§23空间直角坐标系典型习题 选择题 1.以棱长为1的正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱AB、AD、AA1所在的直线为坐标轴,建立空 间直角坐标系,则平面AA1B1B对角线交点的坐标为 A.(0,0.5,0.5)B.(0.5,0,0.5)C.(0.5,0.5,0)D.(0.5,0.5,0.5) 2.设点B是点A(2,-3,5)关于xOy面的对称点,则A、B两点距离为() A.10B.√10c.√38D.38 3.如图所示,在空间直角坐标系中,有一棱长为a的正方体 ABCO-AB'CD,AC的中点E 与AB的中点F的距离为() B 4.一束光线自点P(1,1,1)发出,遇到平面xoy被反射,到达点Q(3,3,6)被吸收, 那么光所走的路程是() A.√37B.√47c.√33D.√57 5.点P(x,y,z)满足√(x-1)2+(y-1)2+(x+1)2=2,则点P在 A.以点(1,1,-1)为圆心,以2为半径的圆上 B.以点(1,1,-1)为中心,以2为棱长的正方体上 C.以点(1,1,-1)为球心,以2为半径的球面上 D.无法确定 6.若A、B两点的坐标是A(3cosa,3sin),B(2cos,2sin),则AB的取值范围是() A.[0,5]B.[1,SC.(1,5)D.[1,25 7.在空间直角坐标系中,已知点P(x,y,z),下列叙述中正确的个数是() ①点P关于x轴对称点的坐标是P1(x,-y,z) ②点P关于yOz平面对称点的坐标是P2(x,-y,-z);
§2.3 空间直角坐标系典型习题 一、选择题 1．以棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱 AB、AD、AA1 所在的直线为坐标轴，建立空 间直角坐标系，则平面 AA1B1B 对角线交点的坐标为（ ） A．（0，0.5，0.5）B．（0.5，0，0.5）C．（0.5，0.5，0）D．（0.5，0.5，0.5） 2．设点 B 是点 A（2，-3，5）关于 xOy 面的对称点，则 A、B 两点距离为（ ） A．10 B． 10 C． 38 D．38 3．如图所示，在空间直角坐标系中，有一棱长为 a 的正方体 ABCO-A′B′C′D′，A′C 的中点 E 与 AB 的中点 F 的距离为（ ） A． a 2 B． 2a 2 C．a D． 2a 1 4．一束光线自点 P（1，1，1）发出，遇到平面 xoy 被反射，到达点 Q（3，3，6）被吸收， 那么光所走的路程是（ ） A． 37 B． 47 C． 33 D． 57 5．点 P（x，y，z）满足 2 2 2 (x −1) + ( y −1) + (z +1) =2，则点 P 在（ ） A．以点（1，1，-1）为圆心，以 2 为半径的圆上 B．以点（1，1，-1）为中心，以 2 为棱长的正方体上 C．以点（1，1，-1）为球心，以 2 为半径的球面上 D．无法确定 6．若 A、B 两点的坐标是 A（3cosα，3sinα），B（2cosθ，2sinθ），则|AB|的取值范围是（ ） A．[0，5] B．[1，5] C.（1，5） D．[1，25] 7．在空间直角坐标系中，已知点 P（x，y，z），下列叙述中正确的个数是（ ） ①点 P 关于 x 轴对称点的坐标是 P1（x，﹣y，z）； ②点 P 关于 yOz 平面对称点的坐标是 P2（x，﹣y，﹣z）；
③点P关于y轴对称点的坐标是P3(x,-y,z); ④点P关于原点对称的点的坐标是P4(-x,-y,-z D.0 8.设A(3,3,1)、B(1,0,5)、C(0,1,0),则AB中点M到C点的距离为() 9.点B是点A(1,2,3)在坐标平面yOz内的正投影,则OB等于()B A.√14 B.√13 C.23 D.√11 10.已知ABCD为平行四边形,且A(4,1,3),B(2,-5,1),C(3,7,-5),则点D 的坐标为() A.(3.5,4,-1)B.(2,3,1) C.(-3,1,5)D.(5,13,-3) 已知点A(1,-2,11),B(4,2,3),C(x,y,15)三点共线,那么x,y的值分别 是() A.0.5,4 12.在空间直角坐标系中,一定点到三个坐标轴的距离都是1,则该点到原点的距离是() 6 、填空题(每小题5分,共20分) 13.点P(1,2,3)关于y轴的对称点为P1,P关于坐标平面xOz的对称点为P2,则PP2= 4.已知三角形的三个顶点为A(2,-1,4),B(3,2,-6),C(5,0,2),则BC边上 的中线长为 5.已知x,y,z满足(x-3)2+(y-4)2+z2=2,那么x2+y2+z2的最小值是 16.已知点A(-3,1,4),则点A关于原点的对称点B的坐标为 AB的长 三、解答题(共70分) 17.如图所示,过正方形ABCD的中心O作OP⊥平面ABCD,已知正方形的边长为2, OP=2,连接AP、BP、CP、DP,M、N分别是AB、BC的中点,以O为原点,射线OM、 ON、OP分别为Ox轴、O轴、Oz轴的正方向建立空间直角坐标系.若E、F分别为PA PB的中点,求A、B、C、D、E、F的坐标
