div ⅴ:w ⅴ×w 0 15) d3 y 则f=u-i是G内一全纯函数,因为(315)恰好是对于函数 f的 Cauchy-Riemann方程.于是积分 (r,y f(5)d (uds +vdn) (vd-ad)(316) 局部与积分路径无关,因而在每一单连通域G'∈G内是一全纯函 数F=U-i.其中 (x,y) w·tds w.n ds 是调和函数,t为切向量,n为法向量,当从z至z时,它指向C的 左边 当G不是单连通区域的情形,积分(316)可能产生“多值?函 数,函数的各个不同“分支”在单连通域GCG中彼此相差一常 数.假如这些常数都是纯虚的,则U是单值的 U称为w的位势函数.我们有 grad U=y·U=(aU/0x, U/0y)=W.V称为w的流函数.等势线U=常数正交于场 线V〓常数 这样的向量场的例子有: a)在具有厚度为常数h和电导率为有限常数σ的平面薄板 内直流电的电场.在此场内U是平板上点(x,y)与给定点(x0,y) 之间的电压差;我们有V=1/ho,其中I是通过连接xo到z的 途径之总电流。 让不导电的有限平面板涂上导电的胶粘剂,镶边的两片连有 限电极.设所接两极电压为U,则通过电路的电流7可用共形映 照方法计算之 我们必须寻找映图6a的G为图6b的矩形Q的共形映照 f(z),使得点z12a3,2分别映为ki,0,1,1+ki,这些条件 22
4 图6a-b 唯一地定出E和w=f(x).两电路具有相同的电阻R=1/kh. G内电流的等势线和场线是曲线U=Ref(x)=常数和 Imf(z)=常数 图7 b)在柱形导体系统内的静电场.设每单位长度有电荷 Q1,…,Qn置于柱形金属导体系统L1…;Ln上,且使得 ∑9=0(图7)于是在导体之间建立起了电场c其分量位 于(x,y)平面内(垂直于导体的轴的平面).这个场有一调和位势 23
U,它在导体表面为常数U1,……:UnU的共轭位势一V不再是 单值的,相反,沿简单闭途径C,卩的值乘以1∑Ω,其中 为导体间绝缘物质的介电常数,求和遍及C所包围的区域内的电 荷Q,设我们有两导体L12L2的系统,每单位长度上的电荷为 Q,+Q,又令U2U1是导体之间的电位差则系统的电容为K Q/(U2-U1).当对以两导体为边界的域作共形映照时,电容不 变.对于同心导体系统(圆柱形电容器),其半径为n1和r2(图8a) 且电荷为一9和ρ,我们有U9lr,2=ne.位势U在 导体上为常数U1 91nr1和U22n 共轭位势为-v,v=9中,因此系统的每单位长度电容 2TE 为K=2r8/ln(r2/r1) 半径为r,中心距离为2a(图8b)的两平行导线之外部,能由 图8a-b
线性变换映为图8a所示的圆环,若点-a-r,-a+r,a-r:a+r 分别映为r2,-r2一r1,T1则此变换是唯一的.当且仅当四点交 比(3.3)相同时映照是可能的。这就得到4r12/(1+r2)2=r2/a2 由此r2/n1=(u/r+√(a/r)2-1) 于是图8b所示的系统的电容为 2 K=.「21n 十 ar cosh 图9a-c 25·
c)流体力学中的平面位势流.无旋无源的平面稳定流有一 速度场w=(u,v),它具有调和位势U.U的共轭位势一V产 生流线卩〓常数.由 bernoulli方程p+|w2=常数(p=液 体的密度)能计算出液体的压强p 设我们将物体κ置于无穷延伸的常速w〓(1,0)平行流中, 沿其表面液体滑动而无摩擦,则速度场只在物体附近改变而在远 处平行流不变(图9a).一有限薄板P平行于x轴,实际上不会使 速度场改变(图9).现设=f(z)映K的外部为板P的外部, 使得w=f(x2)的 Laurent展式在无穷远点为m=x+∑ 则U=R=f(x)是流动的速度位势,V=Imf(x)=常数是流线 例如,=x+1/x就是这样的函数,它映单位圆外部为除 去裂纹[一2,2]的平面。据此能计算速度场和压强.设我们把长 度为4的平面板放到此流动中,使它与x轴成角度a(图9c),则 映照x1=z-m,x2=z1(1/2+1/2√1-4/z),z3=xc n=x3+1/a3组合成为一个变换,共形地且于无穷为规范地映 平面板之外部为图9所示的平面板之外部.这一事实使我们能 确定流动的所有性质 参阅:[1][2][4][7][10][111[14] §4.渐近展式 设m,u1,h2,…是G内全纯函数序列,且满足 un(z)≠0和n+1(x)=0(un(x),当z→0,(41) n=0,1,2,…,其中z是G的边界点 设f为G内一全纯函数。形式级数∑a,w()称为f当z →z0时相对于w,w1,u2,…的渐近展式,如果 f(x)〓∑an(x)+0(mn(x)),当 (42) 26