3.2简单的三角恒等变换 【学习目标]1.能用二倍角公式导出半角公式,体会其中的三角恒等变换的基本思想方法.2 了解三角恒等变换的特点、变换技巧,掌握三角恒等变换的基本思想方法.3.能利用三角恒 等变换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用 1问题导学 知识点一.半角公式 思考1.我们知道倍角公式中,“倍角是相对的”,那么对余弦的二倍角公式,若用2a替换 a,结果怎样? 答案结果是cosa=2c0s2a-1=1-2sin2a=cos2-sin 思考2.根据上述结果,试用sina,cosa表示sin,cos 1+cos a 答案.∵cos cOS 2 sIn 同理sin=± cOS -cos a 1+cos a 思考3利用1m0a=0乙和倍角公式又能得到tmn2与sna,cosa怎样的关系 sin-·2cos 2 sin a 答案.tanz=a=aa a 1+cos COS CoS a SIn sin-·2sin sin a COS COS 梳理 sIn 1+cos a cos a sin a tan 1+cos a 1+cos a
.. .. 3.2 简单的三角恒等变换 学习目标 .1.能用二倍角公式导出半角公式，体会其中的三角恒等变换的基本思想方法.2. 了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法.3.能利用三角恒 等变换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用. 知识点一.半角公式 思考1.我们知道倍角公式中，“倍角是相对的”，那么对余弦的二倍角公式，若用2α替换 α，结果怎样？ 答案.结果是 cos α＝2cos2α 2 －1＝1－2sin2α 2 ＝cos 2α 2 －sin2α 2 . 思考 2.根据上述结果，试用 sin α，cos α 表示 sin α 2 ，cos α 2 ，tan α 2 . 答案.∵cos2α 2 ＝ 1＋cos α 2 ，∴cos α 2 ＝± 1＋cos α 2 ， 同理 sin α 2 ＝± 1－cos α 2 ，∴tan α 2 ＝ sin α 2 cos α 2 ＝± 1－cos α 1＋cos α . 思考 3.利用 tan α＝ sin α cos α 和倍角公式又能得到 tan α 2 与 sin α，cos α 怎样的关系？ 答案. tan α 2 ＝ sin α 2 cos α 2 ＝ sin α 2 ·2cos α 2 cos α 2 ·2cos α 2 ＝ sin α 1＋cos α ， tan α 2 ＝ sin α 2 cos α 2 ＝ sin α 2 ·2sin α 2 cos α 2 ·2sin α 2 ＝ 1－cos α sin α . 梳理 sin α 2 ＝± 1－cos α 2 ，... cos α 2 ＝± 1＋cos α 2 ， tan α 2 ＝ ± 1－cos α 1＋cos α ＝ sin α 1＋cos α ＝
1-cos a sin a 知识点二.辅助角公式 思考1. asin X+ bcos x化简的步骤有哪些? 答案.(1)提常数,提出+b得到 sin x+ CCos X a2+b2 a2+b2 (2)定角度,确定一个角满足: b coS (或sin0= √+b cos 0= 一般0为特 a2+b2 a2+b2 +b 殊,3则得到+(mm00+(mm+o 0 cos x)) (3)化简、逆用公式得ainx+osx=a+bsin(x+0)(或ainx+kosx=Va+b 思考2.在上述化简过程中,如何确定所在的象限? 答案.θ所在的象限由a和b的符号确定 梳理.辅助角公式: asin X+ bcos x=ya+bsin(x+0).(其中tanO 题型探究 类型一.应用半角公式求值 例1.已知sinO <b<3丌,求COS一和 且 2<0<3丌, 0 1+cos 由cos0=2cos2--1,得cos2 5丌03丌 cos ,·COS 2 1+cos 6
.. .. 1－cos α sin α . 知识点二.辅助角公式 思考 1.asin x＋bcos x 化简的步骤有哪些？ 答案.(1)提常数，提出 a 2＋b 2得到 a 2＋b 2 a a 2＋b 2 sin x＋ b a 2＋b 2 cos x . (2)定角度，确定一个角 θ 满足： cos θ＝ a a 2＋b 2 ，sin θ＝ b a 2＋b 2 (或 sin θ＝ a a 2＋b 2 ，cos θ＝ b a 2＋b 2 ).一般 θ 为特 殊角 π 4 ， π 3 等 ，则得到 a 2＋b 2 (cos θsin x＋sin θcos x)(或 a 2＋b 2 (sin θsin x＋cos θcos x)). (3)化简、逆用公式得 asin x＋bcos x＝ a 2＋b 2 sin(x＋θ)(或 asin x＋bcos x＝ a 2＋b 2 cos(x－θ)). 