跑遍的新域,就能解决这些困难,这个新域叫做( Riemann)曲面 为了想像这些曲面,可以把它们看成是由有限或可数无穷多的 “叶所组成,这些叶都是复平面内的域。这些叶沿切口割开,并且 不同叶的切口按某种方式粘合在一起.这就产生在局部上有平面 结构的流形.如何割开和粘合依赖于所给的函数f。这些“叶”对 应于函数f由解析展拓所得的不同分支这样构造的Rman曲 面常常必须要有一些附加点才能完备,这些附加点是:位于紧致 平面上的∞点和有穷级“分支点” 1.3展式. Laurent级数 全纯函数的幂级数展式是更一般的展式的特殊情形:令G为 域,且令f1,f2…是G内的全纯函数,若级数 f, (x)=f(z) 于G内每一紧子集上一致收敛,则它仍是一全纯函数 下述引理是重要的: 令途径C为域G之边界.设函数fy=1,2,……于G内全 纯且于GUC上连续,又设级数∑f(x)在C上一致收敛,则 此级数在GUC上一致收敛,且其极限f(x)〓∑1(x)在G内 全纯 此引理是最大模原理的一个推论,这个原理是:令f为G内 的全纯函数,它于G内某点z0取相对最大值,即当|x-20l<p 时,有|f(x)≤|f(z0)|,则f在G内为常数. 这表明在G内全纯,并在GUC上连续之函数,在边界上达到 最大值 一个经常使用的展式是 Laurent级数 设f在环A-{z|x1<|z-zl<r20≤r1<r2≤∞}内 全纯,则有 Laurent级数展式
f(x)=∑a 其中 1[.(g)a4,n=0,±1,…,(1.10) 这里K。表任一围绕z0的正定向圆周,其半径为p,且r1<p <r2.级数∑a(x-x0)”于|z-zo|>n1的每一点x收敛, 而级数∑a(x-x0)”于|a-01<r2的每一点z收敛 14奇点 Laurent级数是研究孤立奇点的主要工具 G内全纯函数f的奇点是G的边界上使得函数f不能从G展 拓到它的点z,即不存在于点邻域U全纯的函数g,使得在 U∩G内f和g重合.若G的边界上如此的点x是孤立的,则称 z0为f的孤立奇点.围绕此点有唯一的 Laurent展式 0)” 对0<|z-8o<内每一点z成立.级数h(x)=∑a(-2) 对每一z÷收敛,它称为f在点的主要部分.级数g(x)= ∑ an(z一0)”于|z-zo!<r收敛且在这里定义一全纯函 f在z0点邻域的性质为其主要部分h(x)所决定 a)若f(x于0<|z-<r有界,则f能全纯展拓到zo 因为由一简单的估计,(1.10)蕴含,当n<0时,an=0 b)若H(x)=∑a(z-)”,a-p÷0,则z0称为f的 极点.在此情形,当z→笱时,|f(x)→∞,反之当z→2时
f(x)→∞蕴含x为f的极点.数p称为极点的级 c)若h(z)中有无穷多个系数an÷0,则称x为f的孤立本 性奇点。在此情形,f(x)在z的任一邻域能取所有的复数为值, 可能有一个例外 在G内除极点外为全纯的函数称为G内的亚纯函数。在f的 极点2∈G附近,我们有 f(x)=2an(z-30)”,a-p0,0<|z-z01<p 并且f(x)=g(z)/(z-x0),其中g(x)在x点邻域全纯且0 令D0={z|0<|z-x<r}为除去一点的圆设f为GCD 内的全纯函数,它能沿始点和终点在G内的任一途径CCDo展拓, 但不能展拓到z.则有三种可能的情形 a)f能唯一地展拓到Da,则x0是一孤立奇点(例如:f(z) b)若C围绕z若干次,仅在n次之后f重新得到相同的值, 则属于f的 Riemann曲面在x有一有穷级支点(例如:f(z) c)若环绕有穷次恒不能再得到相同的函数,则属于f的Rie mann曲面在x点有一对数(即无穷)支点(例如:f(x)=log(z 在构造 Riemann曲面使得在其上的函数成为单值函数时,首 先取平面上的局部单叶为叶,然后加上紧致平面上f的极点或有 穷级支点的邻域.有限n级支点z0的某个邻域,用函数z=x() z0+p"单值化,∞点邻域则用函数z=“()=1/t或z=a() =1/单值化.于是函数f便成为复参数z的局部单值函数;换 言之,我们讨论函数f(u(t)). 注意在积分变换中,微分式应变为 f(x)d(=)=1f(()()le 参阅[1][41[71[1114】
§2.残数的计算 21残数 令A={|0<z一20<r}为除去一点的圆,f为A 内的全纯函数.又设K,是围绕x半径为P(0<ρ<r)的正定 向圆周,则 f(x)dz称为微分式f(z)dz在点的残数,因 为在z平面微分式f(x)dz与函数f(z)一一对应因此我们简称它 为函数f在z点的残数: Res f f(s) 若f在2点有 Laurent展式f(x)=∑an(x-2)”,则从 (110)得知Resf=a-1 因此,若z0为p级极点,则在z0点邻域有 f(x)=1、(x),h(x)÷0 并且若h(x)在点之幂级数展式为 b, O 则有Resf=bpl 特别地对于单极点,即一级极点我们有 Resf∽b=h(z) (21) 若f形如f(z)=1/g(z),且g以2为单零点,则 Res (22) 22残数定理 由 Cauchy积分定理及其推论可导出
残数定理设f除孤立奇点‰1x2z3,…外在G内全纯 又设C为G内正定向闭途径,且为域GCG之边界。若f在C上 无奇点,则 2 (23) 因G内奇点都是孤立的,故在G0内仅有有限个奇点z1 令 为其残数,围绕z画一充分小之 正定向圆周K,(参看图2) 则有 2d2 f(e)da 2 2x1 ∑Resf 23残数定理的应用 许多实的和复的积分能用残数定理来计算.此问题常常是计 算一个瑕积分,即展布于非紧致途径上的积分,例如积分途径无终 点或伸展至无穷 若C是以z为始点的半开光滑弧,终点a或∞不属于C,如 果|f(x)dx<∞,则称积分f(x)d.是绝对收敛.例如 下面的情况便是这样