3对每一f∈存在实数ab和K,使得当t>a且tM 时,不等式|f()|≤Kcb成立.此条件简写为f()=0(c); 4.每一f∈,当t<0时为零 为域C上的向量空间,但还不是C代数(意即两函数f g∈之积不一定仍在"内).现列举若干中元素的例如下 a) Heaviside函数 1,当t>0 H() 0,当t<0 属于 b)若f是R上连续有界函数,则H·f属于的.特别的 H(t) sin oot和H(t) cos (ot属于囡. c)设f为C上的多项式则H·f,因为fO(c") d)令a为一实数0<a<1,且有 f( 当 ,当t<0 显然适合类函数的条件(1),(3)和(4).当b>0时有 it 故f∈的 除函数空间外,我们将考虑另一C向量空间 设a为实数.以H(a)表{z∈C;R a}上所有全纯函数 所构成的空间.在H:=∪H(a)内定义一等价关系:我们称 a∈R 两元素f∈H(a)和g∈H(b)是等价的,如果f和g当Rez >Max(a,b)时重合,我们以老表示等价类所组成的空间、自 然的必成为一C代数.为简化记号,我们对H中的元素和它在 它中的等价类将不加以区别 现在构造一映照L:"→.当f∈且f()=0(e") 时,我们定义 Lf(t) f cre-iids
其中z∈C且Rcz>b.方程(51)定义一收敛瑕积分:存在实 数a和K,使得当!∈M和t>a时,不等式|f(t)|≤Kcb成 立这就意味着|f()c-=|f()|c-≤Ke-Rx-b.于是Lf 为定义于{z∈C;Rz>b上的复值函数.我们断言Lf∈H(b) 为了证明这一断言我们考虑趋于+的实数序列xn,则序列 Fn(a): f(t)e-d∈H(b) 在{z∈C;Rex>b}内一致收敛于Lf,这就证明了我们的断言 总而言之,对于f∈的和f()=0(e")函数Lf在{z∈C; Rez>b}上全纯,因此Lf∈H(b).由(5.1)所定义的映照L: 省→称为 Laplace变换,L()c?的元素叫做 Laplace 变换式 注意在 Laplace变换理论中,能从较更一般的空间出发 如同在 Doetsch的书[8中所述的那样并且我们注意到:除了这 里引进的(单边的) Laplace变换外,还能考虑(两边的) Laplace变 换,其定义为 f(ex'di 然而,它对空间省不导出任何新的内容.在§6我们将讨论另 个变换,即所谓 Fourier变换。在本章内将不考虑其它的积分变 换 下述简单定理的证明留给读者 定理1 laplace变换L:→是C同态,即对任意的 fg∈省和a,b∈C有 L(a·f+b·g)=a·Lf+b·Lg. 我们引进C子空间,赋予它一乘法,并视L|为一环同 态.的子空间考有下述特征性质: 5对每一f∈省,有M三{0},即f在R一{0}上连续 6.存在实数b和K,使得对每一t∈R-{0},有|()≤ K
省是的C子空间.对于f,g∈和t∈R我们定义 h(1)=|f(r)g(t-x) 显然,当1<0时h为零,一般有 h() f(r)g( h在R上的连续性留给读者去证明.我们证明h具有性质6.假 设对于任一t∈R-{0}有 lf(t)]≤Ke和|g()|≤Keb, 其中b,K是同一的。则对每一a>b和t>0有 le"h()|≤ a o Rebreb(e-rdt =K2te-(a-b)r 因此lmc"h()=0,于是可得到,存在一数M,使得对每 t∈R有 lh()l≤Me 由此即得h∈ 现在对于省内的f和g,我们定义 f*g:=h=(x)g(-r) 并称f*g为f和g的卷积 赋予以卷积*,则它成为结合交换环.下述定理给出C一 代数安和必之间的一个关系 定理2L|:⑥→划是环的同态对应,即若f和g是 R一{0}上的连续函数,并且存在实数M,K,a和b,使得对任一 t∈R-{0}有|f()≤Mc和|g(a)!≤Ke,则 (米g)〓(L)·(Lg) 证由前面的讨论知道L(f米g)∈H(c),其中c:=Max(a, 6) 定义于同一域内的两全纯函数,若它们在实轴的非空的开子 集上重合,则在整个域内重合.因此只须证明,当x>c时相等。 设x>c是这样的数,我们有
Lh(x) h(e'dt lim f(r)(t-xe-xdrdi li I)g z li f(r)g(t-re-xdidr l f(r)e gque-xude lim.f(r)e T一g Lf(x)·Lg(x) 因为等式 lim f(re-8(u)e-Mdudr 容易计算得到 下述两定理表明导数和积分的 Laplace变换式看来很相似, 定理3设f为R一{0}上的连续函数,且当t≤0时 f()=0.若存在{t∈R;t≥0}的子集M,且无聚点,使得f 在R一M内可微并且f∈",则f属于省.f(0+0): limf()存在且有Lf〓2Lf一f(0+0).当f()=0(c")时, 有f()=0(e“),其中a=Max(0,b) 证设r>0为R上一数使得在0<t≤r没有My的点。 当0<5<r时,我们有 f()-f(=f(a 由省的性质()得 f(0+0)=f(r)-f() 存在,容易指出,对任意1>0,有 35
f(=f(0+0)+f(r)dr 若f()=0(e2),则存在实数c,K使得对任意 和 ∈M;有|f(t)|≤Kc.于是当t>c时我们有 lf()|≤(0+0)+f(r)dr Kcx≤M+E出≤M’“, b 其中M,M*是适当选取的常数,a=Max(0,b).于是f∈, f(t)=0(e"),Lf∈H(a).对于实数x>a,我们有 Lf(r)=lim I' (e-xdt =-lim f(e)e-ie r日 +limf(T)e-T+xf(*de f(0+0)+xLf(x) 这就完成了定理的证明 定理4若1∈,则F():-,()也属于,并且 F=IL F是连续的.当f()=0(c)时,则F()=O(ea),其中 a Max(o, b) 定理4是定理3的简单推论. 下述常用的定理是定理3的另一推论 定理5设f是R-{0}上n-1次连续可微分函数,当 t<0时,f()=0.若存在一无聚点的集合M{t∈R;t≥0}, 使得邝)在R一M上可微且fn)∈省,则f也属于.对于 y=1,…,f(0+0):=limf()存在,且有 Lf(n 1-f()(0+0) fn)=0(c")意味着f=O(c“),其中a=Max(0,b)