粒子数 InE=VQs 2nmkBT312 h2 =z(T,F界() a=立e n n-1 =F) n=l N=(2a v=zT,WF)4图A=界U=ea=er= @A<1→FF()≈λ。 由此得到温度为T,体积为V,化学势为4的粒子数N= N(T,4,V=N(B,,V)。 @类似的，可以计算内能U=U(T,4,V),压强p=p(T,4,V) 等物理量。 Q但是在处理有静止质量的系统时，化学势μ不容易确定，而N 容易确定。因此需要从上面的表达式中反解出μ=(T,N,V) 或者A=A(T,N,V,再进一步得到U=U(T,N,V)
粒子数 ln Ξ = 𝑉Ω𝑠 2𝜋𝑚𝑘𝐵𝑇 ℎ 2 3/2 𝐹 (∓) 5/2 (𝜆) = 𝑧(𝑇, 𝑉)𝐹 (∓) 5/2 (𝜆) 𝐹 (∓) 𝜈 (𝜆) = Õ∞ 𝑛=1 (∓)𝑛+1𝜆 𝑛 𝑛 𝜈 𝜆 𝜕𝐹(∓) 𝜈 𝜕𝜆 𝑇𝑉 = Õ∞ 𝑛=1 (∓)𝑛+1𝜆 𝑛 𝑛 𝜈−1 = 𝐹 (∓) 𝜈−1 (𝜆) 𝑁 = 𝜆 𝜕 ln Ξ 𝜕𝜆 𝑇𝑉 = 𝑧(𝑇, 𝑉) 𝐹 (∓) 3/2 (𝜆) 𝜆≪1 ====⇒ 𝜆 ≃ 𝐹 (∓) 3/2 (𝜆) = 𝑒 −𝛼 = 𝑒 𝛽𝜇 = 𝑁 𝑧 𝜆 ≪ 1 ⇒ 𝐹 ∓ 𝜈 (𝜆) ≃ 𝜆。 由此得到温度为 𝑇，体积为 𝑉，化学势为 𝜇 的粒子数 𝑁 = 𝑁(𝑇, 𝜇, 𝑉) = 𝑁(𝛽, 𝜆, 𝑉)。 类似的，可以计算内能 𝑈 = 𝑈(𝑇, 𝜇, 𝑉)，压强 𝑝 = 𝑝(𝑇, 𝜇, 𝑉) 等物理量。 但是在处理有静止质量的系统时，化学势 𝜇 不容易确定，而 𝑁 容易确定。因此需要从上面的表达式中反解出 𝜇 = 𝜇(𝑇, 𝑁, 𝑉) 或者 𝜆 = 𝜆(𝑇, 𝑁, 𝑉)，再进一步得到 𝑈 = 𝑈(𝑇, 𝑁, 𝑉)
非简并情况下从粒子数确定化学势 N=zT,F界) 界)= N 2πmkBT1-3/2 z(T,万V2 h2 =y(T,n=N/W)&1 2 λ3 y=F界a)= 23+32 非全同：A=ea=义=y 需要反解出入=A(y),利用待定系数法 A=ao+aly+a2y2+a3y3+... y=(a0+ay+a2y2+a3y2+…)年(a0+a1y+a2y2+a3y3+…)2 23/2 +(a0+a1y+a2y2+a3y3+…)月 33/2 0=a0干 22+312 …=F(ao）→a0=0
非简并情况下从粒子数确定化学势 𝑁 = 𝑧(𝑇, 𝑉) 𝐹 (∓) 3/2 (𝜆) 𝐹 (∓) 3/2 (𝜆) = 𝑁 𝑧(𝑇, 𝑉) = 𝑁 𝑉Ω𝑆 2𝜋𝑚𝑘𝐵𝑇 ℎ 2 −3/2 = 𝑦(𝑇, 𝑛 = 𝑁/𝑉) ≪ 1 𝑦 = 𝐹 (∓) 3/2 (𝜆) = 𝜆 ∓ 𝜆 2 2 3/2 + 𝜆 3 3 3/2 ∓ · · · ✞ ✝ ☎ ✆ 非全同：𝜆 = 𝑒 −𝛼 = 𝑁 𝑧 = 𝑦 需要反解出 𝜆 = 𝜆(𝑦)，利用待定系数法 𝜆 = 𝑎0 + 𝑎1𝑦 + 𝑎2𝑦 2 + 𝑎3𝑦 3 + · · · 𝑦 = (𝑎0 + 𝑎1𝑦 + 𝑎2𝑦 2 + 𝑎3𝑦 3 + · · · ) ∓ (𝑎0 + 𝑎1𝑦 + 𝑎2𝑦 2 + 𝑎3𝑦 3 + · · · )2 2 3/2 + (𝑎0 + 𝑎1𝑦 + 𝑎2𝑦 2 + 𝑎3𝑦 3 + · · · )3 3 3/2 ∓ · · · 0 = 𝑎0 ∓ 𝑎 2 0 2 3/2 + 𝑎 3 0 3 3/2 ∓ · · · = 𝐹 (∓) 3/2 (𝑎0) ⇒ 𝑎0 = 0
