练习10-1 1.设在xOy面内有一分布着质量的曲线弧L,在点(x,y)处它的线 密度为山(x,y,用对弧长的曲线积分分别表达 (1)这曲线弧对x轴、对y轴的转动惯量l,l (2这曲线弧的重心坐标x,j 2.利用对弧长的曲线积分的定义证明:如果曲线弧L分为两段 光滑曲线L1和L2,则 f(r,y)ds=l f(r,y)ds+ f(x,y)ds 3.计算下列对弧长的曲线积分 (1)(x2+y2)yds,其中L为圆周x= cacos t,y=aint(oss2m (2J(+y),其中L为连接(,0(.1)两点的直线段; (39xk,其中L为由直线yx及抛物线y=2所围成的区域的整 个边界; (4cyd,其中L为圆周x2+2=a,直线户及x轴在第 象限内所围成的扇形的整个边界; ds,其中r为曲线x= ecos t,y= e sint,z=e上相应 y 于t从0变到2的这段弧 (6x)xdk,其中T为折线ABCD,这里AB、C、D依次为点 (0,0,0)、(0,0,2)、(1,0,2)、(1,3,2) (Jy2d,其中L为摆线的一拱x=a(tsim,y=(-cos (0≤1≤2m); (8)[(x2+y2)db,其中L为曲线x=a(cost+si,y=a(sint=tcos0 (0≤t≤2m) 4.求半径为a,中心角为2均匀圆弧(线密度=1)的重
练习 10-1
5.设螺旋形弹簧一圈的方程为x= acos t,y= casino,z=kt,其中 01≤2,它的线密度p(x,y,2)=x2+y2+2,求 (1)它关于z轴的转动惯量l; (2)它的重心 练习10-2 设L为xOy面内直线x=a上的一段,证明:P(xM=0 2.设L为xOy面内x轴上从点(a,0)到(b,0)的一段直线 证明「P(x,y)x=PxO)dx 3.计算下列对坐标的曲线积分: ()J(2-y2)x,其中L是抛物线y=2上从点(0点2,4) 的一段弧 (29x,其中L为圆周(x3+y=2(0x轴所围成的在第 象限内的区域的整个边界(按逆时针方向绕行; (3),yx+xdby,其中L为圆周x=Rcos,y=Rimr上对应t从0到 z的一段弧 (f(+)+(xy),其中L为圆周x2+2=0(按逆时针方向绕行 (}x+2-y,其中r为曲线x=ky=aos2asim上对 应从0到的一段弧; (6)xdx+yd+(x+y-1)d,其中r是从点(,,1)到点(2,3,4的 段直线; ()y一+y,其中厂为有向闭折线ABC,这里的ABC 依次为点(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)
练习 10-2
)Jx2-2)+(2-2),其中L是抛物线y=x2上从(1 到(1,1)的一段弧 4.计算(+y)+(y=x),其中L是 (1)抛物线y=x2上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧; (2)从点(1,1)到点(4,2)的直线段; (3)先沿直线从点(1,1)到(1,2),然后再沿直线到点(4,2)的折线 (4)沿曲线x=2++1,y=t2+1上从点(1,1)到4,2)的一段弧 5.一力场由沿横轴正方向的常力F所构成,试求当一质量为m 的质点沿圆周x2+y2=R2按逆时针方向移过位于第一象限的那一段时 场力所作的功 6.设z轴与力方向一致,求质量为m的质点从位置(x1,y,z1) 沿直线移到(x2,y2,z2)时重力作的功 7.把对坐标的曲线积分P(xy)+C(xy)化成对弧长的曲线 积分,其中L为: (1)在xOy面内沿直线从点(0,0)到(1,1); (2)沿抛物线x2从点(0,0)到(1,1) (3)沿上半圆周x2+y2=2x从点(0,0)到(1,1 8.设r为曲线x=,y=t2,z=13上相应于t从0变到1的曲线弧, 把对坐标的曲线积分Pax+Q+R化成对弧长的曲线积分 练习10-3 1.计算下列曲线积分,并验证格林公式的正确性 ()2y-x)k+(x+y2,其中L是由抛物线yx2及y=x所围 成的区域的正向边界曲线
练习 10-3
(2)(x2-xy)d+(y2-2xy)dy,其中L是四个顶点分别为(0,0)、 (2,0)、(2,2)、和(0,2)的正方形区域的正向边界. 2.利用曲线积分,求下列曲线所围成的图形的面积 (1)星形线x= cacos t, y=asin't; (2)椭圆9x2+16y2=144 (3)圆x2+y2=2ax 3.计算曲线积分如2m,其中L为圆周(-1)2+2=2,L的方 向为逆时针方向 4.证明下列曲线积分在整个xOy面内与路径无关,并计算积分值: (2).(6xy2-y3)dx+(6x2y-3y2地dy +3)dx+ 5.利用格林公式,计算下列曲线积分: ()2x=y+4d+(5y+3x-y,其中L为三顶点分别为0.0) (3,0)和(3,2)的三角形正向边界; (2( x ycosx+2 lysine-y2e)k+(x2smx2y),其中L为正 向星形线x3+y3 a3(a>0 ()J2y3-y2co+0-2ysnx+32y2),其中L为在抛物线 2x=m2上由点(00到(,)的一段弧 ((x2-y)kx-(+in2yy,其中L是在圆周y=y2x2上由 点(0,0)到点(1,1)的一段弧
6.验证下列Px,y)dx+Q(x,y)在整个xOy平面内是某一函数 u(x,y)的全微分,并求这样的一个ux,y) (1)x+2y)dx+(2x+y)d 2)2xydx +x dy ()4sinxsin 3y cosxdx-3cos 3y cos2xdy (4)(3x2y+8xy2)x+(x3+8x2y+12ve")zhy; (5)(2xcos y+y x)dx+(2ysinx-x2sin y)dy 7.设有一变力在坐标轴上的投影为X=x+y2,=2y-8,这变力确 定了一个力场,证明质点在此场内移动时,场力所做的功与路径无关 练习10-4 1.设有一分布着质量的曲面Σ,在点(x,y,z)处它的面密度为(x,y,2, 用对面积的曲面积分表达这曲面对于x轴的转动惯量. 2.按对面积的曲面积分的定义证明公式 f(r, y, z)ds=lf(x,y, z)dS+ll f(x,y, z)ds 其中Σ是由∑1和∑2组成的 3.当是xOy面内的一个闭区域时,曲面积分』/(x,y8与二重 积分有什么关系? 4.计算曲面积分(x,y,其中为抛物面=24(2+y)在xOy 面上方的部分,f(x,y,z)分别如下 (1)f(x,y,z)}=1; (2)f(x,y,z)=x+y (3)f(x,y,z)=32 5.计算∫(x+yS,其中Σ是
练习 10-4