习 题14.11．求下列第一类曲线积分：(1）[(x+y)ds，其中L是以O(0,0),A(1,0),B(0,1)为顶点的三角形(2）【ly|ds，其中L为单位圆周x2+y2=1;(3）【1x/3ds，其中L为星形线x2/3+y2/3=α2/3；(4)[1x|ds，其中L为双纽线(x+)=x2-;(5)[(x?+y+2)ds，L为螺旋线x=acost,y=asint,z=bt,0≤t≤2元;-的一段：2V2131?上相应于t从0变到1的(6）「xyzds。其中L为曲线x=t,32段弧：(7）[(xy+yz+zx)ds，其中L为球面x?+y+=α和平面+y+z=0的交线。2.求椭圆周x=acost,y=bsint,0<t≤2元的质量，已知曲线在点M(x,y)处的线密度是p(x,y)=yl。求下列曲面的面积：3.(1）z=axy包含在圆柱面x2+y2=α2（α>0)内的部分：(2)锥面x2+y22被平面x+y+z=2a（a>0)所截的部分：3(3）球面×2+2+2=α包含在锥面≥=x2+内的部分：(4）圆柱面x2+y2=a被两平面x+z=0,x-z=0(x>0,y>0)所截部分(5）抛物面x2+=2az包含在柱面（x2+y2）=2αxy（a>0)内的那部分：[x=(b+acos)cosp,(6)环面=(b+acos)sin,0≤2元,0≤2元，其中0a<b。z=asing,4.求下列第一类曲面积分：((x+y+z)dS，其中是左半球面x2+y+=a，y≤0；(2)[[(x +)dS，其中是区域((x,,z)/ x2 +≤z≤的边界;(3）[[(xy+yz+zx)dS，是锥面z=x2+y被柱面x2+=2ax所截部分：1(4)[++d，其中是圆柱面×+=α"介于平面==0与==H之间的部分：1
习 题 14.1 1. 求下列第一类曲线积分： (1) ∫ + ，其中L 是以 L (x y)ds O(0,0), A(1 0, ), B(0 1, ) 为顶点的三角形； (2) ∫ ，其中L 为单位圆周 ； L | y | ds 1 2 2 x + y = (3) ∫ ，其中L 为星形线 ； L x ds 1/ 3 | | 2 / 3 2 / 3 2 / 3 x + y = a (4) ∫ ，其中L 为双纽线 ； L | x | ds 2 2 2 2 2 (x + y ) = x − y (5) ∫ + + ， 为螺旋线 L (x y z )ds 2 2 2 L x a = cost, y = a sin t, z = ≤ bt, 0 t ≤ 2π ； 的一段： (6) ∫ 。其中 为曲线 L xyzds L 2 3 2 1 , 3 2 2 , z t t x = t y = = 上相应于 从 0 变到 1 的 一段弧； t (7) ∫ + + ，其中 为球面 和平面 L (xy yz zx)ds L x y z a 2 2 2 + + = 2 x + +y z = 0 的 交线。 2. 求椭圆周 x a = = cost, y b sin t, 0 ≤ t ≤ 2π 的质量，已知曲线在点 M( , x y) 处的 线密度是 ρ( , x y) =| y|。 3. 求下列曲面的面积： (1) z a = xy 包含在圆柱面 x y a 内的部分； 2 2 2 + = (a > 0) (2) 锥面 x y z 2 2 1 3 + = 2 被平面 x + y z + = 2a (a > 0) 所截的部分； (3) 球面 包含在锥面 2 2 2 2 x + y + z = a 2 2 z = x + y 内的部分； (4) 圆柱面 x y a 被两平面 2 2 + = 2 x + z = 0 0 , ( x − z = x > 0, y > 0) z 2 2 2 2 + = 2 ) 所截部分； (5) 抛物面 x y a 包含在柱面 内的那部分； 2 2 + = 2 ( ) x y a xy (a > 0 (6) 环面 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = + = + sin , ( cos )sin , ( cos ) cos , φ φ ϕ φ ϕ z a y b a x b a 0 2 ≤ φ ≤ π , 0 ≤ ϕ ≤ 2π ，其中0 < a < b 。 4. 求下列第一类曲面积分： (1) ∫∫ ，其中∑是左半球面 ， ； Σ (x + y + z)dS x y z a 2 2 2 + + = 2 y ≤ 0 (2) ∫∫ ，其中∑是区域 Σ (x + y )dS 2 2 {(x y, ,z)| x y z } 2 2 + ≤ ≤ 1 的边界； (3) ∫∫ ，∑是锥面 Σ (xy + yz + zx)dS z x = + y 2 2 被柱面 x 所截部 分； x y a 2 2 + = 2 (4) ∫∫ Σ + + dS x y z 2 2 2 1 ，其中∑是圆柱面 x y a 介于平面 与 2 2 + = 2 z = 0 z = H 之间的部分； 1
