s8.6 等势面 电势与电场强度的微分关系 一，等势面 电场中电势相等的点连成的面称为等势面。 等势面的性质： (1)E⊥等势面
§8.6 等势面 电势与电场强度的微分关系 一. 等势面 电场中电势相等的点连成的面称为等势面。 等势面的性质: (1) E ⊥ 等势面
证明：设等势面上P点的电场强度与等势面夹角为8， 把qo在等势面上移动d,电场力作功为 dA=goE.dI go E cosedi =qo(4p-4o) 4p=4g .goE cosdl=0 COS=0 2 (2)规定相邻两等势面间的电势差都相同 等势面密→E大 等势面疏◆ E小 (③)电场强度的方向总是指向电势降落的方向
证明: dA q E dl q Ecos dl = 0 = 0 ( ) 0 p Q = q u − u p Q u = u q0Ecosdl = 0 cos = 0 2 = (2) 规定相邻两等势面间的电势差都相同 等势面密 E 大 等势面疏 E 小 p Q l d E (3) 电场强度的方向总是指向电势降落的方向 设等势面上P点的电场强度与等势面夹角为 , 把q0 在等势面上移动 l ,电场力作功为 d
二.电势与电场强度的微分关系 取两个相邻的等势面，等势面法线方向为，设E的方向与 相同，把点电荷从P移到Q,电场力作功为： d4=qE·dl=qE cos @dl gEdn dA=glu-(u+du)]=-qdu E cos edl Edn =-du E=- du dn 任意一场点处电场强度的大小等于沿过该点等势面法线方 向上电势的变化率，负号表示电场强度的方向指向电势减 小的方向
u u+du 二. 电势与电场强度的微分关系 取两个相邻的等势面，等势面法线方向为 = qEdn dA = qE dl = qEcosdl dA = q[u − (u + du)] = −qdu n u E d d = − Ecosdl = Edn = −du E n d 任意一场点P处电场强度的大小等于沿过该点等势面法线方 向上电势的变化率，负号表示电场强度的方向指向电势减 小的方向。 n 把点电荷从P移到Q，电场力作功为： n ，设 E 的方向与 n 相同， P Q l d
另一种理解 Ecos0 dl Edn=-du du E,dl=-du dl 电场强度在1方向的投影等于电势沿该方向变化率的负值 dl≥dn du du dl dn 电势沿等势面法线方向的变化率最大 在直角坐标系中 E、 E 8x E,= 8y 0z
在直角坐标系中 Ecosθ dl = Edn = −du 另一种理解 Eldl = −du l u El d d = − dl dn n u l u d d d d x u Ex = − y u Ey = − z u Ez = − 电势沿等势面法线方向的变化率最大 电场强度在 l 方向的投影等于电势沿该方向变化率的负值
E= k)=-grad(u 某点的电场强度等于该点电势梯度的负值，这就是电势与 电场强度的微分关系。 例已知u=6x-6x2y-7z2 求(2,3,0)点的电场强度。 解 Ou =-(6-12xy)=66 Bx u E=一 =6x2=24 F.=_ =-14z=0 y E=E1+E,7=66i+24)
某点的电场强度等于该点电势梯度的负值，这就是电势与 电场强度的微分关系。 ( k ) grad(u) z u j y u i x u E = − + + = − 例 求（2，3，0）点的电场强度。 已知 2 2 u = 6x − 6x y − 7z 解 = −(6 −12 ) = 66 = − xy x u Ex 6 24 2 = = = − x y u Ey E E i E j i j x y = + = 66 + 24 = −14 = 0 = − z z u Ez