G内从x1至x的途径C上的积分(x)d与途径C的选择无关 只须假设C是紧致的且分段光滑,即C有一参数表示式: z()=a(4)十iv(),h≤t≤ 其中u(4)和v(4)在区域[;t2]上连续且分段连续可微.于是积 分可写成 Riemann积分 f(e)d f(z(r))z'r)dt d(a(),以()44-(),叭()4 +计|φ(a(),v()a+中(u(),v(t) dt 我们证明下面的等价命题,就可验证 Cauchy积分定理 命C为单连通域G内之闭途径,且令f为G内的全纯函数,则 f(s)dz =0 由此对于任意域可得下列结果 )令f为域G内的全纯函数,且令C1和C2为G内从z1至z2 的两途径,彼此能连续形变而保其端点固定,则有 f(ed b)给定G内两闭途径C1与C2,它们能互相形变且保持定 向,则f(x)d c)令C为G内一闭途径,它能连续形变为一点z0∈G,则 f(x)dx 注在情形a)和b),途径C1和C2称为同伦,在情形c),途 径C称为同伦于零。于是积分只依赖于同伦类,即依赖于有等价 关系(C1同伦于C2)的类 对于不一定是单连通域的情形,我们有如下的结果: 2
令域G之边界为有限多个简单闭途径C,y=0,1,…,n, 所组成.并设C1……,Cn包含在Co的内部.又令f在G内全纯 而且在GU∪C,上连续.则有 f(z)ds x)d2 (1.3) 其中C,y=0,1,…n为正定向 这一定理的证明的办法是,分割G为有限多个单连通域(参看 图1),用 Cauchy积分定理和一个近似手续对这些单连通域证明 图1 这一论断 注定向途径C0,-C1,…,-Cn在代数拓扑的意义下组 成G的正定向边界8G: 0G=C+∑(-C) 于是上述结果的另一叙述是:令f为G内的全纯函数而且在 GUaG上连续,则f(z)dz=0 个定向途径,可能是由若干不相交的途径所组成的若它成 为一域的定向边界,则称它是同调于零.若两定向途径C1和C2是 同调的即若C1-C2同调于零又设f在G内全纯且于GU(C1 C2)上连续,则有,f(=)d2=|。f(x2)dz,其中G是以C1-C 为边界的域 由 Cauchy积分定理得到
Cauchy积分公式令G为一单连通域,C为G内一正定向 简单闭途径,C为域G0CG之边界.又设f为G内之全纯函数,则 对每一G,积分「存在并且 f(5) ds f(z),当z∈G, (14) brics 0,当zgGo∪C 下述命题成立:令G为一域,C为一途径.于G×C上有定义的 连续的复值函数f(z,5),并且对于固定的∈C,它在G内全纯 又设f2(z,2)于G×C连续,则 F 于G内全纯,并且有 F()=f(a, s)ds. (15) 重复应用此定理于 Cauchy第一积分公式,在具有 Cauchy第 积分公式的同样假设下,就得到对于n=0、1,2、…的一般 auhy积分公式: 1(f() z∈G (-x) 当zGoU 因为对每一点z∈G周围,都有包含z点在其内的一简单闭 曲线CCG,于是得到:于G内全纯的函数f,在G内具有各阶导 数, Cauchy第一积分公式蕴含着 Taylor定理令G为一域,x∈G并且D={2||x-2|< r}cG.又设f为G内的全纯函数,则对每一z∈D有 f(z) fan ( ao(a zo)n 于是在G内的全纯函数f在每一点x0∈G有一幂级数展式 ∑a(x-2)”,它在围绕x点且含于G内的最大圆D内收敛且 等于f,由公式(17)得到展式的系数an是
1(ao) (18) 反之每一幂级数∑a(x-30)”,在圆D={|13-x1<r} 内收敛,并在其收敛圆内表一全纯函数f(x)这是由于实的或复 的幂级数具有各阶导数,并且这些导数均能由“逐项微分”来计算, 于是有 f)(z)=∑(y+n)(u+n-1)…(u+1)an+(z-x0)(19) 这蕴含fn)(x0)=n!an或等价地有(1.8) 12解析展拓. Riemann曲面 上述关系式导致解析展拓理论,某些结果将在这里叙述之 1.令f和g为G内全纯函数,则下述命题是等价的: a)对每一z∈G,f(x)=g(z) b)在一点20∈G,对所有n=0,1,…,f(xo)=g(xo )对于一点列x1,z2…,其中x≠zo,limz=zo∈G, 有f(xn)=g(z),命题c)蕴含非常数的全纯函数具有孤立零点。 若函数f在x点邻近的幂级数展式之系数a,a1…,an-1为零, 而an÷0,则称n为f在x的零点的级.此时在z0点邻域f(x 能写为如下形式: f(x)=(z-x0)"g(z),g(x)≠0,当|z-z。<p 2.令f在G内全纯,B在G'内全纯,若G∩G′与必,且对 每一2∈G∩G有f(x)=g(x),则在G∪G恰有一全纯函数 h,使得对每一z∈G有h(x)=f(x),对z∈G′有h(z)=g(x) 函数B称为f到G′的全纯展拓 3正像在实函数的情况一样,能够指出,幂级数∑ a z z0)”,当|z-z。<r时收敛,当|z-zo|>r时发散,其中 5
若 lima,0,则级数对每一点x都收敛.若im|an不 存在,则级数仅当z〓20时收敛.在第一种(即r>0且不为∞) 情况,级数表示|z-zo|<r内的一全纯函数.围绕每一满足 lz1-al<r的点z1,此函数有一幂级数展式∑bn(z-x) 它在|z-x1<r-|x1-zol内收敛.可能出现这样的情形,即 有r>r-|x1-zo|级数甚至在|x-x1<r’内收敛.在此 情形新的级数产生f越过圆|z-z|<r外的一全纯展拓.但 函数f一定不能全纯展拓到|z-z0=r的每一点.另一方面, 可以证明,能用“改写幂级数”来实现f的每一个可能的全纯展拓 沿一途径之展拓至多只有一种方式可以作出 4.当imv|an=0时,幂级数对所有z定义了一个全纯函 数.反之,对所有z都全纯的函数围绕每一点z都有一幂级数展 式它在每一点z都收敛.这种函数称为整函数.例如,多项式就 是一种整函数,也叫做整有理函数,其它的整函数称为整超越函 数,例如 Si 2n+1 (2n+1)! cos 2 (2n)! 以及 Bessel函数 ln(x)=>(-1) 2=2n+2y!(n+y)! 5.令G为一单连通域,并在GCG域上定义一全纯函数f它 能沿G内任意途径全纯展拓,则此展拓不依赖途径并在整个G内 产生一全纯函数 另一方面,若G不是单连通域,则沿不同途径之展拓可能产生 不同的结果.在GCG内的全纯函数之展拓能在域GCG上给 出不同的函数.例如,函数logz,√x等等.定义一个变元z能