10.规律是：√n十，”=√”只要注意到n十”二，再两边开平方即可 少散学设计案例 16.1二次根式（第1课时） 一、内容和内容解析 1.内客 二次根式的概念。 2。内容解析 在“有理数”一章中，学生感受了数系扩充（数集的扩大、运算的拓展、运算律的保持）的基 本思想.在“实数”一章中，学生已经了解了平方根、立方根的概念和求法；借助2，x的几何表 示，以及用有理数通近2等方法，学生对实数的概念有了初步体会.这些都为本章学习打下了基 础.二次根式作为一类特殊实数的一般形式，为学生进一步理解实数及其运算提供了截体.同时， 二次根式作为一类代数式，研究其性质和运算，既是学习代数式的延续，又为理解代数符号体系及 其运算提供了素材.因此，如何使学生在本章的学习中进一步休会代数学的基本思想和基本方法， 是本章要考虑的·个核心问题. 本章是在平方根知识的基础上，学习二次根式的概念、性质和运算.二次根式是表示非负数 (包括具体的数和表示数的字母)的算术平方根的一类式子，从平方根的意义出发，得到二次根式 有意义的条件是被开方数为非负数，而且二次根式的值是非负数，这就是二次根式的双重非负性， 本节课的教学重点：从算术平方根的意义出发理解二次根式的概念 二、目标和目标解析 1.目标 (1)根据算术平方根的意义了解二次根式的概念，知道被开方数必须是非负数的理由。 (2)能用二次根式表示实际问题中的数量和数量关系. 2.目标解析 目标()要求学生能从具体数的算术平方根出发，通过字母表示数，把算术平方根的概念推 广到被开方数含有字母的情况，并根据算术平方根的概念得到二次根式的概念.能根据算术平方根 的意义得出二次根式的被开方数和值都为非负数这个结论.从函数的观点看，前者与定义域有关， 后者与值域有关 目标(2)要求学生会根据问题情境，利用开平方运算的意义，列出实际问题中的二次根式 第十六章二次根式29
三、教学问题诊断分析 由于学生有学习整式、分式的概念和性质的经验，其研究的步骤和方法可以迁移到二次根式的 学习中，这不仅有利于本节课的学习，同样有利于本章其他内容的学习.算术平方根主要涉及具体 数的开平方，而二次根式包含了对含字母的式子进行开平方运算，比具体数的开平方运算更抽象 由于被开方数含有字母，在研究这类式子时，就往往需要考虑二次根式有意义的条件，即字母的取 值范围，这是本节课的难点. 四、教学过程设计 1.创设情境，提出问题 引言 我们知道，用字母表示数，可以将字母和数一起运算.前面已经学习了单项式、多项式和分式 等概念和运算，可以发现，式的运算本质上就是对符号运用运算律所进行的形式运算.例如，两个 多项式相乘，就是利用分配律把它化归为单项式乘积的和式来运算，而单项式的乘积则是用乘法的 交换律、结合律和指数运算法则来计算。本章主要讨论如何对数和字母开平方而得到的特殊式子的 加、减、乘、除运算.下面一起思考一个问题 电视塔越高，从塔顶发出的电磁波传得越远，从而能收看到电视节目的区域越广，电视塔高 h(单位：km)与电视节目信号的传播半径r(单位：km)之间存在近似关系r=√2R历，其中R是 地球半径，R≈6400km.如果两个电视塔的高分别是h1km,h:km,那么它们的传播半径比是 √2Rh 你能将这个式子化简吗？ √2Rh2 问题1式子孤表示什么？等式，一√2R西中的，2两表示什么意义？ √2Rha 师生活动：给学生充分的思考和讨论时间，让他们发现与已学过的整式运算、分式运算一样， 式子②R, 也是一种运算，只有先认识了√②的意义，才能在此基础上再进一步研究这类式子的 √2Rh 性质和运算。 设计意图：回顾已学的数和式的运算，从数与式运算的完整性角度提出要研究的问题，让学生 了解本章将要学习的主要内客，起到先行组织者的作用。 问题2请思考下列问题 (1)面积为3的正方形的边长为，面积为S的正方形边长为 (2)一个长方形围栏，长是宽的2倍，面积为130m,则它的宽为m. (3)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间：（单位：s)与开始落下的高度h(单位：m) 满足关系h=52.如果用含有h的式子表示t,则t为 师生活动：学生思考并完成上述问题，用算术平方根表示结果，教师进行适当引导和评价。关 健是帮助学生实现从数的算术平方根到用含有字母的式子表示算术平方根的抽象 30教师教学用书数学八年级下册
