要点梳理忆一忆知识要点 4.二面角的有关概念 1)二面角:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形 叫做二面角 (2)二面角的平面角:以二面角的棱上的任意一点为端点, 在两个面内分别作与棱垂直于棱的射线,则两射线所成的 角叫做二面角的平面角
4．二面角的有关概念 (1)二面角：从一条直线出发的 所组成的图形 叫做二面角． (2)二面角的平面角：以二面角的棱上的任意一点为端点， 在两个面内分别作与棱 于棱的射线，则两射线所成的 角叫做二面角的平面角． 忆 一 忆 知 识 要 点 两个半平面 垂直 要点梳理
「难点正本疑点清源 1.两个平面垂直的性质定理 两个平面垂直的性质定理,即如果两个平面垂直,那么在 个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面是作点 到平面距离的依据,要过平面外一点P作平面的垂线,通 常是先作(找)一个过点P并且和a垂直的平面,设Bna =L,在内作直线a⊥l,则a⊥a 2.两平面垂直的判定 (1)两个平面所成的二面角是直角; (2)一个平面经过另一平面的垂线
[难点正本 疑点清源] 1．两个平面垂直的性质定理 两个平面垂直的性质定理，即如果两个平面垂直，那么在一 个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面是作点 到平面距离的依据，要过平面外一点 P 作平面的垂线，通 常是先作(找)一个过点 P 并且和 α 垂直的平面 β，设 β∩α ＝l，在 β 内作直线 a⊥l，则 a⊥α. 2．两平面垂直的判定 (1)两个平面所成的二面角是直角； (2)一个平面经过另一平面的垂线．
逦一直线与平面垂直的判定与性质 例1如图所示,在四棱锥 PABCD中,PA⊥ 底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC 60°,PA=AB=BC,E是PC的中点 证明:(1CD⊥AE; (2)PD⊥平面ABE D A C B
例 1 如图所示，在四棱锥 P—ABCD 中，PA⊥ 底面 ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC ＝60°，PA＝AB＝BC，E 是 PC 的中点． 证明：(1)CD⊥AE； (2)PD⊥平面 ABE. 直线与平面垂直的判定与性质
证明(1)由四棱锥P_ABCD中, PA⊥底面ABCD,CDC平面ABCD, PA⊥CDAC⊥CD,PA∩AC=A, CD⊥平面PAC. 而AEC平面PAC,∴CD⊥AE (2)由PA=AB=BC,∠ABC=60°, 可得AC=PA ∵E是PC的中点,∵AE⊥PC 由(1),知AE⊥CD,且 PCnCD=C, AE⊥平面PCD 而PDC平面PCD,∴AE⊥PD. ∵PA⊥底面ABCD,∴PA⊥AB
证明 (1)由四棱锥 P—ABCD 中， ∵PA⊥底面 ABCD，CD⊂平面 ABCD， ∴PA⊥CD.∵AC⊥CD，PA∩AC＝A， ∴CD⊥平面 PAC. 而 AE⊂平面 PAC，∴CD⊥AE. (2)由 PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°， 可得 AC＝PA. ∵E 是 PC 的中点，∴AE⊥PC. 由(1)，知 AE⊥CD，且 PC∩CD＝C， ∴AE⊥平面 PCD. 而 PD⊂平面 PCD，∴AE⊥PD. ∵PA⊥底面 ABCD，∴PA⊥AB
又:AB⊥AD且PA∩AD=A AB⊥平面PAD,而PDC平面PAD, AB⊥PD又: ABnAE=A, PD⊥平面ABE 探究提高 破解此类问题的关键在于熟练把握空间垂直关系的判定与性质, 注意平面图形中的一些线线垂直关系的灵活利用,这是证明空间 垂直关系的基础.由于“线线垂直”、“线面垂直”、“面面垂 直”之间可以相互转化,因此整个证明过程围绕着线面垂直这个 核心而展开,这是化解空间垂直关系难点的技巧所在
又∵AB⊥AD 且 PA∩AD＝A， ∴AB⊥平面 PAD，而 PD⊂平面 PAD， ∴AB⊥PD.又∵AB∩AE＝A， ∴PD⊥平面 ABE. 破解此类问题的关键在于熟练把握空间垂直关系的判定与性质， 注意平面图形中的一些线线垂直关系的灵活利用，这是证明空间 垂直关系的基础．由于“线线垂直”、“线面垂直”、“面面垂 直”之间可以相互转化，因此整个证明过程围绕着线面垂直这个 核心而展开，这是化解空间垂直关系难点的技巧所在． 探究提高