容易看出方程组(1)有两个平衡解:(0,0)和(c/b,r/a) 我们讨论后一个平衡解的性质 其次我们可以求出两条特殊轨线: at x(t)=x0e",y(t)=0 y(c-bx) x(t=0,y(t=yoe 也就是说,x轴和y轴的正半轴都是方程组(1)的轨线这样, 我们就可以得出结论:从第一象限出发的每一条轨线即 (2)式所描述的解)将永远保持在第一象限内下面我们 进一步来证明由(2)式所描述的轨线族是封闭的 b 8=K(2) 为此我们取 f(r=xe, g()=y'e 研究这两个函数它们结构相同,我们只要研究一个即可
容易看出,方程组(1)有两个平衡解: (0,0)和(c/b,r/a). 我们讨论后一个平衡解的性质. 其次,我们可以求出两条特殊轨线: ( ) 0, ( ) . ( ) , ( ) 0; 0 0 ct rt x t y t y e x t x e y t − = = = = 也就是说,x轴和y轴的正半轴都是方程组(1)的轨线.这样, 我们就可以得出结论:从第一象限出发的每一条轨线(即 (2)式所描述的解),将永远保持在第一象限内.下面我们 进一步来证明由(2)式所描述的轨线族是封闭的. = − − = − ( ). ( ), y c bx dt dy x r ay dt dx y e x e K (2) r ay c bx = − − 为此,我们取 ( ) , ( ) . c bx r ay f x x e g y y e − − = = 研究这两个函数.它们结构相同,我们只要研究一个即可
f(x)=xe^因此,∫()=0,f(+∞)=0,而且x>Q时 cx-bx x(c-bx b b e 因此f(x)有唯一的驻点x=c/b易知在此点出(x达到 最大值 其图形为: fr) gv) clb
. ( ) ( ) ( ) . , (0) 0, ( ) 0, 0 1 1 b x c b x c c c b x e x c bx e cx bx f x f x x e f f x − = − = = = + = − − − 因 此 而 且 时 因此,f(x)有唯一的驻点x=c/b.易知,在此点出f(x)达到 最大值 ( ) . c c m e b c f − = 其图形为: x f(x) c/b m f y g(y) r/a m g