巨配分函数 o.Boson InE=InE(B,a,V)=In2-aN-BE =∑wi+a）n(wi+am）-(wi+a】 -(aiIn ai-al)-(wilnwi-wi)-(a+Bs)al} =∑o,ht+ah+-a+ea al wl wjea+Bs al=ea+Be-1 w+a1= ea+BsI-1 w1+a4=1-e-B]- 1+a 1=e0+Be W1 a hE=∑ornl-ea-g）'+a4a+Bs）-aa+6el ∑a1-ea-m
巨配分函数 Boson ln Ξ = ln Ξ(𝛽, 𝛼, 𝑉) = ln Ω − 𝛼𝑁 − 𝛽𝐸 = Õ 𝑙 { [(𝜔𝑙 + 𝑎𝑙) ln(𝜔𝑙 + 𝑎𝑙) − (𝜔𝑙 + 𝑎𝑙)] − (𝑎𝑙 ln 𝑎𝑙 − 𝑎𝑙) − (𝜔𝑙 ln𝜔𝑙 − 𝜔𝑙) − (𝛼 + 𝛽𝜀)𝑎𝑙} = Õ 𝑙 n 𝜔𝑙 ln 𝜔𝑙 + 𝑎𝑙 𝜔𝑙 + 𝑎𝑙 ln 𝜔𝑙 + 𝑎𝑙 𝑎𝑙 − (𝛼 + 𝛽𝜀𝑙)𝑎𝑙 o 𝑎𝑙 = 𝜔𝑙 𝑒 𝛼+𝛽 𝜀𝑙 − 1 𝜔𝑙 + 𝑎𝑙 = 𝜔𝑙𝑒 𝛼+𝛽 𝜀𝑙 𝑒 𝛼+𝛽 𝜀𝑙 − 1 𝜔𝑙 + 𝑎𝑙 𝜔𝑙 = [1 − 𝑒 −𝛼−𝛽 𝜀𝑙 ] −1 𝜔𝑙 + 𝑎𝑙 𝑎𝑙 = 𝑒 𝛼+𝛽 𝜀𝑙 ln Ξ = Õ 𝑙 h 𝜔𝑙 ln 1 − 𝑒 −𝛼−𝛽 𝜀𝑙 −1 + 𝑎𝑙(𝛼 + 𝛽𝜀𝑙) − 𝑎𝑙(𝛼 + 𝛽𝜀𝑙) i = − Õ 𝑙 𝜔𝑙 ln 1 − 𝑒 −𝛼−𝛽 𝜀𝑙
巨配分函数 巨配分函数 na=±∑ain1±ea-80） +Fermion;-:Boson =±∑±e-）=±∑1±ea-mj =Π1±e8m=Π±ea-w] Π0±eo-)'-Π±e] Q通过Legendre变换，把自由参量从(E,N,变为了(B,a,V)台 (T,4,V) 等价于是从孤立系统变成为开放系统 系统和大热源和大粒子源接触，保持温度和化学势不变 Q在求平衡热力学量时候没有区别
巨配分函数 巨配分函数 ln Ξ = ± Õ 𝑙 𝜔𝑙 ln 1 ± 𝑒 −𝛼−𝛽 𝜀𝑙 ✞ ✝ ☎ ✆ +：Fermion；−：Boson = ± Õ 𝑠 ln 1 ± 𝑒 −𝛼−𝛽 𝜀𝑠 = ± Õ 𝑠 lnh 1 ± 𝑒 −𝛽( 𝜀𝑠−𝜇) i Ξ = Ö 𝑙 1 ± 𝑒 −𝛼−𝛽 𝜀𝑙 ±𝜔𝑙 = Ö 𝑙 h 1 ± 𝑒 −𝛽( 𝜀𝑙−𝜇) i±𝜔𝑙 = Ö 𝑠 1 ± 𝑒 −𝛼−𝛽 𝜀𝑠 ±1 = Ö 𝑠 h 1 ± 𝑒 −𝛽( 𝜀𝑠−𝜇) i±1 通过Legendre变换，把自由参量从 (𝐸, 𝑁, 𝑉) 变为了 (𝛽, 𝛼, 𝑉) ⇔ (𝑇, 𝜇, 𝑉) 等价于是从孤立系统变成为开放系统 系统和大热源和大粒子源接触，保持温度和化学势不变 在求平衡热力学量时候没有区别
7.10物理量 dlng=-Edβ-Nda U=E=- .B WIEl e-a-BE =±∑-品±eoy =-品引∑emnf±ea月=-e)r w-w=2”性2 =(出∑or(-品a1±e-）av] 品上2ouai±eoav=-nmv
