Bose- Einstein凝结(复旦大学物理系,孙鑫,2003.8) 是零(见图14),不存在相变,粒子不会聚集到零动量状态上来 对于Bose粒子,零动量的相对粒子数A(T)不再总是零,而是如图16所示: 存在一个临界温度T,当T>T时,A(T)=0,当T<T时,A(7)>0;当7→>0 时,A(T)→1 这说明,当温度降低到T时,粒子开始向零动量状态上聚集.温度愈低,零 动量状态上的粒子就愈多.当T→>0时,全部粒子都聚集到零动量状态上,这称 为B-E凝结 注意,这是在动量空间的凝结.由于动量为零的波函数在坐标空间是常数 所以在坐标空间中,粒子分布仍是均匀的,不发生凝结 动量空间的凝结表示大量粒子都集中到一个量子态(基态)上,这些粒子都 具有相同的位相,是一种相干态.因为粒子总数N是宏观量,所以BE凝结是 一种宏观的量子效应,实际上它是超流和超导( Cooper对的凝结)的机理
6 Bose-Einstein 凝结（复旦大学物理系，孙鑫，2003. 8） 是零（见图 1.4），不存在相变，粒子不会聚集到零动量状态上来． 对于 Bose 粒子，零动量的相对粒子数 ( ) A0 T 不再总是零，而是如图 1.6 所示： 存在一个临界温度Tc，当T > Tc 时，A0 (T) = 0，当T < Tc时，A0 (T) > 0；当T → 0 时， A0 (T) →1． 这说明，当温度降低到Tc时，粒子开始向零动量状态上聚集．温度愈低，零 动量状态上的粒子就愈多．当T → 0 时，全部粒子都聚集到零动量状态上，这称 为 B-E 凝结． 注意，这是在动量空间的凝结．由于动量为零的波函数在坐标空间是常数， 所以在坐标空间中，粒子分布仍是均匀的，不发生凝结． 动量空间的凝结表示大量粒子都集中到一个量子态（基态）上，这些粒子都 具有相同的位相，是一种相干态．因为粒子总数 N 是宏观量，所以 B-E 凝结是 一种宏观的量子效应．实际上它是超流和超导（Cooper 对的凝结）的机理．
理论 2.1凝结的物理原因 在介绍B-E凝结的理论之前,先说明一下凝结的物理原因,这来源于微观粒 子的波粒二象性. 在经典统计中,粒子是定域的,任一时间都有确定的位置,因而每个粒子都 有各自的轨道.对于全同粒子,虽然它们的所有属性完全相同,但是,仍可根据 各自的轨道将它们辨别岀来.所以经典统计中的全同粒子仍是可辨别的,交换两 个粒子就出现新的状态. 在量子统计中,微观粒子具有波粒二象性,没有轨道,各个粒子的波函数相 互交叠,不能用轨道来辨认粒子.因此,量子统计与经典统计的根本差别就是: 全同粒子是不可辨别的,交换两个粒子不出现新的状态. 对于Bose粒子(同一状态上可存在许多粒子),全同粒子的不可辨别性,就 带来了聚集的倾向,这可以从两方面来说明 1.几率的对比 下面通过一个例子来说明这一道理.设粒子具有自旋(S=1),只能处于 S=+1或S=-1两个状态 (a)先讨论3个粒子的简单情况 ※对于经典统计,体系有下述8(23)个状态(一种分布可有几个不同的状态) ① ① 3个粒子聚集在一起(↑态或者↓态)的几率为P_84·非聚集的几率为 ※对于Bose统计,体系只有4个状态(一种分布只有一个状态)
