空间直角坐标系习题(含答案 单选题 1.已知A(1,02),B(1,-3,1),点M在z轴上且到A、B两点的距离相等,则M点 坐标为( A.(-3,0,0)B.(0-3.0)c.(0.0.-3) 0. 2.已知空间直角坐标系中点P(1,2,3),现在z轴上取一点Q,使得|PQ最小,则Q 点的坐标为() (0,0,2)C.(0,0,3) 3.如图,正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直,AB=2,AF=1,M在EF上,且AM 平面BDE.则点M的坐标为() 4.在四棱锥P-ABCD中底面ABCD是平行四边形AB=(2,-1,-4),AD=(4,2,0),P (-1,2,-1),则PA与底面ABCD的关系是() A.相交 垂直C.不垂直D.成60°角 5.已知AB=(1,-10),C(01-2),若CD=2AB,则点D的坐标为 (-2,1,2) 6.以A(13),B(-5,1)为端点的线段的垂直平分线的方程是 A.3x-y-8=0B.3x+y+4=0 C.3x-y+6=0 3x+y-2=0 7.已知A(1,2)、B(-1,4)、C(5,2),则△ABC的边AB上的中线所在的直线 方程为() 8.下列命题中错误的是() 试卷第 总4页
试卷第 1 页，总 4 页 空间直角坐标系 习题（含答案） 一、单选题 1．已知 A(1,0,2) ， B(1, 3,1 − ) ，点 M 在 z 轴上且到 A 、B 两点的距离相等，则 M 点 坐标为（ ）． A． (−3,0,0) B． (0, 3,0 − ) C． (0,0, 3− ) D． (0,0,3) 2．已知空间直角坐标系中点 P(1，2，3)，现在 轴上取一点 Q，使得|𝑃𝑄|最小，则 Q 点的坐标为( ). A． (0，0，1) B． (0，0，2) C． (0，0，3) D． (0，1，0) 3．如图,正方形 ABCD 与矩形 ACEF 所在平面互相垂直,AB=√2,AF=1,M 在 EF 上,且 AM∥ 平面 BDE.则点 M 的坐标为( ) A． (1,1,1) B． ( √2 3 , √2 3 ,1) C． ( √2 2 , √2 2 ,1) D． ( √2 4 , √2 4 ,1) 4．在四棱锥P - ABCD中,底面ABCD是平行四边形,𝐴𝐵⃗⃗⃗ = (2, −1, −4),𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ = (4,2,0),𝐴𝑃⃗⃗⃗ = (−1,2, −1),则𝑃𝐴与底面𝐴𝐵𝐶𝐷的关系是( ) A． 相交 B． 垂直 C． 不垂直 D． 成 60°角 5．已知 AB = − (1, 1,0) ， C(0,1, 2− ) ，若 CD AB = 2 ，则点 D 的坐标为（ ） A． (− − 2,3, 2) B． (2, 3,2 − ) C． (−2,1,2) D． (2, 1, 2 − − ) 6．以𝐴(1,3),𝐵(−5,1)为端点的线段的垂直平分线的方程是 A． 3𝑥 − 𝑦 − 8 = 0 B． 3𝑥 + 𝑦 + 4 = 0 C． 3𝑥 − 𝑦 + 6 = 0 D． 3𝑥 + 𝑦 − 2 = 0 7．已知 A（1，2）、B（-1，4）、C（5，2），则 ΔABC 的边 AB 上的中线所在的直线 方程为（ ） A． x+5y-15=0 B． x=3 C． x-y+1=0 D． y-3=0 8．下列命题中错误的是 ( )
A.在空间直角坐标系中,在x轴上的点的坐标一定是(0,b,c) B.在空间直角坐标系中,在yOz平面上的点的坐标一定是(0,b,c) C.在空间直角坐标系中,在z轴上的点的坐标可记作(0,0,c) D.在空间直角坐标系中,在xOz平面上的点的坐标是(a0,c) 9.已知点A(4,1,3),B(2,一5,1),C为线段AB上一点 2,则点C的坐标为( 、填空题 10.已知点(4,m)到直线x+y-4=0的距离等于1,则m的值为 1.已知圆C(x-1)3+(y-5)=1和两点(m)(-m)m>0),若圆C上 存在点P,使得∠APB=90°,则实数m的取值范围为 12.设向量a=(2,2m-3n+2),b=(4,2m+1,3n-2),且a‖b,则a·b的值为 13.已知点A(-2,3,4),在z轴上求一点B,使AB=7,则点B的坐标为 14棱长为2个单位的正方体ABCD-ABC1D,中,以D为坐标原点,以DA,DC, DD,分别为x,y,z坐标轴,则BC与BC1的交点E的坐标为 15.