ds，其中是球面x2+y?+z?=α；2314[[(x+y?+2)dS，其中是抛物面2z=x2+介于平面z=0与z=8之6)间的部分；(7)「[zds，其中是螺旋面x=ucos,y=usinv,z=v,o≤u≤a，S0≤V≤2元的一部分。5.设球面Z的半径为R，球心在球面x2+y?+2?=α?上。问当R何值时，Z在球面x?+y+2?=α2内部的面积最大？并求该最大面积。6 求密度为P(,)==的抛物面壳(+),0≤:31的质量与重心。7.求均匀球面（半径是α，密度是1）对不在该球面上的质点（质量为1）的引力。8.设u(x,y,=)为连续函数，它在M(xo,yo,z）处有连续的二阶导数。记为以M点为中心，半径为R的球面，以及T(R) =[u(x, y,z)dS 。4元R2JS（1）证明：limT(R)=u(xo,yo,=);Ruuu（2）若（+0，求当R→0时无穷小量ax2022ay2(xo.Jo=0)T(R)-u(xo,Jo,=o)的主要部分。兰+2=1（≥≥0），元为在点P(x,2)处的切平面，9.设为上半椭球面2+2ZP(x,y,z)为原点O(0,0,0)到平面元的距离，求[ds . p(x,y,=)10.设是单位球面x2+y2+22=1。证明[",f(ula?+b? +c)du,[[ f(ax + by + cz)dS = 2元其中a,b,c为不全为零的常数，f(u)是|u下a2+b2+c2上的一元连续函数。11.设有一高度为h(t）（t为时间）的雪堆在溶化过程中，其侧面满足方程（设长度单位为cm，时间单位为h）≥= h0)- 2(r +y)h(t)已知体积减少的速率与侧面积成正比（比例系数0.9）。问高度为130cm的雪堆全部融化需多少时间？习题14.21.求下列第二类曲线积分：[(x2 + y2)dx +(x - y)dy,其中 L 是以 A(1,0), B(2,0), C(2,1), D(1,1)(1)为顶点的正方形，方向为逆时针方向；2
(5) ∫∫ Σ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + dS x y z 2 3 4 2 2 2 ，其中∑是球面 ； 2 2 2 2 x + y + z = a (6) ，其中∑是抛物面 介于平面 与 之 间的部分； ( ∫∫ Σ x + y + z dS 3 2 ) 2 2 2z = x + y z = 0 z = 8 (7) ∫∫ ，其中∑ 是螺旋面 Σ zdS x u = cosv, y = u sin v, z = ≤ v, 0 u ≤ a ， 0 ≤ v ≤ 2π 的一部分。 5．设球面Σ 的半径为 R ，球心在球面 上。问当 2 2 2 2 x + y + z = a R 何值时，Σ 在球面 内部的面积最大？并求该最大面积。 2 2 2 y 2 x + + z = a 6. 求密度为 ρ( , x y) = z 的抛物面壳 z x = + y ≤ z ≤ 1 2 0 2 2 ( ), 1的质量与重心。 7． 求均匀球面（半径是a ，密度是 1）对不在该球面上的质点（质量为 1）的引力。 8．设u( , x y z, ) 为连续函数，它在 M x( , 0 0 y ,z0 ) 处有连续的二阶导数。记∑为以 M 点 为中心，半径为 R 的球面，以及 ∫∫ Σ π = u x y z dS R T R ( , , ) 4 1 ( ) 2 。 （1）证明：lim ( ) ( , , ) ； R T R u x y z → = 0 0 0 0 （2）若( ) 0 ( , , ) 2 2 2 2 2 2 0 0 0 + + ≠ x y z z u y u x u ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ，求当 R → 0时无穷小量 T R( ) − u(x , y ,z ) 0 0 0 的主要部分。 