巨势和巨配分函数 ln三=ln2-aN-BU kBTInE=TkB InQ+uN-U=TS-U+uN=-(F-Nu)=-J J=-kBTn三=J(T,V,) 巨势 J=F-Nμ=U-TS-Nμ →dJ=-Sdr-pdV-Ndu
巨势和巨配分函数 ln Ξ = ln Ω − 𝛼𝑁 − 𝛽𝑈 𝑘𝐵𝑇 ln Ξ = 𝑇 𝑘𝐵 ln Ω + 𝜇𝑁 − 𝑈 = 𝑇 𝑆 − 𝑈 + 𝜇𝑁 = −(𝐹 − 𝑁 𝜇) = −𝐽 𝐽 = −𝑘𝐵𝑇 ln Ξ = 𝐽 (𝑇, 𝑉, 𝜇) ✞ ✝ ☎ 巨势 ✆ 𝐽 = 𝐹 − 𝑁 𝜇 = 𝑈 − 𝑇 𝑆 − 𝑁 𝜇 ⇒ 𝑑𝐽 = −𝑆𝑑𝑇 − 𝑝𝑑𝑉 − 𝑁 𝑑𝜇
巨势和巨配分函数 A=e-a=eBu InE=InE(B,a,V)=In(B,A,V)InE(T,u,V) ）= 1(0InE oInE Bv=BμBv =ksTμ a(ln三，a) a(ln三，a)a(B,) 6(B,a) a(B,4）a(B,a) -【--n.层 =-n+N=ta2n+N dlnΞ 1/0In) 1 0In P=B av )Ba=B(av )Ba 1(0In
巨势和巨配分函数 𝜆 = 𝑒 −𝛼 = 𝑒 𝛽𝜇 ln Ξ = ln Ξ(𝛽, 𝛼, 𝑉) = ln Ξ(𝛽, 𝜆, 𝑉) = ln Ξ(𝑇, 𝜇, 𝑉) 𝑁 = − 𝜕 ln Ξ 𝜕𝛼 𝛽𝑉 = 𝜆 𝜕 ln Ξ 𝜕𝜆 𝛽𝑉 = 1 𝛽 𝜕 ln Ξ 𝜕𝜇 𝛽𝑉 = 𝑘𝐵𝑇 𝜕 ln Ξ 𝜕𝜇 𝑇𝑉 𝑈 = − 𝜕 ln Ξ 𝜕 𝛽 𝛼𝑉 = − 𝜕 ln Ξ 𝜕 𝛽 𝜆𝑉 = − 𝜕(ln Ξ, 𝛼) 𝜕(𝛽, 𝛼) = − 𝜕(ln Ξ, 𝛼) 𝜕(𝛽, 𝜇) 𝜕(𝛽, 𝜇) 𝜕(𝛽, 𝛼) = − h 𝜕 ln Ξ 𝜕 𝛽 𝜇𝑉 (−𝛽) − 𝜕 ln Ξ 𝜕𝜇 𝛽𝑉 𝜕𝛼 𝜕 𝛽 𝜇 i −1 𝛽 = − 𝜕 ln Ξ 𝜕 𝛽 𝜇𝑉 + 𝑁 𝜇 = 𝑘𝐵𝑇 2 𝜕 ln Ξ 𝜕𝑇 𝜇𝑉 + 𝑁 𝜇 𝑝 = 1 𝛽 𝜕 ln Ξ 𝜕𝑉 𝛽𝛼 = 1 𝛽 𝜕 ln Ξ 𝜕𝑉 𝛽𝜆 = 1 𝛽 𝜕 ln Ξ 𝜕𝑉 𝛽,−𝛽𝜇 = 1 𝛽 𝜕 ln Ξ 𝜕𝑉 𝛽,𝜇 = 𝑘𝐵𝑇 𝜕 ln Ξ 𝜕𝑉 𝑇,𝜇
7.11弱简并理想气体 强简并和弱简并气体 单粒子基态能量Eg=0, 1 as=eB(6s-±1 eBes+a±1ep&x/l±1 QfA=ea=eBμ《l:弱简并，全同性不重要 as≈Ae-Bes=eB&s-a Boltzmann分布 fA=e-a=eμ≥1：强简并，全同性重要 低能态上，Fermion as= ≈1 es/A+1 低能态上，Boson A≤1 1 &s=0 eBEs /A-1 ≈kBT (1-)+pes Es>0 Es
7.11 弱简并理想气体 强简并和弱简并气体 单粒子基态能量 𝜀𝑔 = 0， 𝑎𝑠 = 1 𝑒 𝛽( 𝜀𝑠−𝜇) ± 1 = 1 𝑒 𝛽 𝜀𝑠+𝛼 ± 1 = 1 𝑒 𝛽 𝜀𝑠 /𝜆 ± 1 If 𝜆 = 𝑒 −𝛼 = 𝑒 𝛽𝜇 ≪ 1：弱简并，全同性不重要 𝑎𝑠 ≃ 𝜆𝑒−𝛽 𝜀𝑠 = 𝑒 −𝛽 𝜀𝑠−𝛼 ✞ ✝ ☎ ✆ Boltzmann 分布 If 𝜆 = 𝑒 −𝛼 = 𝑒 𝛽𝜇 ≥ 1：强简并，全同性重要 低能态上，Fermion 𝑎𝑠 = 1 𝑒 𝜀𝑠 /𝜆 + 1 ≃ 1 低能态上，Boson 𝜆 ≤ 1 𝑎𝑠 = 1 𝑒 𝛽 𝜀𝑠 /𝜆 − 1 ≃ 𝜆 1−𝜆 ≃ 1 1−𝜆 → ∞ 𝜀𝑠 = 0 ≃ 1 (1−𝜆)+𝛽 𝜖𝑠 ≃ 𝑘𝐵𝑇 𝜀𝑠 𝜀𝑠 > 0
