内能和热容 InE=VOs 2πmkBT3/2 h2 s(A)=z(T.V)Fs() 2 3kLFa级0 =3Nkr5界) 2 F界 2y ±品+动+… 2y 动++ n1+…) 2 U= 2 =3NkεT/2×(1±0.1768y-0.0033y2+…)
内能和热容 𝑈 = − 𝜕 ln Ξ 𝜕 𝛽 𝜆𝑉 = 𝑘𝐵𝑇 2 𝜕 ln Ξ 𝜕𝑇 𝜆𝑉 = 𝑘𝐵𝑇 2 𝜕𝑧 𝜕𝑇 𝑉 𝐹 (∓) 5/2 (𝜆) = 3𝑘𝐵𝑇 2 𝑧𝐹(∓) 5/2 (𝜆) = 3𝑘𝐵𝑇 2 𝑧𝐹(∓) 3/2 (𝜆) 𝐹 (∓) 5/2 (𝜆) 𝐹 (∓) 3/2 (𝜆) = 3𝑁 𝑘𝐵𝑇 2 𝐹 (∓) 5/2 (𝜆) 𝐹 (∓) 3/2 (𝜆) = 3𝑁 𝑘𝐵𝑇 2𝑦 𝜆 ∓ 1 2 5/2 𝜆 2 + 1 3 5/2 𝜆 3 + · · · = 3𝑁 𝑘𝐵𝑇 2𝑦 h 𝑦 ± 𝑦 2 2 3/2 + 1 4 − 1 3 3/2 𝑦 3 + · · · ∓ 𝑦 2 2 5/2 1 ± 𝑦 2 3/2 + · · · 2 + 𝑦 3 3 5/2 (1 + · · · )3 i = 3𝑁 𝑘𝐵𝑇 2 h 1 ± 1 2 3/2 − 1 2 5/2 𝑦 + 1 4 − 1 3 3/2 − 2 2 5/2 · 2 3/2 + 1 3 5/2 𝑦 2 + · · · i 𝑈 = 3𝑁 𝑘𝐵𝑇 2 h 1 ± 𝑦 2 5/2 + 1 8 − 2 3 5/2 𝑦 2 + · · · i = 3𝑁 𝑘𝐵𝑇/2 × (1 ± 0.1768𝑦 − 0.0033𝑦 2 + · · · ) ln Ξ = 𝑉Ω𝑠 2𝜋𝑚𝑘𝐵𝑇 ℎ 2 3/2 𝐹 ∓ 5/2 (𝜆) = 𝑧(𝑇, 𝑉)𝐹 ∓ 5/2 (𝜆)
3/2 内能和热容 2πmkBT 2 2()=z(T,V)F52) u-a±卖+传品+y=0 cv = 删w=±动+品产+小 器》w+传-a器)w+ ±+r)小+（传2+n需）小+ 2 1±-p加+传品1-w2+》 1赢-(+ =3NkB/2×(1年0.08839y+0.0066y2+…)