9. 设Σ 为上半椭球面 1 2 2 2 2 2 + + z = x y （ z ≥ 0 ），π 为Σ 在点 P(x, y,z) 处的切平面， ρ(x, y,z) 为原点O(0,0,0) 到平面π 的距离，求 ∫∫ Σ dS x y z z ρ( , , ) 。 10. 设Σ 是单位球面 1。证明 2 2 2 x + y + z = ∫∫ ∫ − Σ + + = + + 1 1 2 2 2 f (ax by cz)dS 2π f (u a b c )du ， 其中 a,b, c 为不全为零的常数， f (u) 是 2 2 2 | u |≤ a + b + c 上的一元连续函数。 11．设有一高度为 （t 为时间）的雪堆在溶化过程中，其侧面满足方程（设长度单 位为 cm，时间单位为 h） h(t) ( ) 2( ) ( ) 2 2 h t x y z h t + = − 。 已知体积减少的速率与侧面积成正比（比例系数 0.9）。问高度为 130cm 的雪堆全部 融化需多少时间？ 习 题 14.2 1. 求下列第二类曲线积分： （1） ∫ + + − ，其中 是以 L (x y )dx (x y )dy 2 2 2 2 L A(1 0, ), B(2,0), C(2,1), D(1,1) 为顶点的正方形，方向为逆时针方向； 2
[(x2-2xy)dx+(y?-2xy)dy，其中L是抛物线的一段：(2)y=x2,-1≤x≤1，方向由(-1,1)到(1,1);{(x+)dx-(x-)dy，其中L是圆周x+=a°，方向为道时针方(3)x? + y2向：(4)[ydx-xdy+(x2+y)dz，其中L是曲线x=e',y=e-,z=a，0≤t≤l，方向由(e,e-",a)到(1,l,l)；【xdx+ydy+(x+y-1)dz，L是从点(1,1,1)到点(2,3,4)的直线段；(5)I[x2 + y2 +2? = 2az,22(6)[ydx+zdy+xdz，L为曲线若从=轴的正向看[x+z=a (a>0),去，L的方向为逆时针方向；[x? +y?+2? =1,（7）[(y-z)dx+(z-x)dy+(x-y)dz,L为圆周[y=xtanα (0<α<元),1若从x轴的正向看去，这个圆周的方向为是逆时针方向。2.证明不等式[P(x, y)dx + Q(x, y)dy≤ MC,其中C是曲线L的弧长，M=max/p2(x,y)+Q?(x,y)(x,)eL)。记圆周x?+y?=R2为LR，利用以上不等式估计ydx-xdhIR=[x?+xy+y?)并证明lim I,=0。方向依纵轴的负方向，且大小等于作用点的横坐标的平方的力构成一个力场。求质3.量为m的质点沿抛物线y?=1-x从点(1,0)移到(0,1)时，场力所作的功。计算下列第二类曲面积分：4.(1）[[(x+y)dydz+(y+z)dzdx+(=+x)dxdy，其中Z是中心在原点，边长S为2h的立方体[-h,h]×[-h,h]×[-h,h]的表面，方向取外侧x22?（2）【[yzdzdx，其中Z是椭球面=1的上半部分，方向取上侧；（3)[[zdydz+xdzdx+ydxdy，其中是柱面x?+y?=1被平面z=0和z=4所截部分，方向取外侧：[[zxdydz+3dxdy，其中Z是抛物面z=4-x2-y2在z≥0部分，方向(4)取下侧[[f(x, y,2)+xllydz+[2f(x, y,2)+ yldzdx+[f(x, y,z)+zldxdy, 其(5)3
（2） ，其中 是抛物 线的一 段 ： ，方向由 ∫ − + − L (x 2xy)dx ( y 2xy)dy 2 2 L y x = − ≤ x ≤ 2 , 1 1 (−11, ) 到( , 11) ； （3） ∫ + + − − L 2 2 ( ) ( ) x y x y dx x y dy ，其中 是圆周 ，方向为逆时针方 向； L x y a 2 2 + = 2 （4） ∫ − + + ，其中 L 是曲线 ， L ydx xdy (x y )dz 2 2 t t t x = e y = e z = a − , , 0 ≤ t ≤ 1，方向由( , e e ,a) 到 ； −1 ( , 111, ) （5） ∫ + + + − ， 是从点 到点 的直线段； L xdx ydy (x y 1)dz L (111 , , ) ( , 2 3,4) （6） ， 为曲线 若从 轴的正向看 去， 的方向为逆时针方向； ∫ + + L ydx zdy xdz L ⎩ ⎨ ⎧ + = > + + = ( 0), 2 , 2 2 2 x z a a x y z az z L （7） ∫ − + − + − ，L 为圆周 L ( y z)dx (z x)dy (x y)dz ⎩ ⎨ ⎧ = < < + + = tan (0 ), 1, 2 2 2 y x α α π x y z 若从 x 轴的正向看去，这个圆周的方向为是逆时针方向。 