一、课题导入 某城市的电视发射塔建在市郊的一座小山上。如图3.1-1所 示小山高BC约为30米在地平面上有一点A测得A,C两点 间距离约为67米,从A观测电视发射塔的视角≌CAD) 约为45。求这座电视发射塔的高度。 D 解:设电视塔高CD=x米,∠CAB=则sna 30在 RtAABD中, 67 X tan(45+a x+30 60 能否用sna把tn(45+a) 4567 C C 表示出来呢? 30 A 3.1-1 B
某城市的电视发射塔建在市郊的一座小山上。如图3.1-1所 示,小山高BC约为30米,在地平面上有一点A,测得A，C两点 间距离约为67米，从A观测电视发射塔的视角（ ） 约为 。求这座电视发射塔的高度。 CAD 45 A B C D 45 67 30 x 3.1-1 解:设电视塔高CD= 米， = 则 = 在 中， x CAB sin 67 30 RtABD 60 30 tan(45 ) + + x 能否用 把 表示出来呢？ sin tan(45 +) 一、课题导入
般地说,对于任意角a,B,能不能 用a,B的三角函数值把+B或者-B 的三角函数值表示出来呢? 下面我们来研究如何用任意角C,B 的正弦、余弦值来表示cos(x-B)的间 题
一般地说，对于任意角 ， ，能不能 用 ， 的三角函数值把 或者 的三角函数值表示出来呢？ + − 下面我们来研究如何用任意角 ， 的正弦、余弦值来表示 的问 题。 cos( − )
二、新课讲解 cos(a-B)=cos a-coS B A? %很明显:COs(60-c0s30)≠coS60-c030 所以对任意的a、B,cos(a-B)=cosa-cos6 不成立。 思考:CO2(-B)=5
二、新课讲解 cos( − ) = cos − cos 吗？ 很明显： 所以对任意的 、 ， 不成立。 cos(60 −cos30 ) cos60 −cos30 cos( − ) = cos − cos 思考： cos( − ) = ?
证法一、用单位圆上的三角函数线证明y 如右图:设角O的终边与 单位圆的交点为P1∠pOp1=B 则∠pOx=a-B 过点P作PM垂直于x轴,垂 aa 足为M,那么OM是角a-B B Mx 的余弦线。 思考:如何用角,B的正弦线、余 弦线来表示OM? 过点P作PA垂直于OP1,垂足为A,过点A作AB垂 直于x轴,垂足为B,过点P作PC垂直于AB,垂足为 C。则OA=cosa,AP=smB并且puc= EPOx=a 于是OM=OB+BM =OB+CP =OAcoS a +APSin a=cos B cos a+sin Bsin a
y O x 1 p p − M A B C 证法一、用单位圆上的三角函数线证明 如右图：设角 的终边与 单位圆的交点为 ， 则 1 p pop1 = pox = − 过点P作PM垂直于x轴，垂 足为M，那么OM是角 的余弦线。 − 思考：如何用角 ， 的正弦线、余 弦线来表示OM？ 过点P作PA垂直于O ，垂足为A，过点A作AB垂 直于x轴，垂足为B，过点P作PC垂直于AB，垂足为 C。则OA= ，AP= 并且 于是 OM=OB+BM =OB+CP =OA +AP = 1 p cos sin pac = p1 ox = cos sin cos cos + sin sin
Bp cos(a-B)=cos B cos a+sin Bsin a 证法二、用向量的方法证明 A B B 如右图:则 OA=(cos a, sin a), OB=(cos B, sin B) 由向量数量积的定义,有 OA-OB-=OA.OB cos(a-B)=cos(a-B)(D 由向量数量积的坐标表示,有 OA OB=(cos a, sin a)(cos B, sin B) = coS a cos B+sin asin B (2)
即 cos( − ) = cos cos + sin sin 证法二、用向量的方法证明 x y O A B 1 如右图：则 OA = (cos，sin ),OB = (cos ,sin ) 由向量数量积的定义，有 由向量数量积的坐标表示，有 OAOB = OA OB cos( − ) = cos( − ) （1） cos cos sin sin (cos ,sin ) (cos ,sin ) = + OAOB = （2）