2．理论 7 2. 理论 2.1 凝结的物理原因 在介绍 B-E 凝结的理论之前，先说明一下凝结的物理原因，这来源于微观粒 子的波粒二象性． 在经典统计中，粒子是定域的，任一时间都有确定的位置，因而每个粒子都 有各自的轨道．对于全同粒子，虽然它们的所有属性完全相同，但是，仍可根据 各自的轨道将它们辨别出来．所以经典统计中的全同粒子仍是可辨别的，交换两 个粒子就出现新的状态． 在量子统计中，微观粒子具有波粒二象性，没有轨道，各个粒子的波函数相 互交叠，不能用轨道来辨认粒子．因此，量子统计与经典统计的根本差别就是： 全同粒子是不可辨别的，交换两个粒子不出现新的状态． 对于 Bose 粒子（同一状态上可存在许多粒子），全同粒子的不可辨别性，就 带来了聚集的倾向，这可以从两方面来说明． 1. 几率的对比 下面通过一个例子来说明这一道理．设粒子具有自旋（ S =1），只能处于 = +1 ↑ S 或 = −1 ↓ S 两个状态． (a) 先讨论 3 个粒子的简单情况． ※ 对于经典统计，体系有下述 8（ 3 2 ）个状态（一种分布可有几个不同的状态）： ↑ ↓ ↑ ↓ ↑ ↓ ↑ ↓ ① ① ① ① ② ② ② ② ③ ③ ③ ③ ↑ ↓ ↑ ↓ ↑ ↓ ↑ ↓ ① ① ① ① ② ② ② ② ③ ③ ③ ③ 3 个粒子聚集在一起（↑ 态或者↓ 态）的几率为 4 1 8 2 = = C p ．非聚集的几率为 4 3 =1− = C C q p ． ※ 对于 Bose 统计，体系只有 4 个状态（一种分布只有一个状态）．
Bose- Einstein凝结(复旦大学物理系,孙鑫,2003.8) O 聚集在一起的几率为pQ=21.非聚集的几率为q°=1-p°=1 将量子情况与经典情况加以比较,可以看到:聚集的凡率増加了一倍(从经 典下的_増加为量子下的),非聚集的几率则下降了(从经典下的减少为量 2 子下的),这说明全同粒子的不可分辨性产生了聚集性 (b)再讨论对不同的聚集和离散程度,几率的变化. 上面的例子比较简单,只有一种聚集状态和一种离散状态.现在来讨论n个 粒子的情况,可有多种不同程度的聚集和离散.具体看一下,当以不同程度聚集 时,几率増加多少;不同离散程度的非聚集下,几率降低多少. 设粒子的数目n是偶数,分布团|0就是完全聚集;分布-11,-2|2 等就是程度不同的不完全聚集.同样,分布m/2n/2是最离散的非聚集,分布 n/2-11n/2+1,m/2-2|n/2+2是离散程度不同的非聚集 对每一种分布,都可在经典和量子情况下,算出其几率.将两者比较,就可 看出,不同聚集程度下,几率増加了多少;同样,对不同的离散程度,几率减少 了多少 ※经典情况 总状态数M=2",分布为-mm的状态数为Cm,此种分布的几率为 ※量子情况 每种分布就是一种状态,总状态数为n+1,各种分布的几率都是p 因此从经典变为量子,几率的变化为 pe p(n+1)Cm (21) 对于聚集情况,m<<n,此比值大于1,而且随着聚集程度的增加(m减少)
8 Bose-Einstein 凝结（复旦大学物理系，孙鑫，2003. 8） ↑ ↓ ↑ ↓ ↑ ↓ ↑ ↓ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ 聚集在一起的几率为 2 1 4 2 = = Q p ，非聚集的几率为 2 1 = 1− = Q Q q p ． 将量子情况与经典情况加以比较，可以看到：聚集的几率增加了一倍（从经 典下的 4 1 增加为量子下的 2 1 ），非聚集的几率则下降了（从经典下的 4 3 减少为量 子下的 2 1 ），这说明全同粒子的不可分辨性产生了聚集性． (b) 再讨论对不同的聚集和离散程度，几率的变化． 上面的例子比较简单，只有一种聚集状态和一种离散状态．现在来讨论n 个 粒子的情况，可有多种不同程度的聚集和离散．具体看一下，当以不同程度聚集 时，几率增加多少；不同离散程度的非聚集下，几率降低多少． 