2. 证明不等式 P x y dx + Q x y dy ≤ MC ∫ L ( , ) ( , ) ， 其中 C 是曲线 L 的弧长， max{ ( , ) ( , ) |( , ) } 2 2 M = P x y + Q x y x y ∈ L 。记圆周 x y R 为 ，利用以上不等式估计 2 2 2 + = LR ( ) ∫ + + − = R R x xy y ydx xdy I L 2 2 2 ， 并证明 lim R R I →+∞ = 0 。 3. 方向依纵轴的负方向，且大小等于作用点的横坐标的平方的力构成一个力场。求质 量为m 的质点沿抛物线 y x 从点 移到 时，场力所作的功。 2 = −1 ( , 1 0) ( , 0 1) 4. 计算下列第二类曲面积分： （1） ，其中Σ是中心在原点，边长 为2 的立方体[ , ∫∫ Σ (x + y)dydz + ( y + z)dzdx + (z + x)dxdy h −h h] × [−h h, ] × [ , −h h] 的表面，方向取外侧； （2） ∫∫ ，其中Σ是椭球面 Σ yzdzdx x a y b z c 2 2 2 2 2 + + 2 = 1的上半部分，方向取上侧； （3）∫∫ ，其中Σ是柱面 被平面 和 所截部分，方向取外侧； Σ zdydz + xdzdx + ydxdy x y 2 2 + = 1 z = 0 z = 4 （4） ，其中Σ是抛物面 在 部分，方向 取下侧； ∫∫ Σ zxdydz + 3dxdy z x = − 4 −2 2 y z ≥ 0 （5） [ ] [ ] [ ] ∫∫ Σ f (x, y,z) + x dydz + 2 f (x, y,z) + y dzdx + f (x, y,z) + z dxdy ，其 3
中f(x,y,2)为连续函数，是平面x-y+z=1在第四卦限部分，方向取上侧；[[x2dydz+y2dzdx+(=2+5)dxdy，其中是锥面z=/x+y(6)（0≤z≤h），方向取下侧。ev(7)dzdx，其中z是抛物面y=x2+=2与平面y=1，y=2所2+x2围立体的表面，方向取外侧。xj22Jdydz+dzx+dxdy，其中z为椭球面(8)=1，方向c?a?b?2x1Z取外侧；[[xdydz+ydzdx+zdxdy，其中z是球面(x-a)?+(y-b)?+(9)(z-c)2=R2，方向取外侧。习题14.31.利用Green公式计算下列积分：[(x+y)dx-(x2+y2)dy,其中L是以A(1,1),B(3,2),C(2,5)为顶点的(1)三角形的边界，逆时针方向；「xydx-xydy，其中L是圆周x?+y?=α2，逆时针方向；(2)[(rycosx+2xysin x-ye*)dx+(rsinx-2ye)dy，其中L是星形(3)222线x2+y3=α3（a>0)，逆时针方向：[e[(1-cosy)dx-(y-siny)dy]，其中L是曲线y=sinx上从(0,0)到(4)元,0)的一段；[(x2-)dx-(x+sin2y)dy，其中L是圆周x2+y=2x的上半部分，(5)方向从点(0,0)到点(2,0)；[[esin y-b(x+y)]dx+(e*cos y-ax)dy，其中a,b是正常数，L为从(6)点A(2a,0)沿曲线y=/2ax-x2到点O(0,0)的一段；【-，其中L是以点(1,0)为中心，R为半径的圆周（R>1)，道(7)1 4x2 + y2时针方向；r(x-y)dx+(x+4y)dy，其中L为单位圆周x?+y?=1,逆时针方向：(8)x2 +4y2e"[(xsiny-ycosy)dx+(xcosy-ysiny)dy]其中L是包围原点的(9)x? + y?4