③点 P 关于 y 轴对称点的坐标是 P3（x，﹣y，z）； ④点 P 关于原点对称的点的坐标是 P4（﹣x，﹣y，﹣z）． A．3 B．2 C．1 D．0 8．设 A（3,3,1）、B（1,0,5）、C（0,1,0），则 AB 中点 M 到 C 点的距离为（ ） A． B． C． D． 9．点 B 是点 A（1，2，3）在坐标平面 yOz 内的正投影，则|OB|等于（ ）B A． B． C． D． 10．已知 ABCD 为平行四边形，且 A（4，1，3），B（2，﹣5，1），C（3，7，﹣5），则点 D 的坐标为（ ） A．（3.5，4，﹣1） B．（2，3，1） C．（﹣3，1，5） D．（5，13，﹣3） 11．已知点 A（1，﹣2，11），B（4，2，3），C（x，y，15）三点共线，那么 x，y 的值分别 是（ ） A．0.5，4 B．1，8 C．-0.5，﹣4 D．﹣1，﹣8 12．在空间直角坐标系中,一定点到三个坐标轴的距离都是 1,则该点到原点的距离是（ ） A． B． C． D． 二、填空题（每小题 5 分，共 20 分） 13．点 P（1，2，3）关于 y 轴的对称点为 P1，P 关于坐标平面 xOz 的对称点为 P2，则|P1P2|= ____ 14．已知三角形的三个顶点为 A（2，-1，4），B（3，2，-6），C（5，0，2），则 BC 边上 的中线长为 _____________ 15．已知 x，y，z 满足（x-3）2+（y-4）2+z2=2，那么 x 2+y2+z2 的最小值是 ____________ 16. 已知点 A（﹣3，1，4），则点 A 关于原点的对称点 B 的坐标为 ；AB 的长 为 ． 三、解答题（共 70 分） 17．如图所示，过正方形 ABCD 的中心 O 作 OP⊥平面 ABCD，已知正方形的边长为 2， OP=2，连接 AP、BP、CP、DP，M、N 分别是 AB、BC 的中点，以 O 为原点，射线 OM、 ON、OP 分别为 Ox 轴、Oy 轴、Oz 轴的正方向建立空间直角坐标系．若 E、F 分别为 PA、 PB 的中点，求 A、B、C、D、E、F 的坐标．
18.在空间直角坐标系中,解答下列各题:(1)在ⅹ轴上求一点P,使它与点P(4,1,2) 的距离为√30:(2)在xOy平面内的直线x+y=1上确定一点M,使它到点N(6,5,1) 的距离最小 19.已知空间直角坐标系Oxyz中点A(1,1,1),平面a过点A且与直线OA垂直,动 点P(x,y,z)是平面a内的任一点.(1)求点P的坐标满足的条件 (2)求平面a与坐标平面围成的几何体的体积 20.如图,已知正方体ABCD-ABCD的棱长为a,M为BD的中点,点N在AC上,且 AN=3NC,试求MN的长 21.在空间直角坐标系中,已知A(3,0,1)和B(1,0,-3),试问 (1)在y轴上是否存在点M,满足MA=MB? (2)在y轴上是否存在点M,使△MAB为等边三角形?若存在,试求出点M坐标 参考答案: 、选择题 1.以棱长为1的正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱AB、AD、AA1所在的直线为坐标轴,建立空 间直角坐标系,则平面AA1B1B对角线交点的坐标为 A.(0,0.5,0.5)B.(0.5,0,0.5)C.(0.5,0.5,0)D.(0.5,0.5,0.5)
