的映照,这就是映照 L w=a+b (31) 它称为线性变换。L的反变换是 d z (32) cwt a 映照L具有下述性质 a)所有线性变换L的集合,如定义运算L1°L2为L1。L2(z): L1(L(x)),这个集合就构成一群S b)线性变换L映平面C的所有圆和直线的集合为自身 c)L保持四点x,x1,x223的交比不变,设z1z2x3是互异 的,则 0-比23- y=L(x,),v=0,1,2,3. d)恰有一个线性变换,映三个不同的点z1m2z为三个给定 的互异的点砌1,w2,w3,此映照可在(33)中分别代x0=z 〓w并解出而得. e)一对一的共形的映复平面C为自身的映照是非异的复仿 射变换 L: w=a+b, a=0 (34) f)一对一的共形的映单位圆Do={x|lxl<1}为自身的映 照是下述线性变换 L 8 2-30 <1. (3.5) 我们有L(z)=0,L(0)=-c°k.保持D原点固定的变换 是旋转 L (36) g)一对一地且共形地映上半平面H={x|lmx>0}为自 身的变换是线性变换
t+B,a,B,y,b为实数,a8-y>0.(3) y2+ 8 h)开圆、圆外面含无穷远点的部分,或开的半平面定义为圆 域,则有 a)任一线性变换映圆域为圆域 P)任一个一对一地且共形地映一圆域为另一圆域的变换为 一线性变换 7)给定两圆域G1G2及两点z0∈G,wo∈G2和角6,则恰有 一线性变换映G1为G2,使得I(x)〓wo,agL(zo)m6 33 Riemann映照定理 给定C内的两个域G1和G2,产生一个问题:是否存在一对 的共形的变换映G1为G2这样的映照是拓扑的,即它是连续 的,一对一的且有连续逆变换.因此,若存在一对一的共形的变换 映G1为G2,则两个域必须有相同的拓扑性质如两者必须都是紧 的或都是非紧的两者必须都是单连通的等.仅有的紧致域GcC 是C自身,其共形的一对一的映照就是线性变换 域G÷C有非空边界.若两个域G1G2<CC为至少具有一 个边界点的单连通域则彼此之间存在拓扑映照,但不一定是共形 映照 恰有一个边界点的域GCC,能用一线性变换共形地映为C, 因而一个这类型的域能映为另一个同类型的域 对于其它域有下述基本定理 Riemann映照定理给定一单连通域GCc,它至少有两个 边界点,则存在一双全纯映照w〓f(z),映G为单位圆D {z1<1}.这类映照中任一其他映照有Lof的形式,其中L 是(35)式类型的线性变换 由此推得C平面内任两个具有多于一个边界点的单连通域G 和G,能双全纯地互相映照.另一个重要定理是下述关于边界对 应的定理:设G和G是两个有界域,分别以连续的简单途径C和 18
C′为其边界.则每一共形的一对一的映G为G的映照f能连续 地展拓为F:GUC→GUC’,使得F限制于C上是映C为C′ 的拓扑映照 若途径C和C'在如∈C和w-F(z0)∈C′是实解析的,则 v=F(z)在如0点为全纯且F(x0)与0.这里称C在x点是实解 析的,意即如果在20点的某邻域U,途径C能表为收敛的幂级数 z=30+∑aP",其中a1÷0,a∈C,y=1,2,…且t为 实数 此时f能越过C全纯展拓到U.此展拓能通过反射过程来达 到。上述结果被用来明确构造给定域的映照函数,甚至这些域不 是单连通的.例如,函数w=x+1映单位圆外Ao={xll 1}为裂纹域S=C一[-2,2].首先映d0∩H为上半平面 H,使得一1,1,∞变为一2,2,∞;然后将所得函数对实轴作反 射w=f(2),便得总的映照 34调和函数 令=f(z)是G内的全纯函数,w=u+i,z〓x+iy 则由 Cauchy- Riemann方程可知,函数 Re f()=u(r, y) m f(z 为G内的调和函数,即它们满足微分方程 62 fOZ 和 02 十 62 0 ax2 ay2 ay 2 反之,每一单连通域G内的调和函数a是G内一个全纯函数f的 实部,此函数f除去一个纯虚的相加常数外是唯一决定的。对于 z=x0+i和x〓x+iy我们有 t dx t x。,y0, v称为“的共轭调和函数.由 Cauchy第一积分公式可得到单位 圆内的调和函数“的积分表示式,它同时解决了位势理论的第
边值问题( Dirichlet问题):令“(ψ)为0≤ψ<2x上分段连续 且有界的函数.则 n(x)=1 一中)+r2 a(中)d(3.9) 在||<1内,对xre是调和的,且对于每个ψ,只要“() 为连续的,就有 (x)=a(ψ) (310) 对于有光滑边界途径C的任意单连通域,此问题可用共形映 照方法来解。 域G的Gren函数是定义于G×G上的函数g(,z),÷x, 对固定的z∈G有下列形式 (2z) -z|+h(,z) (311) 其中h,z)在G内为调和且能连续展拓到GUC,当∈C时其 值为log|-x.若这样的函数存在,则它是唯一的。 若f是共形的一对一的映单连通域G为D0,则 I og f(5)-f( (312) x1()(z) 是G的Grn函数.设在C上给定一实边界值(5),同时a() 在C上有界且分段连续,则函数 5)g(2,z) 是G的第一边值问题之解.其中d是C的弧元素长度,O/On是 g(,z)关于平面的C的内法向导数 对于上半平面一{x|mz>0},当在实轴上给定u(x)时, 可得积分公式: (-x)2
u(r +oy) 当y>0 对于边界值 1,当a≤s≤b s<a和;>b 我们有 b一x (x,y) arctan arctan 其中a是由点(x,y)看直线段[a,b时,直线段所张的角度 位势理论的第二边值问题( Neumann问题)在于寻找在G内 调和在GUC上连续可微的函数(x),使得在C上au/0n ax(),其中bu/n是“关于C的内法向导数:a()为C上给定的 函数。假如a()连续且满足 a(s)df=0 (314) 则此问题可解.此时,除一任意相加常数以外,a(z)是唯一确 定的.这个问题能化为第一个问题。在单位圆内,对于a(z)= (re),我们有 )=k -zla()小,=c 令G是以C为边界的单连通域,并设w=f(x)双全纯地映 GUC为D+C,又令a(为C上的连续函数且满足(3.14); 则 u(x)=k+log If(5)-f(=)|a(s)ds 是G内的调和函数,且在C上满足O/an=a(),其中Oa/0n 是#关于C的内法向导数,d是C的弧元素长度 35在物理学中的应用 在物理学中,平面位势函数以各种形式出现。设在域G内给 定一连续可微向量场w=(a2v),它是无旋和无源的,即