中 f x( , y,z) 为连续函数，Σ是平面 x − y z + = 1在第四卦限部分，方向 取上侧； （6） ∫∫ ，其中 Σ 是锥面 Σ x dydz + y dzdx + (z + 5)dxdy 2 2 2 2 2 z = x + y （0 ≤ z ≤ h ），方向取下侧。 （7） ∫∫ Σ + dzdx z x e y 2 2 ，其中Σ是抛物面 与平面 ， 所 围立体的表面，方向取外侧。 2 2 y = x + z y = 1 y = 2 （8） ∫∫ Σ + + dxdy z dzdx y dydz x 1 1 1 ，其中Σ为椭球面 1 2 2 2 2 2 2 + + = c z b y a x ，方向 取外侧； （9） ，其中 Σ 是球面 ，方向取外侧。 ∫∫ Σ x dydz + y dzdx + z dxdy 2 2 2 − + − + 2 2 (x a) ( y b) 2 2 (z − c) = R 习 题 14.3 1． 利用 Green 公式计算下列积分： （1） ∫ + − + ，其中 是以 L (x y) dx (x y )dy 2 2 2 L A(11, ), B(3,2), C(2,5) 为顶点的 三角形的边界，逆时针方向； （2） ∫ − ，其中 是圆周 ，逆时针方向； L xy dx x ydy 2 2 L x y a 2 2 + = 2 （3） ( ) ( ) ∫ + − + − L x y x xy x y e dx x x ye dy x x cos 2 sin sin 2 2 2 2 ，其中 L 是星形 线 ( 0) 3 2 3 2 3 2 x + y = a a > ，逆时针方向； （4） [( ) ( ) ∫ − − − L e y dx y y dy x 1 cos sin ]，其中 L 是曲线 y x = sin 上从 ( , 0 0) 到 ( , π 0)的一段； （5） ( ) ( ) ∫ − − + L x y dx x y dy 2 2 sin ，其中 是圆周 的上半部分， 方向从点 到点 ； L x y 2 2 + = 2x ( , 0 0) (2,0) （6） [ ] ( ) ∫ − + + − L e y b x y dx e y ax dy x x sin ( ) cos ，其中 是正常数，L 为从 点 沿曲线 a,b A(2a,0) 2 y = 2ax − x 到点O(0,0)的一段； （7） ∫ + − L 2 2 4x y xdy ydx ，其中L 是以点(1,0) 为中心，R 为半径的圆周（ R > 1），逆 时针方向； （8） ∫ + − + + L 2 2 4 ( ) ( 4 ) x y x y dx x y dy ，其中L 为单位圆周 1，逆时针方向； 2 2 x + y = （9） [ ] ∫ + − + − L 2 2 ( sin cos ) ( cos sin ) x y e x y y y dx x y y y dy x ，其中L 是包围原点的 4
简单光滑闭曲线，逆时针方向。2．利用曲线积分，求下列曲线所围成的图形的面积：(1）星形线x=acosty=asint：(2）抛物线(x+y)2=ax(a>0)与x轴：[x = a(t-sint),(3)旋轮线的一段：te[0,2元]与x轴。[y= a(1-cost),3.先证明曲线积分与路径无关，再计算积分值：c(1,1)(1)(0.0) (x - y)(dx -dy) ;(1,2)(2)(2.n)g(x)dx+(y)dy，其中p(x),()为连续函数；6.8) xdx + ydy(3)沿不通过原点的路径。1,0) /x2 + y24.证明(2xcosy+ycosx)dx+(2ysinx-x2siny)dy在整个xy平面上是某个函数的全微分，并找出这样一个原函数。xdx+ydy5.证明在除去y的负半轴及原点的裂缝xy平面上是某个函数的全微分，并找出x +y?这样一个原函数。6.设Q(x,)在xy平面上具有连续偏导数，曲线积分[2xydx+Q(x,y)dy与路径无关，并(2xydx +Q(x, y)dy，求Q(x, y)。且对任意t恒有"2xydx+Q(x,y)dy =7.确定常数，使得右半平面x>0上的向量函数r(x,J)=2xy(x*+y)i-x(x4+y)j为某二元函数ux,y)的梯度，并求u(x,y)。8.设一力场为F=（3xy+8xy-）i+（x+8xy+12ye）j，证明质点在此场内移动时，场力所作的功与路径无关。9.