算子。 推论 2.3.2 设 D 为定理 2 中定义的强化算子，令 2 2 2 2 XD XDD x d x d x n d = = ( (1) , (2) , , ( ) ) （7.16） 其中 2 x n d x n d x n ( ) ( ) ( ) = = （7.17） 2 (1) (2) ( 1) ( ) ( ) , 1,2 , 1 2 1 x d x d x k d kx k d x k d k n k + + + − + = = − − （7.18） 则 2 D 对于增长序列，衰减序列或振荡序列皆为二阶强化算子。 定理 2.3.3 原始数据序列和其缓冲算子序列分别为 X x x x n = ( (1), (2), , ( )) （7.19） XD x d x d x n d = ( (1) , (2) , , ( ) ) （7.20） 其中 ( ) ( 1) ( 1) ( ) ( ) , 1,2 , ( )( 1) / 2 kx k k x k nx n x k d k n n k n k + + + + + = = + − + （7.21） 则当 X 为增长序列，衰减序列或振荡序列时，D 为弱化算子，并称 D 为加权平均弱化缓冲算 子（WAWBO）。 定理 2.3.4 设 X x x x n = ( (1), (2), , ( )) 为非负的系统行为数据序列，令 XD x d x d x n d = ( (1) , (2) , , ( ) ) （7.22） 其中 1 1 1 1 ( ) [ ( ) ( 1) ( )] [ ( )] , 1,2 , n n k n k i k x k d x k x k x n x i k n − + − + = = + = = （7.23） 则当 X 为增长序列，衰减序列或振荡序列时，D 为弱化缓冲算子，并称 D 为几何平均弱化缓
冲算子( GAWBO) 定理23.5设X=(x(1)2x(2),…,x(n))为系统行为数据序列,各时点的权重 向量为O=(1,O2…On),则 D=(x(1)d,x(2d,…,x(n)d)(724) 其中 x(k)d=20.x(k)+Ox(k+1)+…+a,x(n) ,k=1,2…,n(7.25) 0k+Ok+1+……+O 则当ⅩD皆为弱化缓冲算子,并称D为加权平均弱化缓冲算子( WAWBO) 定理2.3.6设X=(x(1)x(2)…,x(n),各时点的权重向量为 >0,令 MD=(x(1)d,x(2)d,…,x(n)d) (7.26) 其中 x(k)d={x(kx(k+1…x(n)=∏x() k=1,2…,n(727) 则当ⅩD为弱缓冲算子,并称D为加权几何平均弱化缓冲算子( WGAWBO)。 定理23.7设X=(x(1)2x(2)2…,x(n)为系统行为数据序列,令 XD=(x(1)d,x(2)d,…,x(n)d) (7.28) 其中 x(k=-(n-k+)x(8) ,k=1,2…,n (7.29) x(k)+x(k+1)+…+x(m) 则当ⅹ为增长序列,衰减序列或振荡序列时,D为强化缓冲算子,并称D为平均强化缓冲算 子(ASBO) 定理238设X=(x(1),x(2)2…,x(H))为非负的系统行为数据序列,令 XD=(x(1)d,x(2)d2…,x(n)d)(7.30) 其中 x(k)d ,k=1,2……,n(7.31) [x(k)x(k+1)…(m)-[x( 则当Ⅹ为增长序列,衰减序列或振荡序列时,D为强化缓冲算子,并称D为几何平均强化缓 冲算子( GASBO) 以上列举了部分缓冲算子,当然,我们还可以考虑构造其它形式的实用缓冲算子,缓冲 算子不仅可以用于灰色系统建模,而且还可以用于其它各种模型建模。通常在建模之前根据 定性分析结论对原始数据序列施以缓冲算子,淡化或消除冲击扰动对系统行为数据序列的影 响,往往会收到预期的效果
180 冲算子（GAWBO）。 定理 2.3.5 设 X x x x n = ( (1), (2), , ( )) 为系统行为数据序列，各时点的权重 向量为 1 2 ( , ) = n ，则 XD x d x d x n d = ( (1) , (2) , , ( ) ) （7.24） 其中 1 1 ( ) ( 1) ( ) ( ) , 1,2 , k k n k k n x k x k x n x k d k n + + + + + + = = + + + （7.25） 则当 X D 皆为弱化缓冲算子，并称 D 为加权平均弱化缓冲算子（WAWBO）。 定 理 2.3.6 设 X x x x n = ( (1), (2), , ( )) ，各时点的权重向量为 1 2 ( , ) = n >0，令 XD x d x d x n d = ( (1) , (2) , , ( ) ) （7.26） 其中 1 1 1 1 1 ( ) [ ( ) ( 1) ( )] [ ( )] , 1,2 , k k n k k n k k n n i k x k d x k x k x n x i k n + + + + + + + + + = = + = = （7.27） 则当 X D 为弱缓冲算子，并称 D 为加权几何平均弱化缓冲算子（WGAWBO）。 定理 2.3.7 设 X x x x n = ( (1), (2), , ( )) 为系统行为数据序列，令 XD x d x d x n d = ( (1) , (2) , , ( ) ) （7.28） 其中 2 ( 1) ( ) ( ) , 1,2 , ( ) ( 1) ( ) n k x k x k d k n x k x k x n − + = = + + + + （7.29） 则当 X 为增长序列，衰减序列或振荡序列时，D 为强化缓冲算子，并称 D 为平均强化缓冲算 子（ASBO） 定理 2.3.8 设 X x x x n = ( (1), (2), , ( )) 为非负的系统行为数据序列，令 XD x d x d x n d = ( (1) , (2) , , ( ) ) （7.30） 其中 2 2 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) , 1,2 , [ ( ) ( 1) ( )] [ ( )] n n k n k i k x k x k x k d k n x k x k x n x i − + − + = = = = + （7.31） 则当 X 为增长序列，衰减序列或振荡序列时，D 为强化缓冲算子，并称 D 为几何平均强化缓 冲算子（GASBO）。 以上列举了部分缓冲算子，当然，我们还可以考虑构造其它形式的实用缓冲算子，缓冲 算子不仅可以用于灰色系统建模，而且还可以用于其它各种模型建模。通常在建模之前根据 定性分析结论对原始数据序列施以缓冲算子，淡化或消除冲击扰动对系统行为数据序列的影 响，往往会收到预期的效果