18．在空间直角坐标系中，解答下列各题：（1）在 x 轴上求一点 P，使它与点 P0（4，1，2） 的距离为 30 ；（2）在 xOy 平面内的直线 x+y=1 上确定一点 M，使它到点 N（6，5，1） 的距离最小． 19．已知空间直角坐标系 O-xyz 中点 A（1，1，1），平面 α 过点 A 且与直线 OA 垂直，动 点 P（x，y，z）是平面 α 内的任一点．（1）求点 P 的坐标满足的条件； （2）求平面 α 与坐标平面围成的几何体的体积． 20．如图，已知正方体 ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为 a，M 为 BD′的中点，点 N 在 A′C′上，且 |A′N|=3|NC′|，试求 MN 的长． 21．在空间直角坐标系中，已知 A（3，0，1）和 B（1，0，﹣3），试问 （1）在 y 轴上是否存在点 M，满足|MA|=|MB|？ （2）在 y 轴上是否存在点 M，使△MAB 为等边三角形？若存在，试求出点 M 坐标． 参考答案： 一、选择题 1．以棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱 AB、AD、AA1 所在的直线为坐标轴，建立空 间直角坐标系，则平面 AA1B1B 对角线交点的坐标为（ ） A．（0，0.5，0.5）B．（0.5，0，0.5）C．（0.5，0.5，0）D．（0.5，0.5，0.5）
【解答】x 解:由题意如图,平面AA1B1B对角线交点是 横坐标为AB的中点值,竖坐标为AA1的中点值,纵坐标为0,所以平面AA1B1B对角线交 点的坐标为(0.5,0,0.5).故选 2.设点B是点A(2,-3,5)关于xOy面的对称点,则A、B两点距离为() A.10B.√10C D.38 解答】解:点B是A(2,-3,5)关于xoy平面对称的点,∴B点的横标和纵标与A点相 同,竖标相反,∴B(2,-3,-5)∴AB的长度是5-(-5)=10,故选A 3.如图所示,在空间直角坐标系中,有一棱长为a的正方体ABCO-AB'CD,AC的中点E 与AB的中点F的距离为() B oi... 【解答】解:如图所示,在空间直角坐标系中,有一棱长为a的正方体ABCO-ABCD, ∵A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),A'(a,0,a), AC的中点E与AB的中点F,∴F(a 0),E( aa 222 EF=(a-a)2+(-a)2+(0-9)2=√2 4.一束光线自点P(1,1,1)发出,遇到平面xoy被反射,到达点Q(3,3,6)被吸收, 那么光所走的路程是 A.√37B.√47C.√33 解答】解:点P(1,1,1)平面xoy的对称点的M坐标(1,1,-1),一束光线自点P (1,1,1)发出,遇到平面xoy被反射,到达点Q(3,3,6)被吸收, 那么光所走的路程是:√(3-1)2+(3-1)2+(6+12=√57.故选
【解答】 解：由题意如图，平面 AA1B1B 对角线交点是 横坐标为 AB 的中点值，竖坐标为 AA1 的中点值，纵坐标为 0，所以平面 AA1B1B 对角线交 点的坐标为（0.5，0，0.5）．故选 B． 2．设点 B 是点 A（2，-3，5）关于 xOy 面的对称点，则 A、B 两点距离为（ ） A．10 B． 10 C． 38 D．38 【解答】解：点 B 是 A（2，-3，5）关于 xoy 平面对称的点，∴B 点的横标和纵标与 A 点相 同，竖标相反，∴B（2，-3，-5）∴AB 的长度是 5-（-5）=10，故选 A． 3．如图所示，在空间直角坐标系中，有一棱长为 a 的正方体 ABCO-A′B′C′D′，A′C 的中点 E 与 AB 的中点 F 的距离为（ ） A． a 2 B． 2a 2 C．a D． 2a 1 【解答】解：如图所示，在空间直角坐标系中，有一棱长为 a 的正方体 ABCO-A′B′C′D′， ∵A（a，0，0），B（a，a，0），C（0，a，0），A′（a，0，a）， A′C 的中点 E 与 AB 的中点 F，∴F（a， 2 a ，0），E（ 2 a ， 2 a ， 2 a ）， |EF|= 2 2 2 ) (0 ) 2 ( ) ( a a a a a a a − + − + − = 2 2 a． 4．一束光线自点 P（1，1，1）发出，遇到平面 xoy 被反射，到达点 Q（3，3，6）被吸收， 那么光所走的路程是（ ） A． 37 B． 47 C． 33 D． 57 【解答】解：点 P（1，1，1）平面 xoy 的对称点的 M 坐标（1，1，-1），一束光线自点 P （1，1，1）发出，遇到平面 xoy 被反射，到达点 Q（3，3，6）被吸收， 那么光所走的路程是： 2 2 2 (3 −1) + (3 −1) + (6 +1) = 57 ．故选 D．
