a)若C在a有连续导数,且在a点邻域内每一点z∈C有关 系式|z-allf(x)|<K,其中a<1或 b)若C渐近地趋于∞,即有一渐近直线,且若于∞点邻域内 每一点z∈C,有关系式|z|f(z)」<K,其中a>1 积分 f()ds limf(zdz 或 lim 40 的绝对收敛意味着正常收敛.积分 1十 是绝对收敛;积分 d. B=0 0 i 收敛但非绝对收敛。 下述准则对于计算展布于无穷的积分是有用的 1.设C是向两个方向渐近伸展于无穷的途径,其两分支都位 于扇形W一{xla1≤argz≤a2,|z|≥Ro}内.令C为域G之 边界,且C的定向是使得G在其左边.命f除在G内的有限多 个奇点x1,……,x。外,在GUC上为全纯的函数,又设当 12·
z∈W∩(GUc)时,有|zl(x)<K,a>1.则积分f(x)da 绝对收敛,且有 f()dz 2i> res f (24) 为了证明,选取R>Max{R,|z|,…,|zn}}充分大,且用圆弧S 联结两分支(参看图3).应用残数定理。今有 f(x)dz≤.f(x)!lx! 于是imf(x)dz=0,由此得(24) 上述准则可应用于任一当z→∞时趋于零之级至少为2的 有理函数 2设除有限多个不在实轴上的奇点x1,z2…,zn之外,f于 C内是全纯的,且当」z|≥R时,|l|f(x)|<K.又分别以H 和表示上半平面和下半平面.则积分f(xz)c"4dz,其中 与0,存在且 ∑Res(x)ci,当 ∈H f(zeiaxdx (25) ∑Resf(x)e",当 丑 首先我们必须证明积分收敛.为了证明积分收敛,当||≥R时 把f写为一 Laurent级数f(x)=∑a,/a”且单独讨论a/z项. 可以计算出积分mf(x)edx:在区间[-R,R]上作一半 圆周S,与区间[一R’R]一齐形成闭合路径,此半圆当a>0时 在上半平面互中,当a<0时则在下半圆平面中.现在应用残 数定理并估计展布于S上的积分: f(xz)edz≤K 中小〓2K 13
因为当k>0时有 c-A中〓-+|c-中小 此in中 φdφ+ 十 与 我们有limf(x)e"dk=0,由此得(25) 例 1+x≈m;p1 + 2i Res 1 2 1十 4 当 B>0 0,B<0 d c 01 当a>1 图4 函数f(x)=1/(1+2°),其中x〓r“,除在c点有 14
级极点外,于扇形0<r<∞,0≤φ≤2x/a内剑纯,于边界 点0连续(参看图4). 2 d2 当 因此 14,+1 2 xi Res(x) gea(a-a 由此得 Sin C 0 d d: 其中C沿实轴从一∞至+∞,但在原点附近沿着下半平面内的半 园周绕行(参看图5).于是 Jc 2 对于右边两积分,用导出(25)式时相同的讨论,对a=1和a 1有 dx e 2i re dx a 0 c 2iz 2;z 因此 sinx dx=兀 一0x 参阅[1][4][7]I111[4]
§3.共形映象。调和函数 31全纯和共形映照 在域G内非常数的全纯函数映G为域G′=f(G).若于 z0∈G,f(zo)÷0,则映照w=f(x),在z邻域是双全纯的,即 映照是一对一的且其逆z=f(w)亦是全纯的.双全纯映照是 共形的,即在每一使f(x)与0之点z∈G有:从x出发的两光 滑弧C4和C2,映为由=f(z0)点出发的两光滑弧C1和C2, c1和C2所形成的定向夹角φ与C1和C2在z形成的定向夹角相 同 因f(z0)仅在孤立的点上为零,故于G内至多有可数多个点 使f(x)=0.设z0是这样的点,且w=f(x0),则在z点附近 的幂级数展式为 +-fn)(z0)(z-z0)n fn)(x)0,n≥2. 映思的局部性质由w=w+1(a)(z-20)所决定,点 的角中映为wo点的角m.这种映照在x0点不是共形的.在此情 形,围绕z0点的充分小圆共形地映为反函数f的 Riemann曲面 的n级重点w的某邻域,珈点亦称为此 Riemann曲面的n-1 级支点 若函数f把域G全局地双全纯映为域G’,则在G的每一点映 照是共形的.反之,一对一的连续可微的映G为G’的映照,且在 G内是(保持定向)共形的,则它是双全纯的,即此映照由G内全纯 函数所给出它一对一地映G为G且f在G内不为零 32线性变换 在共形映照中特别有意义的是一对一地映紧致平面C为自身 16