2初边值问题解的唯一性和稳定性 v(x,t)=e-tu(>0是任意给定的正常数) (4.4) 易计算得v(x,t)满足 vt-a2vxx+Av=0 (4.5) =p(x) 对任意满足0≤t1≤T的t1,记R,={0≤x≤l,0≤t≤t1},并记 ,为R,的两侧和底边组成的抛物边界，考虑o在R,上的最大值
2 初边值问题解的唯一性和稳定性 令 𝑣 𝑥,𝑡 = ⅇ −𝜆𝑡𝑢 𝜆 > 0是任意给定的正常数 （4.4） 易计算得𝑣 𝑥,𝑡 满足 𝑣𝑡 − 𝑎 2𝑣𝑥𝑥 + 𝜆𝑣 = 0 𝑣ቚ 𝑥=0 = ⅇ −𝜆𝑡𝜇1 𝑡 , 𝑣ቚ 𝑡=0 = 𝜑 𝑥 ሺ 𝜕𝑣 𝜕𝑥 + ℎ 𝑣ሻቚ 𝑥=𝑙 = ⅇ −𝜆𝑡𝜇2 𝑡 （4.5） 对任意满足0 ≤ 𝑡1 ≤ 𝑇的𝑡1，记𝑅𝑡1 = 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑙, 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝑡1 ，并记 𝛤𝑡1为𝑅𝑡1的两侧和底边组成的抛物边界，考虑𝑣在𝑅𝑡1上的最大值
2初边值问题解的唯性和稳定性 结论：如果v在R,上有正的最大值，这个正的最大值必在，上达到. 假设v在(xo,to)处(0<xo<l,0<to≤t1)达到正最大值，则在此点 v:≥0，xx≤0且v>0,从而(4.5)中的第一式不可能成立.这说明v 的正极大值只能在I,上达到 分情形讨论： (1)若的正极大值在t=0时达到，则有v≤maxp(x): 0≤X≤l (2)若v的正极大值在x=0时达到，则有p≤max e-At41(t): 0st≤t1
2 初边值问题解的唯一性和稳定性 结论：如果𝑣在𝑅𝑡1上有正的最大值，这个正的最大值必在𝛤𝑡1上达到. 假设𝑣在 𝑥0 ,𝑡0 处 0 < 𝑥0 < 𝑙, 0 < 𝑡0 ≤ 𝑡1 达到正最大值，则在此点 𝑣𝑡 ≥ 0, 𝑣𝑥𝑥 ≤ 0且𝑣 > 0，从而 4.5 中的第一式不可能成立.这说明𝑣 的正极大值只能在𝛤𝑡1上达到. 分情形讨论： （1）若𝑣的正极大值在𝑡 = 0时达到，则有𝑣 ≤ max 0≤𝑥≤𝑙 𝜑 𝑥 ； （2）若𝑣的正极大值在𝑥 = 0时达到，则有𝑣 ≤ max 0≤𝑡≤𝑡1 ⅇ −𝜆𝑡𝜇1 𝑡 ；