§3.2简单的三角恒等变换 【学习目标】1.能用二倍角公式导出半角公式,体会其中的三角恒等变换的基本思想方法.2 了解三角恒等变换的特点、变换技巧,掌握三角恒等变换的基本思想方法.3.能利用三角恒等 变换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用 问题导学 预习新知夯实基础 知识点一半角公式 思考1我们知道二倍角公式中,“倍角是相对的”,那么对余弦的二倍角公式,若用2a 替换a,结果怎样? 答案结果是cosa=2co32-1=1-2sin=c032a-sin2 思考2根据上述结果,试用sina,cosa表示sin,∞02° a 1+cos a +cos a 答案∵cos2 cos cos a 同理sin cos a-2a2 1+cos a 思考3利和田tan0cosa和二倍角公式又能得到tan与sina,cosa怎样的关系? a sIn sin a 答案tan 1+cos a cOS coS sin-sin-·2sin sin a COS CoS 梳理 2
§3.2 简单的三角恒等变换 学习目标 1.能用二倍角公式导出半角公式，体会其中的三角恒等变换的基本思想方法.2. 了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法.3.能利用三角恒等 变换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用． 知识点一 半角公式 思考 1 我们知道二倍角公式中，“倍角是相对的”，那么对余弦的二倍角公式，若用 2α 替换 α，结果怎样？ 答案 结果是 cosα＝2cos2α 2 －1＝1－2sin2α 2 ＝cos 2α 2 －sin2α 2 . 思考 2 根据上述结果，试用 sinα，cosα 表示 sin α 2 ，cos α 2 ，tan α 2 . 答案 ∵cos2α 2 ＝ 1＋cosα 2 ，∴cos α 2 ＝± 1＋cosα 2 ， 同理 sin α 2 ＝± 1－cosα 2 ，∴tan α 2 ＝ sin α 2 cos α 2 ＝± 1－cosα 1＋cosα . 思考 3 利用 tanα＝ sinα cosα 和二倍角公式又能得到 tan α 2 与 sinα，cosα 怎样的关系？ 答案 tan α 2 ＝ sin α 2 cos α 2 ＝ sin α 2 ·2cos α 2 cos α 2 ·2cos α 2 ＝ sinα 1＋cosα ， tan α 2 ＝ sin α 2 cos α 2 ＝ sin α 2 ·2sin α 2 cos α 2 ·2sin α 2 ＝ 1－cosα sinα . 梳理 sin α 2 ＝± 1－cos α 2
coS一=± a cos a 1+cos a 1-cos a sin a 知识点二辅助角公式 思考1 asin+ bcos x化简的步骤有哪些? 答案(1)提常数,提出√a+b得到 inx+ +b2 (2)定角度,确定一个角0满足: b CoS a2+b2 a2+b2 + 般0为特殊角(·3等)则得到厉+(0m+smon(+ b(sin sinx +cos cosx)) ()化简、逆用公式得 asin+bosx=ya+bsin(x+0)(或 asIn+ bcos=√a+bcos(x 思考2在上述化简过程中,如何确定θ所在的象限? 答案0所在的象限由a和b的符号确定 梳理辅助角公式 as inx+ bcos x=Va2+bsin(x+0).其中tanO ■思考辨析判断正误 1.若≠k其,k∈Z,则tmn=s1n=10s恒成立.(√) cos a sin a 2.若函数f(x)=Asin(ax+中1),g(x)=Asin(ax+中2)(其中A>0,A>0,a>0),则h(x) =f(x)+g(x)的周期与f(x)和g(x)的一致.(√) 3.辅助角公式 asin-+ bcos x=√a+bsin(x+如),其中中所在的象限由a,b的符号决定, 中与点(a,b)同象限.(√)
cos α 2 ＝± 1＋cos α 2 ， tan α 2 ＝ ± 1－cos α 1＋cos α ＝ sin α 1＋cos α ＝ 1－cos α sin α . 知识点二 辅助角公式 思考 1 asinx＋bcosx 化简的步骤有哪些？ 答案 (1)提常数，提出 a 2＋b 2得到 a 2＋b 2 a a 2＋b 2 sinx＋ b a 2＋b 2 cosx . (2)定角度，确定一个角 θ 满足： cosθ＝ a a 2＋b 2，sinθ＝ b a 2＋b 2 或 sinθ＝ a a 2＋b 2，cosθ＝ b a 2＋b 2 . 一般 θ 为特殊角 π 4 ， π 3 等 ，则得到 a 2＋b 2 (cosθsinx＋sinθcosx)(或 a 2＋b 2 (sinθsinx ＋cosθcosx))． (3)化简、逆用公式得 asinx＋bcosx＝ a 2＋b 2 sin(x＋θ)(或 asinx＋bcosx＝ a 2＋b 2 cos(x －θ))． 