内能和热容 𝑈 = 3𝑁 𝑘𝐵𝑇 2 h 1 ± 𝑦 2 5/2 + 1 8 − 2 3 5/2 𝑦 2 + · · · i 𝑦 = 𝑁 𝑉Ω𝑠 2𝜋𝑚𝑘𝐵𝑇 ℎ 2 − 3 2 𝐶𝑉 = 𝜕𝑈 𝜕𝑇 𝑁𝑉 = 3𝑁 𝑘𝐵 2 h 1 ± 𝑦 2 5/2 + 1 8 − 2 3 5/2 𝑦 2 + · · · i + 3𝑁 𝑘𝐵𝑇 2 h ± 1 2 5/2 𝜕𝑦 𝜕𝑇 𝑁𝑉 + 1 8 − 2 3 5/2 𝜕𝑦2 𝜕𝑇 𝑁𝑉 + · · · i = 3𝑁 𝑘𝐵 2 ( 1 ± 1 2 5/2 h 𝑦 + 𝑇 𝜕𝑦 𝜕𝑇 𝑁𝑉 i + 1 8 − 2 3 5/2 h𝑦 2 + 𝑇 𝜕𝑦2 𝜕𝑇 𝑁𝑉 i + · · · ) = 3𝑁 𝑘𝐵 2 ( 1 ± 1 2 5/2 (1 − 3/2)𝑦 + 1 8 − 2 3 5/2 (1 − 3)𝑦 2 + · · · ) = 3𝑁 𝑘𝐵 2 ( 1 ∓ 𝑦 2 7/2 − 1 4 − 4 3 5/2 𝑦 2 + · · · ) = 3𝑁 𝑘𝐵/2 × (1 ∓ 0.08839𝑦 + 0.0066𝑦 2 + · · · ) ln Ξ = 𝑉Ω𝑠 2𝜋𝑚𝑘𝐵𝑇 ℎ 2 3/2 𝐹 ∓ 5/2 (𝜆) = 𝑧(𝑇, 𝑉)𝐹 ∓ 5/2 (𝜆)
热容的另外一种表达式 U= 3knT2T.VF() 2 N=z(T,V)Fn(A) Cv= 2 aT a(X,N)a(X,N)a(T,A) a(T,N) a(T,A)a(T,N) =().(，) 5/2 5/2 =0 aT 5/2 15kBF话，-9NkBF2_15NkBS2 ）9NkBF/2(d) 4 Fsp 4 Fip 4 F2()4Ff2(a)
热容的另外一种表达式 𝑈 = 3𝑘𝐵𝑇 𝑧(𝑇, 𝑉) 2 𝐹 (∓) 5/2 (𝜆) 𝑁 = 𝑧(𝑇, 𝑉)𝐹 ± 3/2 (𝜆) 𝐶𝑉 = 𝜕𝑈 𝜕𝑇 𝑁𝑉 = 3𝑘𝐵 2 𝜕[𝑇 𝑧] 𝜕𝑇 𝑁𝑉 𝐹 ∓ 5/2 (𝜆) + 3𝑘𝐵𝑇 𝑧 2 𝜕𝐹∓ 5/2 𝜕𝑇 𝑁𝑉 𝜕𝑋 𝜕𝑇 𝑁 = 𝜕(𝑋, 𝑁) 𝜕(𝑇, 𝑁) = 𝜕(𝑋, 𝑁) 𝜕(𝑇, 𝜆) 𝜕(𝑇, 𝜆) 𝜕(𝑇, 𝑁) = 𝜕𝑋 𝜕𝑇 𝜆 − 𝜕𝑋 𝜕𝜆 𝑇 𝜕𝑁 𝜕𝑇 𝜆 / 𝜕𝑁 𝜕𝜆 𝑇 𝜕𝐹∓ 5/2 𝜕𝑇 𝑁 = 𝜕𝐹∓ 5/2 𝜕𝑇 𝜆 ✄ ✂ ✁ =0 − 𝜕𝐹∓ 5/2 𝜕𝜆 𝑇 ☛ ✡ ✟ ✠ = 𝐹 ∓ 3/2 𝜆 × 𝜕𝑁 𝜕𝑇 𝜆 ✞ ✝ ☎ ✆ = 3𝑁 2𝑇 / 𝜕𝑁 𝜕𝜆 𝑇 ☛ ✡ ✟ ✠ = 𝑧𝐹∓ 1/2 𝜆 𝐶𝑉 = 15𝑘𝐵𝑧 4 𝐹 ∓ 5/2 − 9𝑁 𝑘𝐵 4 𝐹 ∓ 3/2 𝐹 ∓ 1/2 = 15𝑁 𝑘𝐵 4 𝐹 ∓ 5/2 (𝜆) 𝐹 ∓ 3/2 (𝜆) − 9𝑁 𝑘𝐵 4 𝐹 ∓ 3/2 (𝜆) 𝐹 ∓ 1/2 (𝜆)