从粒子数确定化学势 y=a1y+a2y2+a3y3+… 2 232(a1+a2y+a3y2+…)2 3a1+a2y+a3y2+…)干 1 →a1=1 a ±1 0=a2干 →a2= 232 2a1a2 a 2 1 1 0=a3干 23/2 2=a3- 233312 →43= 433/2 2 1=y±2n+(43》 解析上可以利用Lagrange inversion theorem来计算高阶修正。 现在多数情况下直接通过数值计算得到结果
从粒子数确定化学势 𝑦 = 𝑎1𝑦 + 𝑎2𝑦 2 + 𝑎3𝑦 3 + · · · ∓ 𝑦 2 2 3/2 (𝑎1 + 𝑎2𝑦 + 𝑎3𝑦 2 + · · · )2 + 𝑦 3 3 3/2 (𝑎1 + 𝑎2𝑦 + 𝑎3𝑦 2 + · · · )3 ∓ · · · = 𝑎1𝑦 + 𝑎2 ∓ 𝑎 2 1 2 3/2 𝑦 2 + 𝑎3 ∓ 2𝑎1𝑎2 2 3/2 + 𝑎 3 1 3 3/2 𝑦 3 + · · · ⇒ 𝑎1 = 1 0 = 𝑎2 ∓ 𝑎 2 1 2 3/2 ⇒ 𝑎2 = ±1 2 3/2 0 = 𝑎3 ∓ 2𝑎1𝑎2 2 3/2 + 𝑎 3 1 3 3/2 = 𝑎3 − 2 2 3 + 1 3 3/2 ⇒ 𝑎3 = 1 4 − 1 3 3/2 𝜆 = 𝑦 ± 1 2 3/2 𝑦 2 + 1 4 − 1 3 3/2 𝑦 3 + · · · ☞ 解析上可以利用 Lagrange inversion theorem 来计算高阶修正。 现在多数情况下直接通过数值计算得到结果
Lagrange inversion theorem z=f(w) w=s=a+∑nk-f@r n! 8n=lim
Lagrange inversion theorem 𝑧 = 𝑓 (𝑤) 𝑤 =𝑔(𝑧) = 𝑎 + Õ 𝑛 𝑔𝑛 [𝑧 − 𝑓 (𝑎)]𝑛 𝑛! 𝑔𝑛 = lim 𝑤→𝑎 𝑑 𝑛−1 𝑑𝑤𝑛−1 n h 𝑤 − 𝑎 𝑓 (𝑤) − 𝑓 (𝑎) i 𝑛 o
Lagrange inversion theorem Special case a =0,f(0)=0, 00 zk 异公aui人 n≥2 = f+1 (k+1)f n因=nn+1)…(n+k-1)）=+k-l (n-1)！ Bel多项式 n Bn.k(x1,x2,…,xn-k+1）= j1+j2++jn-k+1=l j1j2…jn-k+1 j1+2j2++(n-k+10jn-k+1=n Xn-k+1 Jn-k+l
Lagrange inversion theorem Special case 𝑎 = 0, 𝑓 (0) = 0, 𝑧 = 𝑓 (𝑤) = Õ∞ 𝑘=1 𝑓𝑘 𝑤 𝑘 𝑘! ⇒ 𝑤 = 𝑔(𝑧) = Õ∞ 𝑘=1 𝑔𝑘 𝑧 𝑘 𝑘! 𝑔𝑛 = 1 𝑓 𝑛 1 Õ𝑛−1 𝑘=1 (−)𝑘 𝑛 (𝑘)𝐵𝑛−1,𝑘 ( ˆ𝑓1, ˆ𝑓2, · · · , ˆ𝑓𝑛−𝑘), 𝑛 ≥ 2 ˆ𝑓𝑘 = 𝑓𝑘+1 (𝑘 + 1) 𝑓1 𝑛 (𝑘) = 𝑛(𝑛 + 1) · · · (𝑛 + 𝑘 − 1) = (𝑛 + 𝑘 − 1)! (𝑛 − 1)! Bell 多项式 𝐵𝑛,𝑘 (𝑥1, 𝑥2, · · · , 𝑥𝑛−𝑘+1) = Õ 𝑗1 + 𝑗2 +···+ 𝑗𝑛−𝑘+1 =1 𝑗1 +2 𝑗2 +···+(𝑛−𝑘+1) 𝑗𝑛−𝑘+1 =𝑛 𝑛! 𝑗1!𝑗2! · · · 𝑗𝑛−𝑘+1! × 𝑥1 1! 𝑗1 𝑥2 2! 𝑗2 · · · 𝑥𝑛−𝑘+1 (𝑛 − 𝑘 + 1)! 𝑗𝑛−𝑘+1