思考 2.在上述化简过程中，如何确定 θ 所在的象限？ 答案.θ 所在的象限由 a 和 b 的符号确定. 梳理.辅助角公式： asin x＋bcos x＝ a 2＋b 2 sin(x＋θ).(其中 tan θ＝ b a ) 类型一.应用半角公式求值 例 1.已知 sin θ＝ 4 5 ， 5π 2 ＜θ＜3π，求 cos θ 2 和 tan θ 2 . 解.∵sin θ＝ 4 5 ，且5π 2 ＜θ＜3π，∴cos θ＝－ 1－sin2θ ＝－ 3 5 . 由 cos θ＝2cos2θ 2 －1，得 cos 2θ 2 ＝ 1＋cos θ 2 ＝ 1 5 . ∵ 5π 4 ＜ θ 2 ＜ 3π 2 ，∴cos θ 2 ＝－ 1＋cos θ 2 ＝－ 5 5 . tan θ 2 ＝ sin θ 1＋cos θ ＝2
反思与感悟.(1)若没有给出角的范围,则根号前的正负号需要根据条件讨论 (2)由三角函数值求其他三角函数式的值的步骤: ①先化简所求的式子 ②观察已知条件与所求式子之间的联系(从角和三角函数名称入手) 8 3 跟踪训练1.已知sina 17 且π<a<。,求 cos一和tan x232,:2 15 cos a …s1n2 +cos a CoS 17 sIn a tan COS 类型二.三角恒等式的证明 1+sin 4 0-cos 4 0 1+sin 40+cos 4 8 例2.求证 tan 8 1-tan2 0 1+sin 4 8 48 tan 6 证明.要证原式,可以证明 1+sin 4 0 4 6 1-tan ∴左边=51n40+(1-cos40) sin 40+(1+cos 40) 2sin 2 cos 20+2sin 2 0 2sin 2 cos 26+2cos 2 8 2sin 2 0(cos 2 0+sin 20) 2cos 2 0(sin 2 6+cos 2o)tan 2 0, 右边 tan B tan 20, ∴左边=右边 原式得证 反思与感悟.证明三角恒等式的实质是消除等式两边的差异,有目的地化繁为简、左右归一 或变更论证.对恒等式的证明,应遵循化繁为简的原则,从左边推到右边或从右边推到左 边,也可以用左右归一,变更论证等方法.常用定义法、化弦法、化切法、拆项拆角法
.. .. 反思与感悟.(1)若没有给出角的范围，则根号前的正负号需要根据条件讨论. (2)由三角函数值求其他三角函数式的值的步骤： ①先化简所求的式子； ②观察已知条件与所求式子之间的联系(从角和三角函数名称入手). 跟踪训练 1.已知 sin α＝－ 8 17，且 π<α< 3π 2 ，求 sin α 2 ，cos α 2 和 tan α 2 . 解.∵sin α＝－ 8 17，π<α< 3π 2 ，∴cos α＝－ 15 17. 又∵π<α< 3π 2 ，∴ π 2 < α 2 < 3π 4 ， ∴sin α 2 ＝ 1－cos α 2 ＝ 1＋ 15 17 2 ＝ 4 17 17 ， cos α 2 ＝－ 1＋cos α 2 ＝－ 1－ 15 17 2 ＝－ 17 17 ， tan α 2 ＝ sin α 2 cos α 2 ＝－4. 类型二.三角恒等式的证明 例 2.求证：1＋sin 4θ－cos 4θ 2tan θ ＝ 1＋sin 4θ＋cos 4θ 1－tan2θ . 证明.要证原式，可以证明1＋sin 4θ－cos 4θ 1＋sin 4θ＋cos 4θ ＝ 2tan θ 1－tan2θ . ∵左边＝sin 4θ＋(1－cos 4θ) sin 4θ＋(1＋cos 4θ) ＝ 2sin 2θcos 2θ＋2sin2 2θ 2sin 2θcos 2θ＋2cos2 2θ ＝ 2sin 2θ(cos 2θ＋sin 2θ) 2cos 2θ(sin 2θ＋cos 2θ) ＝tan 2θ， 右边＝ 2tan θ 1－tan2θ ＝tan 2θ， ∴左边＝右边， ∴原式得证. 反思与感悟.证明三角恒等式的实质是消除等式两边的差异，有目的地化繁为简、左右归一 或变更论证.对恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左 边，也可以用左右归一，变更论证等方法.常用定义法、化弦法、化切法、拆项拆角法
“1”的代换法、公式变形法,要熟练掌握基本公式,善于从中选择巧妙简捷的方法 跟踪训练2证明:+n n a+1 n a+ 1=1 1+tan 证明.∵左边= stan 2 I-tan 2 1+ an--+tan -+1 1+tan+2tan -+l-tan tan -+2 --tan ∴原等式成立 类型三.利用辅助角公式研究函数性质 例3.已知函数f(x)=V3sin2 6 +251(12/(x∈R) (1)求函数f(x)的最小正周期 (2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合 解.(1)∵f(x)=√3sin(2x一)+2 n(1+1-c-) 4264-副]24-司+1 3 f(x)的最小正周期为7=-=m
