1.二阶齐次线性微分方程的性质和解的结构 (1)叠加原理 若y1(x)和y2(x)是二阶齐线性微分方程 y+p(x)y+q(xy=o 的解,则它们的线性组合 CV(x)+Cy2(x) 也是方程(2)的解,其中C、c2为任意常数(不一定相互独立) 你打算怎么证明这个原理?
1. 二阶齐次线性微分方程的性质和解的结构 (1) 叠加原理 若 y1 (x)和 y2 (x) 是二阶齐线性微分方程 y + p(x) y + q(x) y = 0 的解，则它们的线性组合 ( ) ( ) 1 1 2 2 c y x + c y x 也是方程 (2) 的解， (2) ( ) 其中c1、c2为任意常数 不一定相互独立 。 你打算怎么证明这个原理？
证令yx)=cy(x)+c2y(x),代入方程(2)中,得 (C1y(x)+C2y2(x)"+p(x)(c1y(x)+c2y2(x) +q(x)(C1V1(x)+C,V2(x =(cy(x)+c2y2(x))+p(x)(c1y(x)+C2y2(x)) +q(x)(c1y1(x)+C2y2(x) G((x)+P(xy(x)+q(x)y,(x)) +c2(y2(x)+p(x)y2(x)+q(x)y2(x) =0+0=0 即y(x)=C1y(x)+c2y2(x)为方程(2)的解
证 ( ) ( ) ( ) (2) 令 y x = c1 y1 x + c2 y2 x ，代入方程 中，得 ( ( ) ( )) ( )( ( ) ( )) 1 1 2 2 1 1 2 2 c y x + c y x + p x c y x + c y x ( )( ( ) ( )) 1 1 2 2 + q x c y x + c y x ( ( ) ( )) ( )( ( ) ( )) 1 1 2 2 1 1 2 2 = c y x + c y x + p x c y x + c y x ( )( ( ) ( )) 1 1 2 2 + q x c y x + c y x ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( )) 1 1 1 1 = c y x + p x y x + q x y x ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( )) 2 2 2 2 + c y x + p x y x + q x y x = 0+0 = 0， ( ) ( ) ( ) (2) 即 y x = c1 y1 x + c2 y2 x 为方程 的解
推广 若y;(x)(i=1,2,…n)是n阶齐线性微分方程 +p(x)y/+…+pn1(x)y+p,(x)y=0(2) 的解,则它们的线性组合 v(x) ∑cJ(x) 也是方程(2)的解。 其中c(i=12,…n)为任意常数(不一定相互独立)
( ) 1 ( ) ( ) 0 ( 1) 1 ( ) + + + − + = − y p x y p x y p x y n n n n 若 y (x) (i 1, 2, .n ) 是 n 阶齐线性微分方程 i = 的解，则它们的线性组合 = = n i i i y x c y x 1 ( ) ( ) 也是方程 (2) 的解。 其中c (i 1, 2, ,n )为任意常数(不一定相互独立)。 i = (2) 推 广
在什么情况下,叠加所得可以成为方程(2)的通解?
在什么情况下，叠加所得可以成为方程 (2) 的通解？
(2)线性无关、线性相关 设函数y(x)y2(x)在区间/上有定义。 若存在不全为零的常数c1和c2,使得 C1y1(x)+C2y2(x)=0x∈/, 则称函数y(x)与y2(x)在区间Ⅰ上是线性相关的。 否则称函数y(x)与y2(x)在区间I上是线性无关的
(2) 线性无关、线性相关 ( ) ( ) 设函数 y1 x 、y2 x 在区间I 上有定义。 若存在不全为零的常数c1 和c2 ，使得 ( ) ( ) 0 c1 y1 x + c2 y2 x xI， ( ) ( ) 则称函数 y1 x 与 y2 x 在区间 I 上是线性相关的。 ( ) ( ) 否则称函数 y1 x 与 y2 x 在区间 I 上是线性无关的