《数学分析》课程教学资源（PPT课件）第十四章 幂级数

当,x>1,即|x>/2时,级数发散，281级数发散当x=/2时，级数为>V2'n=180-1当x=-~2时，级数为Z级数发散=V2原级数的收敛区间为（-~2,V2)

1, 2 1 2 当 x  即 x  2时, 级数发散, 当x = 2时, , 2 1 1   n= 级数为 当x = − 2时, , 2 1 1   = − n 级数为 级数发散, 级数发散, 原级数的收敛区间为 (− 2, 2)

幂级数的性质二、张和函数的分析运算性质：8Z幂级数(1) anx" 的和函数s(x)在收敛区间n=0(-R,R)内连续,在端点收敛,则在端点单侧连续

二、幂级数的性质 和函数的分析运算性质: (1) 幂级数  n=0 n an x 的和函数s(x) 在收敛区间 (−R, R)内连续,在端点收敛,则在端点单侧连续

8Z幂级数(2) a,x"的和函数s(x)在收敛区间n=0(-R,R)内可积,且对Vx E(-R,R)可逐项积分s(x)dx=,(Z即sanx")dxn=0QN-2a,"dx=n+n=0n+1n=0（收敛半径不变）

(2) 幂级数  n=0 n an x 的和函数s(x) 在收敛区间 (−R, R)内可积,且对x  (−R, R)可逐项积分.     = = x n n n x s x dx a x dx 0 0 0 即 ( ) ( )   = = 0 0 n x n an x dx . 1 1 0 +  =  + = n n n x n a (收敛半径不变)

8Z幂级数anx"的和函数s(x)在收敛区间(3) n=0(-R,R)内可导，并可逐项求导任意次8即s(x)=(Ea,x")n=0Z(a,r"y-2na,xn=1n=0(收敛半径不变)

(3) 幂级数  n=0 n an x 的和函数s(x) 在收敛区间 (−R, R)内可导, 并可逐项求导任意次.   =  =  0 ( ) ( ) n n 即 s x an x   = =  0 ( ) n n an x . 1 1   = − = n n nan x (收敛半径不变)

8(-1)"-1 x"例 4 求级数的和函数nn=l8n-1 x解 : s(x)=E(-1)"-1显然 s(0)= 0,nn=11s(x) = 1- x+x2(-1<x<1)1+ x两边积分得J, s'(t)dt = In(1+ x)

例 4 求级数  = − − 1 1 ( 1) n n n n x 的和函数. 解 ( ) ( 1) , 1 1   = − = − n n n n x s x 显然 s(0) = 0, 两边积分得 ( ) ln(1 ) 0 s t dt x x  = +  s(x) = 1− x + x 2 − , 1 1 + x = (−1  x  1)