7.10 物理量 𝑑 ln Ξ = −𝐸 𝑑𝛽 − 𝑁 𝑑𝛼 𝑈 = 𝐸 = − 𝜕 ln Ξ 𝜕 𝛽 𝛼𝑉 𝑁 = − 𝜕 ln Ξ 𝜕𝛼 𝛽𝑉 𝑈 = 𝐸 = Õ 𝑙 𝑎𝑙𝜀𝑙 = Õ 𝑙 𝜔𝑙𝜀𝑙 𝑒 𝛽 𝜀𝑙+𝛼 ± 1 = Õ 𝑙 𝜔𝑙𝜀𝑙 𝑒 −𝛼−𝛽 𝜀𝑙 1 ± 𝑒 −𝛼−𝛽 𝜀𝑙 = ± Õ 𝑙 𝜔𝑙 h (−) 𝜕 𝜕𝛽 ln 1 ± 𝑒 −𝛼−𝛽 𝜀𝑙 i 𝛼,𝑉 = − 𝜕 𝜕 𝛽 h (±)Õ 𝑙 𝜔𝑙 ln 1 ± 𝑒 −𝛼−𝛽 𝜀𝑙 i = − 𝜕 ln Ξ 𝜕 𝛽 𝛼𝑉 𝑁 = Õ 𝑙 𝑎𝑙 = Õ 𝑙 𝜔𝑙 𝑒 𝛼+𝛽 𝜀𝑙 ± 1 = Õ 𝑙 𝜔𝑙𝑒 −𝛼−𝛽 𝜀𝑙 1 ± 𝑒 −𝛼−𝛽 𝜀𝑙 = (±)Õ 𝑙 h 𝜔𝑙(−) 𝜕 𝜕𝛼 ln 1 ± 𝑒 −𝛼−𝛽 𝜀𝑙 𝛽𝑉 i = − 𝜕 𝜕𝛼 h ± Õ 𝑙 𝜔𝑙 ln 1 ± 𝑒 −𝛼−𝛽 𝜀𝑙 i 𝛽𝑉 = − 𝜕 ln Ξ 𝜕𝛼 𝛽𝑉
压强 = a(V) iU=ea+∑a6 (+Ba+e-(B)6a =6Q+6W+μ6N a=-B4 -”-2)-公)0 =±∑品vnte儿g -品le∑e啡ep儿-20e
压强 𝑈 = Õ 𝑙 𝑎𝑙𝜀𝑙(𝑉) 𝛿𝑈 = Õ 𝑙 𝜀𝑙𝛿𝑎𝑙 + Õ 𝑙 𝑎𝑙𝛿𝜀𝑙 = Õ 𝑙 (𝜀𝑙 + 𝛼/𝛽)𝛿𝑎𝑙 + Õ 𝑙 𝑎𝑙𝛿𝜀𝑙 − (𝛼/𝛽) Õ 𝑙 𝛿𝑎𝑙 = 𝛿𝑄 + 𝛿𝑊 + 𝜇𝛿𝑁 ⇒ 𝛼 = −𝛽𝜇 𝑝 = 𝛿𝑊 𝛿𝑉 = − Õ 𝑙 𝑎𝑙 𝜕𝜀𝑙 𝜕𝑉 = − Õ 𝑙 𝜔𝑙 𝜕𝜀𝑙 𝜕𝑉 𝑒 −𝛼−𝛽 𝜀𝑙 1 ± 𝑒 −𝛼−𝛽 𝜀𝑙 = ± Õ 𝑙 𝜔𝑙 h 𝜕 𝛽𝜕𝑉 ln 1 ± 𝑒 −𝛼−𝛽 𝜀𝑙 i 𝛼,𝛽 = 𝜕 𝛽𝜕𝑉 h (±)Õ 𝑙 𝜔𝑙 ln 1 ± 𝑒 −𝛼−𝛽 𝜀𝑙 i = 1 𝛽 𝜕 ln Ξ 𝜕𝑉 𝛼𝛽
熵和Boltzmann关系 Ba0=B∑a+da,=卫BeI+odal =∑d(Be+aal-∑ad(Ba+m） =dyaa+e2al-∑n主ls+ =dBU+aN+∑（±）din[1±eBa-] =d(BU +aN)+dInE=d(BU +aN+InE) BdQ是全微分→B是积分因子→B=1/(kBT) S=ks(ln三+aN+U=kB(n三-μW/T+U/T)=kBln三- lnE=ln2-aN-U→ S=kBIn Boltzmann关系，对Boson/,Fermion也成立
熵和 Boltzmann 关系 𝛽𝑑𝑄 = 𝛽 Õ 𝑙 (𝜀𝑙 + 𝛼/𝛽)𝑑𝑎𝑙 = Õ 𝑙 (𝛽𝜀𝑙 + 𝛼)𝑑𝑎𝑙 = Õ 𝑙 𝑑[(𝛽𝜀𝑙 + 𝛼)𝑎𝑙] − Õ 𝑙 𝑎𝑙𝑑(𝛽𝜀𝑙 + 𝛼) = 𝑑[𝛽 Õ 𝑙 𝑎𝑙𝜀𝑙 + 𝛼 Õ 𝑙 𝑎𝑙] − Õ 𝑙 𝜔𝑙 𝑒 𝛽 𝜀𝑙+𝛼 ± 1 𝑑(𝛽𝜀𝑙 + 𝛼) = 𝑑(𝛽𝑈 + 𝛼𝑁) + Õ 𝑙 (±)𝜔𝑙𝑑 ln[1 ± 𝑒 −𝛽 𝜀𝑙−𝛼 ] = 𝑑(𝛽𝑈 + 𝛼𝑁) + 𝑑 ln Ξ = 𝑑(𝛽𝑈 + 𝛼𝑁 + ln Ξ) 𝛽𝑑𝑄 是全微分 ⇒ 𝛽 是积分因子 ⇒ 𝛽 = 1/(𝑘𝐵𝑇) 𝑆 = 𝑘𝐵(ln Ξ + 𝛼𝑁 + 𝛽𝑈) = 𝑘𝐵(ln Ξ − 𝜇𝑁/𝑇 + 𝑈/𝑇) = 𝑘𝐵 ln Ξ − 𝜇𝑁 𝑇 + 𝑈 𝑇 ln Ξ = ln Ω − 𝛼𝑁 − 𝛽𝑈 ⇒ 𝑆 = 𝑘𝐵 ln Ω ✞ ✝ ☎ ✆ Boltzmann 关系，对 Boson/Fermion 也成立