利用Gauss公式计算下列曲面积分：[[xdydz+ydzdx+zdxdy，z为立方体0≤x,z≤a的表面，方向取外侧；(1）J[(x-y+2)dydz+(y-z+x)dzdx+(z-x+y)dxdy，其中为闭曲面(2)[x-+z|+-z+x|+=-x+=1,方向取外侧；J(xcosα+ycosβ+cos)ds，其中为锥面=x+y"介于平面(3)z=0与≥=h(h>0)之间的部分，方向取下侧；Jxdydz+ydzdx+zdxdy，其中为上半球面z=R?-?-y，方向取上(4)侧；J2(1-x")dydz+8xydzdx-4zxdxdy，其中≥是由xy平面上的曲线(5)Sx=e（0≤y≤a)绕x轴旋转而成的旋转面，曲面的法向量与x轴的正向的夹角为钝角。[[(2x+=)dydz+zdxdy，其中是曲面z=x2+2（0≤z≤1)，曲面的法(6)向量与z轴的正向的夹角为锐角：5
简单光滑闭曲线，逆时针方向。 2． 利用曲线积分，求下列曲线所围成的图形的面积： （1） 星形线 x a = cos t, y = a sin t ； 3 3 （2） 抛物线( ) x y + = ax (a > ) 与 2 0 x 轴； （3） 旋轮线的一段： ⎩ ⎨ ⎧ = − = − (1 cos ), ( sin ), y a t x a t t t ∈[ , 0 2π] 与 x 轴。 3. 先证明曲线积分与路径无关，再计算积分值： （1） ( )( ； ( , ) ( , ) x − y dx − dy ∫ 0 0 1 1 ) （2） ϕ( ) φ( ) ，其中 ( , ) ( , ) x dx + y dy ∫ 2 1 1 2 ϕ( ) x , φ( y) 为连续函数； （3） xdx ydy x y + + ∫ 1 0 2 2 6 8 ( , ) ( , ) ，沿不通过原点的路径。 4．证明( c 2 os cos ) (2 sin sin ) 在整个 2 x y + + y x dx y x − x y dy 2 xy 平面上是某个函数的 全微分，并找出这样一个原函数。 5．证明 xdx ydy x y + +2 2 在除去 y 的负半轴及原点的裂缝 xy 平面上是某个函数的全微分，并找出 这样一个原函数。 6．设Q(x, y) 在 xy 平面上具有连续偏导数，曲线积分 与路径无关，并 且对任意 恒有 ，求 。 ∫ + L 2xydx Q(x, y)dy t ∫ ∫ + = + (1, ) (0, 0) ( ,1) (0, 0) 2 ( , ) 2 ( , ) t t xydx Q x y dy xydx Q x y dy Q(x, y) 7 ． 确定常 数 λ ，使得右半平 面 上的向 量函数 为某二元函数 的梯度，并求 。 x > 0 r i λ ( , ) 2 ( ) 4 2 x y = xy x + y j λ ( ) 2 4 2 − x x + y u(x, y) u(x, y) 8．设一力场为 ，证明质点在此场内移动时， 场力所作的功与路径无关。 F (3 8 )i ( 8 12 ) j 2 2 3 2 y = x y + xy + x + x y + ye 9．利用 Gauss 公式计算下列曲面积分： （1） ∫∫ x 2 2 dydz + + y dzdx z 2 dxdy ，Σ为立方体 Σ 0 ≤ x, , y z ≤ a 的表面，方向取外侧； （2） ∫∫ ( ) x − + y z dydz + ( ) y − z + x dzdx + (z − x + y)dxdy ，其中 Σ 为闭曲面 Σ | x − y + z |+| y − z + x |+| z − x + y |= 1，方向取外侧； （3） ，其中Σ为锥面 介于平面 与 之间的部分，方向取下侧； ( ) x y z 2 2 2 cosα β + + cos cosγ ∫∫ Σ dS 2 ) z x y 2 2 = + z = 0 z h = (h > 0 （4） ∫∫ xdydz + + ydzdx zdxdy ，其中Σ为上半球面 Σ z R = − x − y 2 2 2 ，方向取上 侧； （5） ∫∫ 2 1( ) −+− x 2 dydz 8xydzdx 4zxdxdy ，其中 Σ 是 由 Σ xy 平 面 上的曲线 x e y a 绕 y = ≤ (0 ≤ ) x 轴旋转而成的旋转面，曲面的法向量与 轴的正向的夹 角为钝角。 x （6） ∫∫ ，其中Σ是曲面 （ Σ (2x + z)dydz + zdxdy 2 2 z = x + y 0 ≤ z ≤ 1），曲面的法 向量与 z 轴的正向的夹角为锐角； 5