追问1第(1)(2)题中得到3，√S,√65的依据是什么？它们有什么区别和联系？ 师生活动：由学生回答.依据是算术平方根的定义.区别是3，√65分别表示具体数3,65的 算术平方根，√S是字母$表示的数的算术平方根；联系是都表示非负数的算术平方根 追同2第@)题中，当后的值分别为10,15,5时，得到的结果分别是什么？√管表示的 数怎样变化？ 师生活动：学生回答.教师指出：含有字母的算术平方根具有一般性，这是需要研究的新一类 式子. 设计意图：为概括二次根式的概念提供具体例子，同时发展符号意识，通过追问，让学生回顾 算术平方根的概念，再次体会字母表示的数可以进行开平方运算，体会字母表示数的一般性和简 约性 2。袖象概括，形成概念 同题3上面得到的式子，店，V质，√停有什么共桐特征？ 师生活动：教师引导学生概括得出共同特征，并给出二次根式的定义 追问14,0的算术平方根分别是什么？一4有没有算术平方根？ 追问2在二次根式的定义中，为什么要有条件“：>0”？ 师生活动：教师引导学生讨论，分析共同特点，归纳得到二次根式的概念，并强调“被开方数 非负” 设计意图：采用从具体到抽象的方式，通过归纳得出二次根式的概念 3。耕析极念，应用现固 例1当x是怎样的实数时，√一2在实数范围内有意义？ 师生活动：教师可以通过问题“√工一2表示的意义是什么？被开方数是什么？你能根据二次 根式的概念得到答案吗？”☑引导学生从概念出发思考问题 例2当x是怎样的实数时，√在实数范围内有意义？√呢？ 师生活动：先让学生独立思考，再追问。 设计意图：通过例1、例2，加深概念理解。 问题4比较√a与0的大小 师生活动：先让学生独立思考.学生的第一反应可能是ā>0，部分学生能得出Va>≥0这一正 确结论.教师可以引导学生根据概念，分a>0和a=0两种情况进行讨论 设计意图：强化对二次根式双重非负性的认识 4.综合应用，深化提高 练习1学生完成教科书第3页的练习， 练习2当x是什么实数时，下列各式有意义： 1①)3-；(2) (3)√-x. 第十六章二次根式31
设计意图：辨析二次根式的概念，确定二次根式有意义的条件 5.小结 教师与学生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题： )什么叫二次根式？二次根式有意义的条件是什么？二次根式的值的范围是什么？ (2)二次根式与算术平方根有什么联系和区别？ (3)我们以前学过的整式、分式都能像数一样进行运算，你认为对于二次根式应该进一步研究 哪些问题？ 设计意图：共同回顾本节课学习的概念，再次联系算术平方根理解二次根式的概念，提出二次 根式应诚研究的问题， 6.布里作业 教科书习题16.1第1,3,5,6,7,10题. 五、目标检测设计 1,要使V5+2x有意义，x必须满足(). (A)x≥- (®)x≤-号（⊙x为任何实数(D)x为非负数 设计意图：考查二次根式有意义的条件。 2一个用电琴的电阻为R,消耗的电功率为P,它两瑞的电压为心，其关系式为P发，则口 可表示成(). (C)U=√RP (D)U=士√RP 设计意图：考查二次根式的意义 3.使V2一n有意义的正整数n为 设计意图：考查二次根式有意义的条件. 4.求当二次根式√Ax的值等于4时x的值 设计意图：考查二次根式概念及其与开平方的关系， 16.3二次根式的加减（第1课时） 一、内容和内容解析 1.内容 二次根式的加减运算 2.内究解析 在二次根式性质和乘除运算的基础上，本课进一步学习二次根式的加减运算.二次根式的运算 方法与数的运算方法本质上是一致的，实数的运算律对二次根式的运算仍然适用. 32教师教学用书数学八年级下册
与分式的运算类似，二次根式的乘除运算比加减运算简单，乘除运算可直接利用运算法则 6石-历6动，0，怎-层60,6>0)有作度(6-a6≥0，- (≥0))，而加减运算则要先化简，再合并“同类项”，二次根式加减运算的基本依据是二次根式 的性质和分配律. 本节课的教学重点：应用分配律进行二次根式的加减运算 二、目标和目标解析 1.目标 (1)探索二次根式加减运算的步骤和方法」 (2)会进行二次根式的加减运算， 2.目标解析 目标(1)要求学生知道二次根式加减运算的方法：先把每一个二次根式化成最简二次根式， 再运用分配律合并被开方数相同的二次根式。 目标(2)要求会先化简二次根式，然后判断被开方数是否相同，再进行合并，能进行具体的 二次根式的加减运算，并能说出算理. 三、教学问题诊断分析 几个二次根式是否可以合并，往往需要先把每一个二次根式化成最简二次根式，这与整式的合 并同类项不同，会造成学生学习的困难：法则a·石=√b可能在本内容学习中产生负迁移，出 现a+b=√a十b,√a十√石=√b的错误.克服第一个难点，可以引导学生总结运算规律，得出 “一化简，二判断，三合并”的运算步骤，并在运算中加强算理的说明，克服第二个难点，一是加 强计算过程中说算理，二是用具体数值代人检验。 四、教学过程设计 1.创设情境，提出问题 问题1现有一块长7.5dm、宽5dm的木板，能否采用如教科书图16.3-1所示的方式，在 这块木板上截出两个面积分别是8dm和18dm的正方形木板？ 师生活动：教师引导学生认真读题，分析题意. 追问1能截出两块正方形木板的条件是什么？能用数学式子表示这个条件吗？ 师生活动：引导学生分析出“长够、宽也够”的条件，并把条件表示为数学式子：√/⑧+ √⑧<7.5，√18≤5，√⑧≤5.从而，把问题转化为判断√⑧+√⑧<7.5是否成立，这就要计算 18+8. 追问2你认为可以怎样计算√/8+√8？ 师生活动：学生可能会想到直接取近似值.教师可以引导学生分析其中存在的问题（例如，两 第十六章二次根式33