瑕积分 若f(x)在ab上有无界点(即无穷间断点),则称积分 ∫f(x)为瑕积分,并称f(无界点为瑕点 定义2设f(x)在(a,b上连续,且imf(x)=∞,若对于任给的 e>0,总有极限mf(x)存在,则称瑕积分∫f(x) E→>0tJa+ 收敛,否则,称瑕积分Jf(x)发散此时的瑕积分 f(x)dx不再表示数值了,从而没有意义 注3若瑕点为a的积分/(x)收敛则 f(r)dx=lim f(x)dx 0f+e 存在
6 若ƒ(x)在[a, b]上有无界点(即无穷间断点), 则称积分 ( ) b a f x dx 二.瑕积分 为瑕积分, 并称ƒ(x)的无界点为瑕点. lim ( ) , x a f x → + = 0 lim ( ) , b a f x dx + → + 存在 ( ) b a f x dx ( ) . b a f x dx 发散 注3 若瑕点为a 的积分 ( ) b a f x dx 0 ( ) lim ( ) b b a a f x dx f x dx + → + = ( ) b a f x dx 定义2 设ƒ(x)在(a, b]上连续, 且 则称瑕积分 不再表示数值了, 从而没有意义. ε>0, 总有极限 若对于任给的 存在. 收敛; 否则, 称瑕积分 此时的瑕积分 收敛, 则
注4类似地可定义瑕点在积分区间的右端点b和内点 c(a<c<b时,瑕积分[f(x)的敛散性,即 1)若瑕点为b,则定义f(x=m(x (2)若瑕点为c(a<c<b),则定义 f(x)dx=li f(x)dx+ lim f(x)dx E2→>0tJC+E 例19计算瑕积分(1) dx (a>0) 解因lim x dx 则 lim
7 注4 类似地可定义瑕点在积分区间的右端点b和内点 ( ) b a f x dx 0 ( ) lim ( ) . b b a a f x dx f x dx + − → = (1)若瑕点为b, 则定义 (2)若瑕点为c(a<c<b), 则定义 1 1 2 0 0 2 ( ) lim ( ) lim ( ) . b c b a a c f x dx f x dx f x dx + + − → → + = + c(a<c<b)时, 瑕积分 的敛散性, 即 例19 计算瑕积分 0 2 2 (1) ( 0) a dx a a x − 2 2 1 lim x a a x → − = + − 解 因 0 0 2 2 2 2 0 lim a a dx dx a x a x + − → = − − 则