压强 =N±+传品)2+… o.Fermionic系统的能量和压强比经典系统大 由于Pauli不相容原理，Fermion更倾向于占据高能的单粒子 态，导致能量和压强增大 ⑧等价于有个统计上的排斥作用 o Bosonic系统的能量和压强比经典系统小 霉Boson更加抱团一点，都倾向于呆在低能的单粒子态上 蜜等价于有个统计上的吸引作用
压强 𝑝 = 1 𝛽 𝜕 ln Ξ 𝜕𝑉 𝑇,𝑉 = 𝑘𝐵𝑇 𝑉 ln Ξ = 2𝑈 3𝑉 = 𝑁 𝑘𝐵𝑇 h 1 ± 𝑦 2 5/2 + 1 8 − 2 3 5/2 𝑦 2 + · · · i Fermionic 系统的能量和压强比经典系统大 ☞ 由于 Pauli 不相容原理，Fermion 更倾向于占据高能的单粒子 态，导致能量和压强增大 ☞ 等价于有个统计上的排斥作用 Bosonic 系统的能量和压强比经典系统小 ☞ Boson 更加抱团一点，都倾向于呆在低能的单粒子态上 ☞ 等价于有个统计上的吸引作用
经典极限 非定域系A=eBr《I 定域系A=eBr=ea=N|z ha=±∑nl±de8s] =A∑e8= =Az In N eBuz Az )BV N as= e±1 Ae-Bes a=eBss=Re-Bss
经典极限 ✞ ✝ ☎ 非定域系 ✆ 𝜆 = 𝑒 𝛽𝜇 ≪ 1 ✞ ✝ ☎ ✆ 定域系 𝜆 = 𝑒 𝛽𝜇 = 𝑒 −𝛼 = 𝑁/𝑧 ln Ξ = ± Õ 𝑠 ln[1 ± 𝜆𝑒−𝛽 𝜀𝑠 ] 𝑧 = Õ 𝑠 𝑒 −𝛽 𝜀𝑠 = 𝜆 Õ 𝑠 𝑒 −𝛽 𝜀𝑠 = 𝜆𝑧 𝑁 = 𝜆 𝜕 ln Ξ 𝜕𝜆 𝛽𝑉 = 𝜆𝑧 = ln Ξ 𝑁 = 𝑒 𝛽𝜇𝑧 = 𝜆𝑧 𝑎𝑠 = 1 1 𝜆 𝑒 𝛽 𝜀𝑠 ± 1 ≃ 𝜆𝑒−𝛽 𝜀𝑠 𝑎𝑠 = 𝑁 𝑧 𝑒 −𝛽 𝜀𝑠 = 𝜆𝑒−𝛽 𝜀𝑠 𝑈 = 𝑘𝐵𝑇 2 𝜕 ln Ξ 𝜕𝑇 𝜆𝑉 = 𝑘𝐵𝑇 2 𝜕[𝜆𝑧] 𝜕𝑇 𝜆𝑉 𝑈 = 𝑁 𝑘𝐵𝑇 2 𝜕 ln 𝑧 𝜕𝑇 𝑉 = 𝑘𝐵𝑇 2 𝑁 𝑧 𝜕𝑧 𝜕𝑇 𝑉 = 𝑁 𝑘𝐵𝑇 2 𝜕 ln 𝑧 𝜕𝑇 𝑉 𝑃 = 𝑘𝐵𝑇 𝜕 ln Ξ 𝜕𝑉 𝑇𝜆 = 𝑁 𝑘𝐵𝑇 𝜕 ln 𝑧 𝜕𝑉 𝑇 𝑃 = 𝑁 𝑘𝐵𝑇 𝜕 ln 𝑧 𝜕𝑉 𝑇