在空间直角坐标系中设A(m,1,3)B(1,-1,1)且AB=22,则m= 16.已知正方体ABCD-ABC1D的棱长为a,AM=MC1,点N为BB的中点, 则M= 17.在空间直角坐标系O-xz中,点P(2,3)关于平面xoy的对称点坐标为 18.设4(33,1),B(0.5,C(0.10),则AB中点M到C的距离CM= 解答题 19.如图,在平面直角坐标系xo中,圆0:x2+y2=4与x轴的正半轴交于点A,以点A 为圆心的圆A:(x-2)2+y2=r2(r>0)与圆0交于B,C两点 (1)当r=√时,求BC的长 (2)当r变化时,求AB·AC的最小值 试卷第2页,总4页
试卷第 2 页，总 4 页 A． 在空间直角坐标系中，在 x 轴上的点的坐标一定是(0，b，c) B． 在空间直角坐标系中，在 yOz 平面上的点的坐标一定是(0，b，c) C． 在空间直角坐标系中，在 z 轴上的点的坐标可记作(0,0，c) D． 在空间直角坐标系中，在 xOz 平面上的点的坐标是(a,0，c) 9．已知点 A(4,1,3)，B(2，－5,1)，C 为线段 AB 上一点且|𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ | |𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ | = 1 3，则点 C 的坐标为( ) A． ( 7 2 , − 1 2 , 5 2 ) B． ( 3 8 , −3,2) C． ( 10 3 , −1, 7 3 ) D． ( 5 2 , − 7 2 , 3 2 ) 二、填空题 10．已知点（4，m）到直线 x+y-4=0 的距离等于 1，则 m 的值为 ． 11．已知圆 ( ) ( ) 2 2 C x y : 1 3 1 − + − = 和两点 A m B m m (0, , 0, ( 0) ) ( − ) ，若圆 C 上 存在点 P ，使得 = APB 90 ，则实数 m 的取值范围为__________． 12．设向量𝑎 = (2,2𝑚 − 3,𝑛 + 2)，𝑏 = (4,2𝑚 + 1,3𝑛 − 2)，且𝑎 ∥ 𝑏，则𝑎 ⋅ 𝑏的值为 _____________． 13．已知点 A(-2, 3, 4), 在 z 轴上求一点 B , 使|AB|=7 , 则点 B 的坐标为________． 14．棱长为 2 个单位的正方体 ABCD A B C D − 1 1 1 1 ，中，以 D 为坐标原点，以 DA ， DC ， DD1 ，分别为 x ， y ， z 坐标轴，则 BC1 与 BC1 的交点 E 的坐标为__________． 15．在空间直角坐标系中,设 A(m,1,3),B(1,-1,1),且|𝐴𝐵| = 2√2,则 m=________. 16．已知正方体 ABCD A B C D − 1 1 1 1 的棱长为 a ， 1 1 2 AM MC = ，点 N 为 BB1 的中点， 则 MN =__________． 17．在空间直角坐标系 O xyz − 中，点 P(2,1,3) 关于平面 xOy 的对称点坐标为 __________． 18．设 A B C (3,3,1 , 1,0,5 , 0,1,0 ) ( ) ( ) ，则 AB 中点 M 到 C 的距离 CM = _______. 三、解答题 19．如图，在平面直角坐标系xOy中，圆O：𝑥 2 + 𝑦 2 = 4与𝑥轴的正半轴交于点𝐴，以点𝐴 为圆心的圆𝐴：(𝑥 − 2) 2 + 𝑦 2 = 𝑟 2(𝑟 > 0)与圆𝑂交于𝐵，𝐶两点. （1）当𝑟 = √2时，求𝐵𝐶的长； （2）当𝑟变化时，求𝐴𝐵⃗⃗⃗ · 𝐴𝐶⃗⃗ 的最小值；
(3)过点P(6,0)的直线l与圆A切于点D,与圆0分别交于点E,F,若点E是DF的中点 试求直线l的方程. 20.已知△ABC的顶点A(0,5)B(1,-2)C(-3,-4) (1)若D为BC的中点,求线段AD的长 (2)求AB边上的高所在的直线方程 21.直线过点P(14),且分别交x轴的正半轴和y轴的正半轴于A,B两点,O为坐标原点 ①当|OA|+|OB最小时,求的方程 ②若|PA|·|PB最小,求l的方程 22在平面直角坐标系xOy中,已知△BC的顶点A(51),B(1,5) (1)若A为△ABC的直角顶点,且顶点C在y轴上,求BC边所在直线方程; (2)若等腰△ABC的底边为BC,且C为直线l:y=2x+3上一点,求点C的坐标 23.求函数y=√x2-8x+20+√x2+1的最小值 24.如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截面而得到的,其中 AB=4,BC=2,CC1=3,BE=1 (1)求BF的长; (2)求点C到平面AEC1F的距离 25.如图,在底面为平行四边形的四棱锥 O-ABCD中BC⊥平面OABE为OB中 点OA=AD=2AB=2,OB=√5 试卷第3页,总4页
