3.2《简单的三角恒等变换》教学设计 【教学目标】 1会用已学公式进行三角函数式的化简、求值和证明,引导学生推导半角公式,积化和 差、和差化积公式(公式不要求记忆), 2使学生进一步提高运用转化、换元、方程等数学思想解决问题的能力. 【导入新课】 习引入:复习倍角公式S2C2T20 先让学生默写三个倍角公式,注意等号两边角的关系,特别注意.既然能用单角 表示倍角,那么能否用倍角表示单角呢? 新授课阶段 半角公式的推导及理解: 例1、试以cosa表示sin2a,cos2a,tan2a 解析:我们可以通过二倍角cosa=2cos2--1和cosa=1-2sin-来做此题.( 倍角公式中以a代2a,代a) 解:因为cosa=1-2sin2e 2可以得到sn2=1-osa 因为cosc≈)20-1,可以得到co a 1+cosa 两式相除可以得到an2a、Sn2a C 1-cos a sIn 点评:(1)以上结果还可以表示为 1+cosa cos a tan 1+cos a 并称之为半角公式(不要求记忆),符号由2角的象限决定
3.2《简单的三角恒等变换》教学设计 【教学目标】 1 会用已学公式进行三角函数式的化简、求值和证明，引导学生推导半角公式，积化和 差、和差化积公式（公式不要求记忆）， 2 使学生进一步提高运用转化、换元、方程等数学思想解决问题的能力. 【导入新课】 习引入：复习倍角公式 S2 、 C2 、T 2 先让学生默写三个倍角公式，注意等号两边角的关系，特别注意 C2 .既然能用单角 表示倍角，那么能否用倍角表示单角呢？ 新授课阶段 半角公式的推导及理解 ： 例1、 试以 cos 表示 2 2 2 sin ,cos , tan 2 2 2 ． 解析：我们可以通过二倍角 2 cos 2 cos 1 2 = − 和 2 cos 1 2sin 2 = − 来做此题．（二 倍角公式中以代 2， 2 代） 解：因为 2 cos 1 2sin 2 = − ，可以得到 2 1 cos sin 2 2 − = ； 因为 2 cos 2 cos 1 2 = − ，可以得到 2 1 cos cos 2 2 + = ． 两式相除可以得到 2 2 2 sin 1 cos 2 tan 2 1 cos cos 2 − = = + ． 点评：⑴以上结果还可以表示为： 1 cos sin 2 2 1 cos cos 2 2 − = + = 1 cos tan 2 1 cos − = + 并称之为半角公式（不要求记忆），符号由 2 角的象限决定
(2)降倍升幂公式和降幂升倍公式被广泛用于三角函数式的化简、求值、证明 (3)代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换,三角恒等变换常常首先寻找式子所包含 的各个角之间的联系,并以此为依据选择可以联系他们的适当公式,这是三角式恒等变换的 重要特点 例2求证 (1)sina cos B=sin(a+B)+sin(a-B)] (2) sin 8+sing=2sin0+0 6 cOs- 解析:回忆并写出两角和与两角差的正余弦公式,观察公式与所证式子的联系 证明:(1)因为sn(a+B)和sin(-B)是我们所学习过的知识,因此我们从等式 右边着手 sin(a+B)=sina cos B+cos asin B: sin(a-B)=sina cos B-cosasin B 两式相加得2 sina cos B=sin(a+B)+sin(a-B) BI sin a cos B=5[sin(a+B)+sin(a-B)] (2)由(1)得sin(a+B)+sin(a-B)=2 Sina cos B①:设a+B=0,a-B=g, 6+ 那么a 把a,B的值代入①式中得in叶+smg=2sim0+c50 CoS 2 点评:在例2证明中用到了换元思想,(1)式是积化和差的形式,(2)式是和差化 积的形式,在后面的练习当中还有六个关于积化和差、和差化积的公式. 例3求函数y=sinx+√3cosx的周期,最大值和最小值 解析:利用三角恒等变换,先把函数式化简,再求相应的值 解:y=sinx+√3cosx=2snx+cosx=2snx+ 所以,所求的周期72丌=2r,最大值为2,最小值为-2 点评:例3是三角恒等变换在数学中应用的举例,它使三角函数中对函数 y=Asi(ox+q)的性质研究得到延伸,体现了三角变换在化简三角函数式中的作用
⑵降倍升幂公式和降幂升倍公式被广泛用于三角函数式的化简、求值、证明. ⑶代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换，三角恒等变换常常首先寻找式子所包含 的各个角之间的联系，并以此为依据选择可以联系他们的适当公式，这是三角式恒等变换的 重要特点. 例 2 求证： （１） ( ) ( ) 1 sin cos sin sin 2 = + + − ； （２） sin sin 2sin cos 2 2 + − + = ． 解析：回忆并写出两角和与两角差的正余弦公式，观察公式与所证式子的联系. 证明：（１）因为 sin( + ) 和 sin( − ) 是我们所学习过的知识，因此我们从等式 右边着手． sin sin cos cos sin ( + = + ) ； sin sin cos cos sin ( − = − ) ． 两式相加得 2sin cos sin sin = + + − ( ) ( ) ； 即 ( ) ( ) 1 sin cos sin sin 2 = + + − ； （２）由（１）得 sin sin 2sin cos ( + + − = ) ( ) ①；设 + = − = , ， 那么 , 2 2 + − = = ． 