第1章命题逻辑 1.2命题公式及分类 为了用数学的方法研究命题,就必须像数学处理问题那样 将命题公式化,并讨论对于这些公式的演算(推理)规则, 以期由给定的公式推导出新的命题公式来。 前面我们用、q、r等符号表示确定的简单命题,通常此时 称它们为命题常元。而事实上,这些常元无论具体是怎样的 简单命题,它们的真值均只可能是“1"或“0″。为了更广 泛地应用命题演算,在研究时,我们只考虑命题的“真”与 “假”,而不考虑它的具体涵义(即只重“外延”,不顾 “内涵”)。譬如:当p是一个真命题时,p就是一个假 命题,而不管此时p表示的是命题“三七二十一”,还是命 题“今天天下雨”。这时的p实际上就是一个简单命题的抽 象,就如同数学公式中的变量x一样,我们称其为命题变元 命题变元一个不确指的(抽象的)命题,以、4表
第1章 命题逻辑 1.2 命题公式及分类 为了用数学的方法研究命题，就必须像数学处理问题那样 将命题公式化，并讨论对于这些公式的演算（推理）规则， 以期由给定的公式推导出新的命题公式来。 前面我们用p、q、r等符号表示确定的简单命题，通常此时 称它们为命题常元。而事实上，这些常元无论具体是怎样的 简单命题，它们的真值均只可能是“1”或“0”。为了更广 泛地应用命题演算，在研究时，我们只考虑命题的“真”与 “假”，而不考虑它的具体涵义（即只重“外延”，不顾 “内涵”）。譬如：当p是一个真命题时， p就是一个假 命题，而不管此时p表示的是命题“三七二十一”，还是命 题“今天天下雨”。这时的p实际上就是一个简单命题的抽 象，就如同数学公式中的变量x一样，我们称其为命题变元。 命题变元 一个不确指的（抽象的）命题，以p、q、r等表之。
第1章命题逻辑 命题公式由命题变元(常元)符、联结词和圆括 号按一定逻辑关系联结起来的字符串 所谓按一定的逻辑关系,即字符串的构成要求合理, 如(一p)是个合理的构成,是命,(∧p)不是合 理的构成,就不是命题公式,同样(pq)∨r)也不 是合理的构成(括号必须成对出现),因此也不是命题 公式。合理的命题公式叫做合式公式,记作:w (w/= Well Formed formulas),也称真值函数
第1章 命题逻辑 命题公式 由命题变元（常元）符、联结词和圆括 号按一定逻辑关系联结起来的字符串。 所谓按一定的逻辑关系，即字符串的构成要求合理， 如（ p）是个合理的构成，是命，（∧p）不是合 理的构成，就不是命题公式，同样（p→q）∨r）也不 是合理的构成（括号必须成对出现），因此也不是命题 wff （wff=Well Formed Formulas ），也称真值函数。
第1章命题逻辑 定义12.1合式公式的递归定义: [1]单个的命题变元(或常元)是合式公式。 [2]如果A是一个合式公式,则( A)也是合式公式。 [3]如果A、B均是合式公式,则(A∧B)、(AVB) (A→B)、(AB)也都是合式公式。 [4]只有有限次地应用[1]、[2]、[3]组成的字符串才是合 式公式 例如:((pVq)∧r)、((-p)∧(q∧r))、(((p→) ∧(qVr))>(一p)→r))均是合式公式。第3式的生成过 程如下: 8(p→q)[3]①② ⑤(q∨r)[3]②4
第1章 命题逻辑 定义1.2.1 合式公式的递归定义： ［1］单个的命题变元（或常元）是合式公式。 ［2］如果A是一个合式公式，则（ A）也是合式公式。 ［3］如果A、B均是合式公式，则（A∧B）、（A∨B）、 （A→B）、（A B）也都是合式公式。 ［4］只有有限次地应用［1］、［2］、［3］组成的字符串才是合 式公式。 例如：（（p∨q）∧r）、（（ p）∧(q∧r））、（（（p→q） ∧（q∨r (( p）→r））均是合式公式。第3式的生成过 程如下： ①p ［1］ ②q ［1］ ③（p→q )［3］①② ④r ［1］ ⑤（q∨r） ［3］②④
第1章命题逻辑 P [2]① ⑦( → [3]④⑥ 8((p-q)∧(qVr)[3]③3⑤ ⑨(((p-q)∧(qVr))<((p)→r))[3]⑦a 注(1)A、B均代表任意的命题公式。 (2)为方便起见,公式最外层及(一A)的括号可省略
第1章 命题逻辑 ⑥（ p ） ［2］① ⑦（（ p ）→r） ［3］④⑥ ⑧（（p→q）∧（q∨r） ［3］③⑤ ⑨（（（p→q）∧（q∨r p ）→r）） ［3］⑦⑧ 注 (1)A、B均代表任意的命题公式。 (2)为方便起见，公式最外层及（ A）的括号可省略。
第1章命题逻辑 定义122 (1)若4是单个命题(变元或常元),则称为0层公式 (2)称4为n+1(m0)层公式是指A符合下列诸情况之 ①A=1B,B是n层公式 ②A=B∧C,其中B为层公式、C为层公式, n=max (i, ③A=BVC,其中B、C的层次同②; ④A=B→C,其中B、C的层次同②; ⑤A=BC,其中B、C的层次同②。 上面生成的第3个式((p-yq)∧(q∨r)))(一1p)→r 是3层公式。 解释指定命题变元代表某个具体的命题。命题变元本身是无 意义的,它仅是一个符号。同样公式本身是无意义的,只有给 每个命题变元作了解释,它们才有意义
第1章 命题逻辑 定义1.2.2 (1)若A是单个命题（变元或常元），则称为0层公式。 (2)称A为n+1（n≥0）层公式是指A符合下列诸情况之一： ①A= B，B是n层公式； ②A=B∧C，其中B为i层公式、C为j层公式， n=max（i，j）； ③A=B∨C，其中B、C的层次同②； ④A=B→C，其中B、C的层次同②； ⑤A=B C，其中B、C的层次同②。 上面生成的第3个式（（p→q）∧（q∨r (( p）→r）） 是3层公式。 解释 指定命题变元代表某个具体的命题。 命题变元本身是无 意义的，它仅是一个符号。同样公式本身是无意义的，只有给 每个命题变元作了解释，它们才有意义。