此时我们写为 f(x)~∑a,n(x),当z→20. (43) 级数∑aw,(x)不一定是收敛的但其部分和能给出f(x)在z 附近的一个好的逼近.容易看出,若这样展式存在,则(42)中的 系数由∫唯一地确定。另一方面。不同的函数当z→z时,完全 可能有相同的渐近展式 假若域G伸展至∞,则当z->∞时。我们自然要考虑序列 我们要用所给函数对于这些 幂的渐近展式来估计z很大时函数的值 定义函数(x)=c-/(+z)l,它于x≠u,-< u≤0时为全纯。在每一扇形 )≤argz≤ 我们有 )~2(-1yx(-1)1 显然此级数是发散的,但在W内我们有 f(z)=∑(-1)(y-1)!/x+0(1/z2"),(44) n=1,2,…,此表示式是下面等式的推论 )P (t+z) ∑(-1 t-le-dt十 e 1十 1(-1) e-at 1
根据此式,再加上在W内有|1+t/z|≥sina,可得 f(z)-∑(-1) n+1 由此即得(44) 下述引理的证明是类似的 Watson引理设φ(在t>0是连续函数,且当t≥8 >0时,对某些K>0和a>0有|φ()<Ke,又当≤δ, larg a<x时,φ有展式 Φ(z) (45) 则函数)=10c-()l,在每个扇形区 larg zl≤x-6 有渐近展式 a T (4.6) 注意f的渐近性质仅依赖于φ在!=0附近的性质,即当|z 值很大时;只有原点的邻域对积分作出贡献.此事实亦应用于鞍 点法 令h(z)=“(x,y)+i(x,y)在G内全纯且不为常数.把 调和函数(x,y)看作以(x,y,)为坐标的实三维空间中的曲 面,函数x在G内无极大值与极小值.若在x点邻域h(x) h(z0)+a(z-zo)+o(rk),其中z-3=re和a=-pe-i≠0 则有 u(x, y)=u(xo, yo)-prkcos(h0-a)+o(rk) v(r, y)=v(xo, yo)-prt sin(h0 -a)+o(rk) (47) 可以看出,当k=1时,x在(x,y)点的最陡下降方向是 6=a,且此方向切于水准线v(x,y)=v(x,y) 当空2,我们有h(z0)=a/8x-讠0n/y=0 这里曲面a=x(x,y)有一水平切面,而且由(47)知道点 28
(x0,y)是a=(x,y)的鞍点,由(47)进一步可得有条最陡 下降方向即6=/十2π/,=0,1,……,一1.当=2 时,如0点为h(z)之单零点,(x0,y)是正则鞍点且恰有一水准线 (x,y)=u(x,y)通过(x,y)其两边给出u(x,y)的最陡下 降途径 因为对于实的t>0,有|ek)=exy),因此函数|ehx 和以(x,y)有相同的鞍点和最陡下降途径.注意到函数e)当 t为复数但 l j<x/2时沿(x,y)在(xoy)的最陡下降途 径不断地减少,这就是为什么下述鞍点法能得出函数 th(x)d (48 在扇形arg小<x/2-8<x/2内渐近展式的理由 首先令t为实数t>0,且令f由积分(48)所给定,其中 乃(x)在C上为全纯,若C在函数h(x)的全纯区域内形变而保其 端点固定时,函数f()不变.若用上述方法继续形变C,使得新 的途径C’通过(x,y)之鞍点(x0,y),在(xo,y)的两边沿着 C’函数(x,y)减至-0,则积分(48)的有关部分集中于(x y).如果可能,我们令途径C和(x,y)附近的最陡下降途径 重合 我们将用下例来说明鞍点法.对于T函数,我们有积分表示 式 estd (49) T(r) 2mi jc 其中C是图10a所示的途径且}-4=clo,log=log|l+ iarg,-x<ang<x.途径C能连续形变,只要途径的下分 支保留在扇形一x≤arg≤-x/2一E内,而其上分支保留在 π/2+E≤ag≤x内则积分值不变 对于C'一頓(C),其中【=(z)=1(1+z),我们有 zx-log(十x) (410)
函数h(x)一z-log(1+x),当z≠s,-∞<s≤-1时 是全纯的,且仅当x=0时,h'(z)=0.此处h有二级零点 十 (411) 234 于是 u(r, y)=Re h(x)=r-llog[(1 +x)+y21 在(0,0)有一单鞍点。由此鞍点出发的最陡下降途径是 v(x, y)=lm h(s)=y-arctan y 十x 图10a-b。 当0<ly<x时,对于y有唯一解:x=-1+ ycotan y.当 y〓0时,令x〓0,由此得一个符合(410)要求的途径C,它 由图10b所示,在C′上有“(0,0)=0,且当0<|y|<x时, )=-1+ cotan y-log-.由此看出沿两分支,函数 Sin (x,y)从0减至一c(事实上,当0<y<x时,da/4y<0,当 x时,dw/dy>0,且im=-∞, im u s-0) 因为在C′上z-log(1+x)〓,故 f[z-log(i+*) edx十 dy
作变换τ〓-a=1- y cotan y+log=g(y),便得 n dr dr 考虑幂级数展式 (y) B 其中B,是 Bernoulli数 B 30 便得 1 y2+y+、1 105 于是 6 216 并且 d 应用 Watson引理于上述积分便得 11+1.1+ T( 288 参阅:[51[61[71[91 §5. Laplace变换 我们考虑由下述四个条件所确定的函数类: 1.的元素f是R一M1上的复值连续函数,其中M1是 {t∈R;t≥0}的无聚点的子集; 2.若f,a∈M,和b∈R,使得a和b之间无M的点, 则瑕( Riemann)积分|f()dt存在; 31