强弱简并判据 A=e-a=efu o.Fermion:A≥1Bμ≥0 强简并条件：μ/(kBT)1 0 Boson:es-μ20→4≤0 强简并条件：4≈0 n三=±∑ln[l±es-]=±∑l±e-8s] =± g(e)ln1±Ae-Be]de 激发态贡献 ±wgln1±] 基态贡献，多数情况可以忽略不计。 强简并的Bosonic气体时需要考虑。 这里的简并指的是量子全同性是否重要，和量子力学中的简并（不 同的态本征能量相同)没有关系。更准确的翻译应该是（自由度) 强退化或者弱退化气体
强弱简并判据 𝜆 = 𝑒 −𝛼 = 𝑒 𝛽𝜇 Fermion：𝜆 ≥ 1 ⇒ 𝛽𝜇 ≥ 0 强简并条件：𝜇/(𝑘𝐵𝑇) ≫ 1 Boson：𝜀𝑠 − 𝜇 ≥ 0 ⇒ 𝜇 ≤ 0 强简并条件：𝜇 ≃ 0 ln Ξ = ± Õ 𝑠 ln[1 ± 𝑒 −𝛽( 𝜀𝑠−𝜇) ] = ± Õ 𝑠 ln[1 ± 𝜆𝑒−𝛽 𝜀𝑠 ] = ± ˆ ∞ 0 𝑔(𝜀) ln[1 ± 𝜆𝑒−𝛽 𝜀]𝑑𝜀 ✞ ✝ ☎ 激发态贡献 ✆ ± 𝜔𝑔 ln[1 ± 𝜆] ✎ ✍ ☞ ✌ 基态贡献，多数情况可以忽略不计。 强简并的 Bosonic 气体时需要考虑。 ✓ ✒ ✏ ✑ 这里的简并指的是量子全同性是否重要，和量子力学中的简并（不 同的态本征能量相同）没有关系。更准确的翻译应该是（自由度） 强退化或者弱退化气体
弱简并理想气体 n3=±∑nl±es-]=±& (e)lnll±eBs-]de =±，8(e)ln[l±leBe]de上：Fermion;下Boson g(e)e-nBede 2 车方9 =2rv2. a”立厂eer=即 2πmkBT)3/2 h2 =T,F界 F(a)= 年) z是非全同粒子的单粒子配分函数
弱简并理想气体 ln Ξ = ± Õ 𝑠 ln[1 ± 𝑒 −𝛽( 𝜀𝑠−𝜇) ] = ± ˆ ∞ 0 𝑔(𝜀) ln[1 ± 𝑒 −𝛽( 𝜀−𝜇) ]𝑑𝜀 = ± ˆ ∞ 0 𝑔(𝜀) ln[1 ± 𝜆𝑒−𝛽 𝜀]𝑑𝜀 ✞ ✝ ☎ 上： ✆ Fermion；下 Boson = ± ˆ ∞ 0 𝑔(𝜀) Õ∞ 𝑛=1 (−)𝑛+1 (±𝜆𝑒−𝛽 𝜀) 𝑛 𝑛 = Õ∞ 𝑛=1 (∓)𝑛+1𝜆 𝑛 𝑛 ˆ ∞ 0 𝑔(𝜀)𝑒 −𝑛𝛽 𝜀 𝑑𝜀 = 2𝜋𝑉Ω𝑠 2𝑚 ℎ 2 3/2Õ∞ 𝑛=1 (∓)𝑛+1𝜆 𝑛 𝑛 ˆ ∞ 0 √ 𝜀𝑒−𝑛𝛽 𝜀 𝑑𝜀 = 2𝜋𝑉Ω𝑠 2𝑚𝑘𝐵𝑇 ℎ 2 3/2Õ∞ 𝑛=1 (∓)𝑛+1𝜆 𝑛 𝑛 5/2 ˆ ∞ 0 𝑒 −𝑡 𝑡 1/2 𝑑𝑡 ✞ ✝ ☎ ✆ = Γ( 3 2 ) = √ 𝜋/2 = 𝑉Ω𝑠 2𝜋𝑚𝑘𝐵𝑇 ℎ 2 3/2 𝐹 (∓) 5/2 (𝜆) = 𝑧(𝑇, 𝑉)𝐹 (∓) 5/2 (𝜆) 𝐹 (∓) 𝜈 (𝜆) = Õ∞ 𝑛=1 (∓)𝑛+1𝜆 𝑛 𝑛 𝜈 ✞ ✝ ☎ ✆ 𝑧 是非全同粒子的单粒子配分函数 𝑔(𝜀) = Ω𝑠 ˆ 𝛿 𝜀 − 𝑝 2 2𝑚 𝑑 3 𝑥𝑑3 𝑝 ℎ 3 = 2𝜋𝑉Ω𝑠 2𝑚 ℎ 2 3/2 √ 𝜀