Jacobi迭代算法 1、输入系数矩阵A和向量b,和误差控制eps 2、X1={0,0,…,0},x2={1,1,…,1}∥赋初值 3、whie(A*x2b|>eps){ X1=X2 for(=0;i<n;i++){ x2[=0 for(j=0; j<i; j++)i 2+=A[*×1] forj=计+1j<nj+){ x2+=A[]*×1 又}的=x2b)A 输出解ⅹ2
Jacobi迭代算法 1、输入系数矩阵A和向量b，和误差控制eps 2、x1={0,0,…..,0} , x2={1,1,…..,1} //赋初值 3、while( ||A*x2-b||>eps) { x1=x2; for(i=0;i<n;i++) { x2[i]=0; for(j=0;j<i;j++) { x2[i] += A[i][j]*x1[j] } for(j=i+1;j<n;j++) { x2[i] += A[i][j]*x1[j] } x2[i]=-(x2[i]-b[i])/A[i][i] } } 4、输出解x2
迭代矩阵 记A=D一L-U II 0 D 0 0 0-a ain 0 0 L U 0 0 0 0 0
• 迭代矩阵 记 A= D− L−U = ann a D 0 11 0 − − − = − 0 0 0 0 0 1 1 2 1 an an n a L − − − = − 0 0 0 0 0 1 1 2 1 n n n a a a U
易知, Jacobi迭代有 (D-L-U)x=b Dx=(L+o)x+b x=D(L+O)x+D b G=DL+U=1-DA,8=D b
易知，Jacobi迭代有 (D − L −U)x = b Dx = (L +U)x + b x D L U x D b 1 1 ( ) − − = + + G D L U I D A g D b 1 1 1 ( ) , − − − = + = − =
收敛条件 迭代格式收敛的充要条件是G的谱半径<1。对于 Jacobi迭代,我们有一些保证收敛 的充分条件 定理:若A满足下列条件之一,则 Jacobi迭代收敛 ①A为行对角占优阵a∑a ②M为列对角占优阵>∑a 1≠J ③A满足 ∑ 1≠J
• 收敛条件 迭代格式收敛的充要条件是G的谱半径<1。对于Jacobi迭代，我们有一些保证收敛 的充分条件 定理：若A满足下列条件之一，则Jacobi迭代收敛。 ① A为行对角占优阵 ② A为列对角占优阵 ③ A满足 j i aii aij i j ajj aij 1 i j ii ij a a
证明:G=D(L+U) G‖=max <1 ∑ a<la ≠1 J Gl=mx∑|<1 ②A为列对角占优阵,则A为行对角占优阵,有 P(-D A< ∴p(Ⅰ-D4)=(/-D-1 A)<1 证毕
证明： ( ) 1 G = D L +U − i i j i i j j i i i i j i a a a a G = max 1 max 1 1 = i j ii ij i a a G ② A为列对角占优阵，则A T为行对角占优阵，有 ( ) 1 1 − − T I D A ( ) ( ) 1 1 1 − = − − − T I D A I D A ＃证毕