思考 2 在上述化简过程中，如何确定 θ 所在的象限？ 答案 θ 所在的象限由 a 和 b 的符号确定． 梳理 辅助角公式： asinx＋bcosx＝ a 2＋b 2 sin(x＋θ). 其中 tanθ＝ b a 1．若 α≠kπ，k∈Z，则 tan α 2 ＝ sin α 1＋cos α ＝ 1－cos α sin α 恒成立．( √ ) 2．若函数 f(x)＝A1sin(ωx＋φ1)，g(x)＝A2sin(ωx＋φ2)(其中 A1>0，A2>0，ω>0)，则 h(x) ＝f(x)＋g(x)的周期与 f(x)和 g(x)的一致．( √ ) 3．辅助角公式 asinx＋bcosx＝ a 2＋b 2 sin(x＋φ)，其中 φ 所在的象限由 a，b 的符号决定， φ 与点(a，b)同象限．( √ ) 4．sinx＋ 3cosx＝2sin x＋ π 6 .( × )
提示sinx+√3cosx=2sinx+xcos 2sinl x+ 题型探究 启迪思维探究重点 类型一应用半角公式求值 例1已知sin15∠0<3丌,求cos和, 考点利用简单的三角恒等变换化简求值 题点利用半角公式化简求值 解∵sin45 5,H2<0<3I,:. cos 0=-V-sin2 由cos0=2cos2。-1,得 0 1+cos coS 2 +cos 0 0 sin b tan- 2 1+cos 0 反思与感悟利用半角公式求值的思路 (1)看角:若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍,则求解时常常借助半角公 式求解 (2)明范围:由于半角公式求值常涉及符号问题,因此求解时务必依据角的范围,求出相应半 角的范围 (3)选公式:涉及半角公式的正切值时,常用tamn2=1+c05a=sina,其优点是计 算时可避免因开方带来的求角的范围问题;涉及半角公式的正弦、余弦值时,常先利用sin2a 1+ co 算 (4)下结论:结合(2)求值 跟踪训练1已知sinθ 3<0<π,则tanx的值为()
提示 sinx＋ 3cosx＝2 1 2 sinx＋ 3 2 cosx ＝2sin x＋ π 3 . 类型一 应用半角公式求值 例 1 已知 sinθ＝ 4 5 ， 5π 2 ＜θ＜3π，求 cos θ 2 和 tan θ 2 . 考点 利用简单的三角恒等变换化简求值 题点 利用半角公式化简求值 解 ∵sinθ＝ 4 5 ，且5π 2 ＜θ＜3π，∴cosθ＝－ 1－sin2θ ＝－ 3 5 . 由 cosθ＝2cos2θ 2 －1，得 cos 2θ 2 ＝ 1＋cosθ 2 ＝ 1 5 . ∵ 5π 4 ＜ θ 2 ＜ 3π 2 ，∴cos θ 2 ＝－ 1＋cosθ 2 ＝－ 5 5 . tan θ 2 ＝ sinθ 1＋cosθ ＝2. 反思与感悟 利用半角公式求值的思路 (1)看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公 式求解． (2)明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半 角的范围． (3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用 tan α 2 ＝ sin α 1＋cos α ＝ 1－cos α sin α ，其优点是计 算时可避免因开方带来的求角的范围问题；涉及半角公式的正弦、余弦值时，常先利用 sin2α 2 ＝ 1－cos α 2 ，cos 2α 2 ＝ 1＋cos α 2 计算． (4)下结论：结合(2)求值． 跟踪训练 1 已知 sinθ＝－ 3 5 ，3π<θ< 7 2 π，则 tan θ 2 的值为( ) A．3B．－3C. 1 3 D．－ 1 3
考点利用简单的三角恒等变换化简求值 题点利用半角公式化简求值 答案B 解析∵3π<0<。,sin0 4 sIn COS tan-= 类型二三角函数式的化简 例2化简 2tan-- a sin-+ 考点利用简单的三角恒等变换化简求值 题点利用半角公式化简求值 2cos a-1 tan 2a 反思与感悟三角函数式化简的要求、思路和方法 (1)化简的要求:①能求出值的应求出值;②尽量使三角函数种数最少;③尽量使项数最少; ④尽量使分母不含三角函数:⑤尽量使被开方数不含三角函数 (2)化简的思路:对于和式,基本思路是降次、消项和逆用公式;对于三角分式,基本思路是 分子与分母约分或逆用公式:对于二次根式,注意二倍角公式的逆用.另外,还可以用切化 弦、变量代换、角度归一等方法 阻练2ace(22x)他 costa 考点利用简单的三角恒等变换化简求值 题点利用半角公式化简求值 2.2I,. cos a>0, Coso<0
