《数学分析》课程教学资源（PPT课件）第十四章 幂级数

如果p=0,Vx+ 0,(2)n+1t"+1a有→0 (n→), 级数Ela,x"I收敛,anx"n=08从而级数aa,x"绝对收敛．收敛半径 R=+oo;n=0(3) 如果p=+00,8Vx±0,级数Ea,x"必发散.n=08(否则由定理1知将有点x ≠0使la,x"I收敛n=0收敛半径R=0定理证毕

(2) 如果 = 0, x  0, 0 ( ), 1 1 → →  + + n a x a x n n n n 有 | | , 0 级数 收敛  n= n an x . 0 从而级数 绝对收敛  n= n an x 收敛半径 R = +; (3) 如果 = +, x  0, . 0   n= n 级数 an x 必发散 ( 1 0 | | ) 0 否则由定理 知将有点 使 收敛  =  n n x an x 收敛半径 R = 0. 定理证毕

例2求下列幂级数的收敛区间：(1) Z(-1)";P(2) E(-nx)";nn=1n=188x2,(x-1)(3) 2(4) E(-1)"I n!n=1n=lann+1解 (1) :p=lim1 :.R=1limn28an+ln->0X-1)"当x=时，级数为2该级数收敛nn=182当x = -1时,级数为该级数发散nn=1

例2 求下列幂级数的收敛区间: 解 (1) n n n a a 1 lim + →  = 1 lim + = → n n n = 1 R = 1 当x = 1时, 当x = −1时, , ( 1) 1   = − n n n 级数为 , 1 1   n= n 级数为 该级数收敛 该级数发散 (1) ( 1) ; 1 n x n n n   = − (2) ( ) ; 1   = − n n nx ; ! (3) 1   n= n n x ) . 2 1 ( 2 (4) ( 1) 1 n n n n x n  − −  =

故收敛区间是(-1,1)(2) E(-nx)";n=1:p = limn= lim n= +o0, :. R = 0,n-→n-→o0级数只在x =0处收敛(3)2n!1an+10.: p = limm:. R= +0,n-8n+n->o0a收敛区间(-80,+8)

故收敛区间是(−1,1]. n n n a →  = lim n n→ = lim = +, R = +, 级数只在x = 0处收敛, n n n a a 1 lim + →  = 1 1 lim + = n→ n = 0, R = 0, 收敛区间(−,+). (2) ( ) ; 1   = − n n nx; ! (3) 1   n= n n x

2n87(4) Z(-1)x2nn=12/nan+)1: p = lim·R= lim2二2°an→n+1n-80 V1111即收敛,xe(0,1)收敛,x-228级数为当x = 0时,发散n=i Vn8(-1)"收敛当x = 1时,级数为1Vnn=1故收敛区间为(0,1)

n n n a a 1 lim + →  = 1 2 lim + = → n n n = 2 , 2 1  R = , 2 1 2 1 即 x −  收敛 x(0,1)收敛, ) . 2 1 ( 2 (4) ( 1) 1 n n n n x n  − −  = 当x = 0时, , 1 1   n= n 级数为 当x = 1时, , ( 1) 1   = − n n n 级数为 发散 收敛 故收敛区间为(0,1]

2n-18XN例3求幂级数的收敛区间，2nn=1.3.5xX解　：级数为一++·缺少偶次幂的项2222应用达朗贝尔判别法1.2n+1xUn+1(x)2 n+1lim lim.2n-1u,(x)n-→>n-→00XL2"即|x</2时,当_x2<1,级数收敛，2

例 3 求幂级数  = − 1 2 1 n 2 n n x 的收敛区间. 解  + + 3 + 5 2 3 2 2 2 x x x 级数为 缺少偶次幂的项 应用达朗贝尔判别法 ( ) ( ) lim 1 u x u x n n n + → n n n n n x x 2 2 lim 2 1 1 2 1 − + + → = , 2 1 2 = x 1, 级数收敛, 2 1 2 当 x  即 x  2时