.. .. “1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法. 跟踪训练 2.证明： sin α＋1 1＋sin α＋cos α ＝ 1 2 tan α 2 ＋ 1 2 . 证明.∵左边＝ 2tan α 2 1＋tan2α 2 ＋1 1＋ 2tan α 2 1＋tan2 α 2 ＋ 1－tan2α 2 1＋tan2α 2 ＝ tan2α 2 ＋2tan α 2 ＋1 1＋tan2α 2 ＋2tan α 2 ＋1－tan2α 2 ＝ tan α 2 ＋1 2 2tan α 2 ＋2 ＝ 1 2 tan α 2 ＋1 ＝ 1 2 tan α 2 ＋ 1 2 ＝右边， ∴原等式成立. 类型三.利用辅助角公式研究函数性质 例 3.已知函数 f(x)＝ 3sin 2x－ π 6 ＋2sin2 x－ π 12 (x∈R). (1)求函数 f(x)的最小正周期； (2)求使函数 f(x)取得最大值的 x 的集合. 解.(1)∵f(x)＝ 3sin(2x－ π 6 )＋2sin2 x－ π 12 ＝ 3sin[2 x－ π 12 ]＋1－cos 2 x－ π 12 ＝2 3 2 sin 2 x－ π 12 － 1 2 cos 2 x－ π 12 ＋1 ＝2sin 2 x－ π 12 － π 6 ＋1 ＝2sin 2x－ π 3 ＋1， ∴f(x)的最小正周期为 T＝ 2π 2 ＝π
(2)当f(x)取得最大值时,sin2x-31, 32kπ+,即x=kx+ (k∈Z) 所求x的集合为{x|x=k+ 5丌 Z 反思与感悟.(1)为了研究函数的性质,往往要充分利用三角变换公式转化为正弦型(余弦型) 函数,这是解决问题的前提 (2)解此类题时要充分运用两角和(差)、二倍角公式、辅助角转换公式消除差异,减少角的 种类和函数式的项数,为讨论函数性质提供保障 跟踪训练3已知函数(=+),(-=2-1 (1)求函数f(x)的最小正周期 (2)求函数h(x)=f(x)-g(x)的最大值,并求使h(x)取得最大值时x的集合 4.(1)(x)=icos r-y3sin x]- ( icos x+ v3s -cos X"SIn X 1+cos 2x 3(1-cos 2x) f(x)的最小正周期为7== (2)h(x)=f(x)-g(x)=cos 2x-csin 2x 2(<×、分 当2x+4=2k五(k∈Z)时,(x)有最大值2 此时x的取值集合为x|x=k 类型四.三角函数在实际问题中的应用 例4.如图,ABCD是一块边长为100m的正方形地皮,其中AS是半径为90m的扇形小山 其余部分都是平地.一开发商想在平地上建一个矩形停车场,使矩形的一个顶点P在ST上 相邻两边QCR正好落在正方形的边BC、CD上,求矩形停车场PQC面积的最大值和最小
.. .. (2)当 f(x)取得最大值时，sin 2x－ π 3 ＝1， 有 2x－ π 3 ＝2kπ＋ π 2 ，即 x＝kπ＋ 5π 12 (k∈Z)， ∴所求 x 的集合为{x|x＝kπ＋ 5π 12 ，k∈Z}. 反思与感悟.(1)为了研究函数的性质，往往要充分利用三角变换公式转化为正弦型(余弦型) 函数，这是解决问题的前提. (2)解此类题时要充分运用两角和(差)、二倍角公式、辅助角转换公式消除差异，减少角的 种类和函数式的项数，为讨论函数性质提供保障. 跟踪训练 3.已知函数 f(x)＝cos π 3 ＋x ·cos π 3 －x ，g(x)＝ 1 2 sin 2x－ 1 4 . (1)求函数 f(x)的最小正周期； (2)求函数 h(x)＝f(x)－g(x)的最大值，并求使 h(x)取得最大值时 x 的集合. 解.(1)f(x)＝ 1 2 cos x－ 3 2 sin x · 1 2 cos x＋ 3 2 sin x ＝ 1 4 cos 2 x－ 3 4 sin2 x ＝ 1＋cos 2x 8 － 3(1－cos 2x) 8 ＝ 1 2 cos 2x－ 1 4 ， ∴f(x)的最小正周期为 T＝ 2π 2 ＝π. (2)h(x)＝f(x)－g(x)＝ 1 2 cos 2x－ 1 2 sin 2x ＝ 2 2 cos 2x＋ π 4 ， 当 2x＋ π 4 ＝2kπ(k∈Z)时，h(x)有最大值 2 2 . 此时 x 的取值集合为 x|x＝kπ－ π 8 ，k∈Z . 类型四.三角函数在实际问题中的应用 例 4.如图，ABCD 是一块边长为 100 m 的正方形地皮，其中 AST 是半径为 90 m 的扇形小山， 其余部分都是平地.一开发商想在平地上建一个矩形停车场，使矩形的一个顶点 P 在 ST 上， 相邻两边 CQ、CR 正好落在正方形的边 BC、CD 上，求矩形停车场 PQCR 面积的最大值和最小 值