5.点P(x,y,z)满足√(x-1)2+(y-1)2+(x2+1)2=2,则点P在 A.以点(1,1,-1)为圆心,以2为半径的圆上 B.以点(1,1,-1)为中心,以2为棱长的正方体上 C.以点(1,1,-1)为球心,以2为半径的球面上 D.无法确定 解答】解:式子x-1y2+(,-1)2+(=+1y==2的几何意义 是动点P(x,y,z)到定点(1,1,-1)的距离为2的点的集合.故选C 6.若A、B两点的坐标是A(3cosa,3sina),B(2cos),2sin0),则AB的取值范围是() [1,5]C.(1,5)D.[1,25 【解答】解:由题意可得AB= (3cos ce-2 cos B)-+(3sin c-2 sin B) =√⑨+4-12 coS a cos p+ sin a sin B=√13-12cos(a 1scos(aB)sl,∴ls1312cos(a-B)s25,∴1s√3-12cos(a-B≤5,故选B 7.在空间直角坐标系中,已知点P(x,y,z),下列叙述中正确的个数是()C ①点P关于x轴对称点的坐标是P1(x,-y,z); ②点P关于yOz平面对称点的坐标是P2(x,-y,-z); ③点P关于y轴对称点的坐标是P3(x,-y,z) ④点P关于原点对称的点的坐标是P4(-x,-y,-z). A.3 B.2 8.设A(3,3,1)、B(1,0,.5)、C(0,1,0),则AB中点M到C点的距离为()C 2 9.点B是点A(1,2,3)在坐标平面yOz内的正投影,则OB等于()B A.√14 3 10.已知ABCD为平行四边形,且A(4,1,3),B(2,-5,1),C(3,7,-5),则点D 的坐标为()D A.(3.5,4,-1)B.(2,3,1) C.(-3,1,5)D.(5,13,-3) 1l.已知点A(1,-2,11),B(4,2,3),C(x,y,15)三点共线,那么ⅹ,y的值分别 是()C A.0.5,4 B.1,8 C.-0.5,-4 D.-1,-8 12.在空间直角坐标系中,一定点到三个坐标轴的距离都是1,则该点到原点的距离是(A) A.√6 、填空题(每小题5分,共20分) 13.点P(1,2,3)关于y轴的对称点为P,P关于坐标平面xOz的对称点为P2,则PP2=
5．点 P（x，y，z）满足 2 2 2 (x −1) + ( y −1) + (z +1) =2，则点 P 在（ ） A．以点（1，1，-1）为圆心，以 2 为半径的圆上 B．以点（1，1，-1）为中心，以 2 为棱长的正方体上 C．以点（1，1，-1）为球心，以 2 为半径的球面上 D．无法确定 【解答】解：式子 2 2 2 (x −1) + (y −1) + (z +1) =2 的几何意义 是动点 P（x，y，z）到定点（1，1，-1）的距离为 2 的点的集合．故选 C． 6．若 A、B 两点的坐标是 A（3cosα，3sinα），B（2cosθ，2sinθ），则|AB|的取值范围是（ ） A．[0，5] B．[1，5] C.（1，5） D．[1，25] 【解答】解：由题意可得|AB|= 2 2 (3cos − 2cos ) + (3sin − 2sin ) = 9 + 4 −12cos cos + sin sin = 13−12cos( − ) ． ∵-1≤cos（α-β）≤1，∴1≤13-12cos（α-β）≤25，∴1≤ 13−12cos( − ) ≤5，故选 B． 7．在空间直角坐标系中，已知点 P（x，y，z），下列叙述中正确的个数是（ ）C ①点 P 关于 x 轴对称点的坐标是 P1（x，﹣y，z）； ②点 P 关于 yOz 平面对称点的坐标是 P2（x，﹣y，﹣z）； ③点 P 关于 y 轴对称点的坐标是 P3（x，﹣y，z）； ④点 P 关于原点对称的点的坐标是 P4（﹣x，﹣y，﹣z）． A．3 B．2 C．1 D．0 8．设 A（3,3,1）、B（1,0,5）、C（0,1,0），则 AB 中点 M 到 C 点的距离为（ ）C A． B． C． D． 9．点 B 是点 A（1，2，3）在坐标平面 yOz 内的正投影，则|OB|等于（ ）B A． B． C． D． 10．已知 ABCD 为平行四边形，且 A（4，1，3），B（2，﹣5，1），C（3，7，﹣5），则点 D 的坐标为（ ）D A．（3.5，4，﹣1） B．（2，3，1） C．（﹣3，1，5） D．（5，13，﹣3） 11．已知点 A（1，﹣2，11），B（4，2，3），C（x，y，15）三点共线，那么 x，y 的值分别 是（ ）C A．0.5，4 B．1，8 C．-0.5，﹣4 D．﹣1，﹣8 12．在空间直角坐标系中,一定点到三个坐标轴的距离都是 1,则该点到原点的距离是（ A） A． B． C． D． 二、填空题（每小题 5 分，共 20 分） 13．点 P（1，2，3）关于 y 轴的对称点为 P1，P 关于坐标平面 xOz 的对称点为 P2，则|P1P2|= ____2 14