把 , 的值代入①式中得 sin sin 2sin cos 2 2 + − + = ． 点评：在例２证明中用到了换元思想，（１）式是积化和差的形式，（２）式是和差化 积的形式，在后面的练习当中还有六个关于积化和差、和差化积的公式． 例３ 求函数 y x x = + sin 3 cos 的周期，最大值和最小值． 解析：利用三角恒等变换，先把函数式化简，再求相应的值. 解： 1 3 sin 3 cos 2 sin cos 2sin 2 2 3 y x x x x x = + = + = + ， 所以，所求的周期 2 T 2 = = ，最大值为２，最小值为−2 ． 点评：例３是三角恒等变换在数学中应用的举例，它使三角函数中对函数 y A x = + sin( ) 的性质研究得到延伸，体现了三角变换在化简三角函数式中的作用．
课堂小结 用和(差)角公式、倍角公式进行简单的恒等变换.我们要对三角恒等变换过程中体现 的换元、逆向使用公式等数学思想方法加深认识,学会灵活运用 作业 课本p143习题3.2A组1、(1)(5)3、5 拓展提升 1.已知cos(a+B)cos(a-B 则cos2a-sin2B的值为() C 2.在△ABC中,若 sinasinbcos2,则△ABC是() A.等边三角形 B.等腰三角形 C.不等边三角形 D.直角三角形 3.sina+sinB=(cosB-cosa),且a∈(0,π),B∈(0,π),则a-B 等于() D 4.已知csa+B)c0s(a-B)=3,则c-simB的值为() 2 C 5.在△ABC中,若 sinasinbcos22,则△ABC是() A.等边三角形 B.等腰三角形 C.不等边三角形D.直角三角形 6. sin a (cosB-cosa),且a∈(0,π),B∈(0,π),则a-B 2 7.已知sin(a+B)sin(B-a)=m,则cos2a-cos2B等于() D. 4m 、填空题 8.sin20°cos70°+sinl0°sin50°
课堂小结 用和（差）角公式、倍角公式进行简单的恒等变换.我们要对三角恒等变换过程中体现 的换元、逆向使用公式等数学思想方法加深认识，学会灵活运用． 作业 课本 p143 习题 3.2 A 组 1、（1）（5） 3 、5 拓展提升 1．已知 cos（α+β）cos（α－β）= 3 1 ，则 cos 2α－sin2β 的值为（ ） A．－ 3 2 B．－ 3 1 C． 3 1 D． 3 2 2．在△ABC 中，若 sinAsinB=cos 2 2 C ，则△ABC 是（ ） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．不等边三角形 D．直角三角形 3．sinα+sinβ= 3 3 （cosβ－cosα），且 α∈（0，π），β∈（0，π），则 α－β 等于（ ） A．－ 3 2π B．－ 3 π C． 3 π D． 3 2π 4．已知 cos（α+β）cos（α－β）= 3 1 ，则 cos 2α－sin2β 的值为（ ） A．－ 3 2 B．－ 3 1 C． 3 1 D． 3 2 5．在△ABC 中，若 sinAsinB=cos 2 2 C ，则△ABC 是（ ） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．不等边三角形 D．直角三角形 6．sinα+sinβ= 3 3 （cosβ－cosα），且 α∈（0，π），β∈（0，π），则 α－β 等于（ ） A．－ 3 2π B．－ 3 π C． 3 π D． 3 2π 7．已知 sin（α+β）sin（β－α）=m，则 cos 2α－cos 2β 等于（ ） A．－m B．m C．－4m D．4m 二、填空题 8．sin20°cos70°+sin10°sin50°=_________．
已知a-B=2x,且cosa+cosB=1,则cos(a+B)等于 三、解答题 10.已知f(x) ∈(0,π) (1)将f(x)表示成cosx的多项式 (2)求f(x)的最小值 12.已知△ABC的三个内角A、BC满足:A+G2B、1+-1万 求cosH-C COS A COSC cOS B 的值 13.已知 sinatsin3Asin5Aa, cos Atcos3Acos5Ab 求证:(2cos2A+1)2=a+B2 14. RiE: cos x+cos (x+ a)-2cos xcos a cos (x+ a)=sin a 15.求函数y=cos3x·cosr的最值
9．已知 α－β= 3 2π ，且 cosα+cosβ= 3 1 ，则 cos（α+β）等于_________． 三、解答题 10．已知 f（x）=－ 2 1 + 2 2sin 2 5 sin x x ，x∈（0，π）． （1）将 f（x）表示成 cosx 的多项式； （2）求 f（x）的最小值． 12．已知△ABC 的三个内角 A、B、C 满足：A+C=2B， A C cosB 2 cos 1 cos 1 + = − ，求 cos 2 A − C 的值． 13． 已知 sinA+sin3A+sin5A=a，cosA+cos3A+cos5A=b， 求证：（2cos2A+1） 2 =a 2 +b 2． 14． 求证：cos 2 x+cos2（x+α）－2cosxcosαcos（x+α）=sin2α． 15． 求函数 y=cos3x·cosx 的最值．