考点 利用简单的三角恒等变换化简求值 题点 利用半角公式化简求值 答案 B 解析 ∵3π<θ< 7π 2 ，sinθ＝－ 3 5 ， ∴cosθ＝－ 4 5 ，tan θ 2 ＝ sinθ 1＋cosθ ＝－3. 类型二 三角函数式的化简 例 2 化简 2cos2α－1 2tan π 4 －α sin2 π 4 ＋α . 考点 利用简单的三角恒等变换化简求值 题点 利用半角公式化简求值 解 2cos2α－1 2tan π 4 －α sin2 π 4 ＋α ＝ cos2α 2cos π 4 ＋α sin π 4 ＋α ·sin2 π 4 ＋α ＝ cos2α sin π 2 ＋2α ＝ cos2α cos2α ＝1. 反思与感悟 三角函数式化简的要求、思路和方法 (1)化简的要求：①能求出值的应求出值；②尽量使三角函数种数最少；③尽量使项数最少； ④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数． (2)化简的思路：对于和式，基本思路是降次、消项和逆用公式；对于三角分式，基本思路是 分子与分母约分或逆用公式；对于二次根式，注意二倍角公式的逆用．另外，还可以用切化 弦、变量代换、角度归一等方法． 跟踪训练 2 设 α∈ 3π 2 ，2π ，化简： 1 2 ＋ 1 2 1 2 ＋ 1 2 cos2α. 考点 利用简单的三角恒等变换化简求值 题点 利用半角公式化简求值 解 ∵α∈ 3π 2 ，2π ，∴cosα>0，cos α 2 <0
故原式 +ocos a +元cosa a CoS 2 类型三三角函数式的证明 例3求证:1+sin4O-cos4_1+sin4+cos4D tan b 考点三角恒等式的证明 题点三角恒等式的证明 证明要证原式,可以证明l+sin4b-cos4b2tanb 1+sin 4 0+cos 40 1-tan 0 sin 40+ 1 ∵左边 sin 40+ 1+cos 4 6 2sin 2 cos 20+2sin 2 2sin 2 cos 20+2cos 2 2sin 2 0 cos 20+sin 28 2cos 2 0 sin 20+cos 28 右边=2anO =tan 2 ∴左边=右边 原式得证 反思与感悟证明三角恒等式的实质是消除等式两边的差异,有目的地化繁为简、左右归 或变更论证.对恒等式的证明,应遵循化繁为简的原则,从左边推到右边或从右边推到左边, 也可以用左右归一,变更论证等方法.常用定义法、化弦法、化切法、拆项拆角法、“1”的 代换法、公式变形法,要熟练掌握基本公式,善于从中选择巧妙简捷的方法 跟踪训练3求证: cos2-tanb·tan20=1. 考点三角恒等式的证明 题点三角恒等式的证明 sin bsin2 b 证明 cos20-tanb·tan20 cos2 0 cos 0cos2 6 cos 0-2sin2 acos e cos 0 1-2sin2 0 1-2sin2 6 cos Bcos cos 0cos2 6 CoS
故原式＝ 1 2 ＋ 1 2 cos 2α＝ 1 2 ＋ 1 2 cosα ＝ cos 2 α 2 ＝ cos α 2 ＝－cos α 2 . 类型三 三角函数式的证明 例 3 求证：1＋sin4θ－cos4θ 2tanθ ＝ 1＋sin4θ＋cos4θ 1－tan2θ . 考点 三角恒等式的证明 题点 三角恒等式的证明 证明 要证原式，可以证明1＋sin 4θ－cos 4θ 1＋sin 4θ＋cos 4θ ＝ 2tan θ 1－tan2θ . ∵左边＝sin 4θ＋ 1－cos 4θ sin 4θ＋ 1＋cos 4θ ＝ 2sin 2θcos 2θ＋2sin2 2θ 2sin 2θcos 2θ＋2cos2 2θ ＝ 2sin 2θ cos 2θ＋sin 2θ 2cos 2θ sin 2θ＋cos 2θ ＝tan 2θ， 右边＝ 2tan θ 1－tan2θ ＝tan 2θ， ∴左边＝右边， ∴原式得证． 反思与感悟 证明三角恒等式的实质是消除等式两边的差异，有目的地化繁为简、左右归一 或变更论证．对恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边， 也可以用左右归一，变更论证等方法．常用定义法、化弦法、化切法、拆项拆角法、“1”的 代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法． 跟踪训练 3 求证： 1 cos2θ －tanθ·tan2θ＝1. 考点 三角恒等式的证明 题点 三角恒等式的证明 证明 1 cos2θ －tanθ·tan2θ＝ 1 cos2θ － sinθsin2θ cosθcos2θ ＝ cosθ－2sin2θcosθ cosθcos2θ ＝ cosθ 1－2sin2θ cosθcos2θ ＝ 1－2sin2θ cos2θ ＝ cos2θ cos2θ ＝1