设粒子的数目n 是偶数，分布 n | 0 就是完全聚集；分布 n −1|1 ， n − 2 | 2 等就是程度不同的不完全聚集．同样，分布 n / 2 | n / 2 是最离散的非聚集，分布 n / 2 −1| n / 2 +1 , n / 2 − 2 | n / 2 + 2 是离散程度不同的非聚集． 对每一种分布，都可在经典和量子情况下，算出其几率．将两者比较，就可 看出，不同聚集程度下，几率增加了多少；同样，对不同的离散程度，几率减少 了多少． ※ 经典情况 总状态数 n M = 2 ，分布为 n − m | m 的状态数为 m Cn ，此种分布的几率为 m n n C p = C 2 ． ※ 量子情况 每种分布就是一种状态，总状态数为n +1，各种分布的几率都是 1 1 + = n pQ 因此从经典变为量子，几率的变化为 ( ) m n n C Q p n C p 1 2 + = ． (2.1) 对于聚集情况，m << n ，此比值大于1，而且随着聚集程度的增加（m 减少）
此比值急速变大.这表明量子统计增加了聚集.对于离散情况,m~竺,此比值 小于1,而且,离散程度愈大(m更接近),比值变得更小,因此量子统计减 少了离散 当n=10时,下表列出了具体的数值 h -mIm 1010 8|2736|4 经典几率 P=Cm/2 1024 10242276853 4 量子几率 1 11 1111111 11 J(n+1) 几率变化 93.09 9.31 2.07 0.78 0.37 由上表可见,前三个分布是程度不同的聚集,几率都有所增加,聚集程度愈 大,几率也增加得愈多.四00是完全聚集,几率增加得最多,达到93倍.后三 种分布是程度不同的离散,几率都下降了;离散程度愈大,下降得愈厉害.此例 子定量表明了全同粒子不可分辨性增加了聚集,减小了离散. 2.碰撞的作用 要达到热平衡,必须通过粒子之间的碰撞,即使是理想气体,碰撞也必须考 虑,否则不能达到平衡分布,只有在达到平衡分布后,正碰和反碰的效果相互抵 消,分布不再改变.考虑到碰撞,将更清楚地看出,全同粒子不可分辨性会导致 聚集
2．理论 9 此比值急速变大．这表明量子统计增加了聚集．对于离散情况， 2 ~ n m ，此比值 小于1，而且，离散程度愈大（ m 更接近 2 n ），比值变得更小．因此量子统计减 少了离散． 当n = 10时，下表列出了具体的数值 分 布 n − m | m 10 | 0 9 |1 8 | 2 7 | 3 6 | 4 5 | 5 经典几率 m n n C p = C 2 1024 1 102.4 1 22.76 1 8.53 1 4.88 1 4.06 1 量子几率 p =1 ( ) n +1 Q 11 1 11 1 11 1 11 1 11 1 11 1 几率变化 Q C p p 93.09 9.31 2.07 0.78 0.44 0.37 由上表可见，前三个分布是程度不同的聚集，几率都有所增加，聚集程度愈 大，几率也增加得愈多．10 | 0 是完全聚集，几率增加得最多，达到93倍．后三 种分布是程度不同的离散，几率都下降了；离散程度愈大，下降得愈厉害．此例 子定量表明了全同粒子不可分辨性增加了聚集，减小了离散． 2. 碰撞的作用 要达到热平衡，必须通过粒子之间的碰撞，即使是理想气体，碰撞也必须考 虑，否则不能达到平衡分布，只有在达到平衡分布后，正碰和反碰的效果相互抵 消，分布不再改变．考虑到碰撞，将更清楚地看出，全同粒子不可分辨性会导致 聚集． p p′ k k′ 图 2.1