试卷第 3 页，总 4 页 （3）过点𝑃(6,0)的直线𝑙与圆 A 切于点𝐷，与圆𝑂分别交于点𝐸，𝐹，若点𝐸是𝐷𝐹的中点， 试求直线𝑙的方程. 20．已知𝛥𝐴𝐵𝐶的顶点𝐴(0,5),𝐵(1, −2),𝐶(−3, −4)． （1）若𝐷为𝐵𝐶的中点，求线段𝐴𝐷的长． （2）求𝐴𝐵边上的高所在的直线方程． 21．直线𝑙过点𝑃(1,4)，且分别交𝑥轴的正半轴和𝑦轴的正半轴于𝐴,𝐵两点，𝑂为坐标原点. ①当|𝑂𝐴| + |𝑂𝐵|最小时，求𝑙的方程； ②若|𝑃𝐴| ⋅ |𝑃𝐵|最小，求𝑙的方程. 22．在平面直角坐标系 xOy 中，已知 ABC 的顶点 A B (5,1 , 1,5 ) ( ). （1）若 A 为 ABC 的直角顶点，且顶点 C 在 y 轴上，求 BC 边所在直线方程； （2）若等腰 ABC 的底边为 BC ，且 C 为直线 l y x : 2 3 = + 上一点，求点 C 的坐标. 23．求函数𝑦 = √𝑥 2 − 8𝑥 + 20 + √𝑥 2 + 1的最小值． 24．如图所示的多面体是由底面为𝐴𝐵𝐶𝐷的长方体被截面𝐴𝐸𝐶1𝐹所截面而得到的，其中 𝐴𝐵 = 4,𝐵𝐶 = 2, 𝐶𝐶1 = 3,𝐵𝐸 = 1 （1）求𝐵𝐹的长； （2）求点𝐶到平面𝐴𝐸𝐶1𝐹的距离. 25．如图, 在底面为平行四边形的四棱锥 O-ABCD 中,BC⊥平面 OAB,E 为 OB 中 点,OA=AD=2AB=2,OB=√5
(1)求证:平面OAD⊥平面ABCD (2)求二面角BACE的余弦值 x= 2cos0 26.已知曲线C:{ (b为参数)和曲线l:{ 2t+2 (t为参数)相交 y=√3sin0 于两点A,B,求两点A,B的距离 27.已知A(7,8),B(10,4),C(2,-4)三点,求AABC的面积 试卷第4页,总4页
试卷第 4 页，总 4 页 (1)求证:平面 OAD⊥平面 ABCD; (2)求二面角 B-AC-E 的余弦值. 26．已知曲线 2 :{ 3 x cos C y sin = = （ 为参数）和曲线 2 2 :{ 3 x t l y t = − + = （ t 为参数）相交 于两点 A B, ，求两点 A B, 的距离. 27．已知 A（7，8），B（10，4），C（2，-4）三点，求𝛥𝐴𝐵𝐶的面积
参考谷案 1.C 【解析】设点M(,0,=),则 A(.0.2),B(1-3,1),点M到A、B两点的距离相等, +0+(=-23=+9+(=-1), ∴M点坐标为(00,-3) 本题选择C选项. 2.C 【解析】 【分析】 由题意设〓轴上一点的坐标,由空间中两点间的距离公式可表示出两点间的距离,由函数的 性质即可求出两点间的最短距离,并求出此时点Q的坐标 【详解】 设z轴上任意一点Q的坐标为(0,0c), 由空间中两点间的距离公式可得:|PQ|=√12+22+(3-c) 当c=3时取得最小值 故选C 【点睛】 本题考査空间中两点间的距离,掌握空间内两点间的距离公式,会根据解析式求最值,注意 计算的准确性 【解析】 【分析】 先根据线面平行的性质和中位线定理说明M为EF的中点,再根据中点坐标公式求M的坐 标 【详解】 设BD∩AC=O,连接EO, 因为AM平面BDE,所以有EO‖AM, 答案第1页,总13页
答案第 1 页，总 13 页 参考答案 1．C 【解析】设点 M z (0,0, ) ，则 ∵ A(1,0,2)， B(1, 3,1 − ) ，点 M 到 A 、 B 两点的距离相等， ∴ ( ) ( ) 2 2 1 0 2 1 9 1 + + − = + + − z z ， ∴ z =−3， ∴ M 点坐标为 (0,0, 3− )． 本题选择 C 选项. 2．C 【解析】 【分析】 由题意设 z 轴上一点的坐标，由空间中两点间的距离公式可表示出两点间的距离，由函数的 性质即可求出两点间的最短距离，并求出此时点 Q 的坐标. 【详解】 设 z 轴上任意一点 Q 的坐标为(0,0,𝑐)， 由空间中两点间的距离公式可得：|𝑃𝑄| = √1 2 + 2 2 + (3 − 𝑐) 2， 当𝑐 = 3时取得最小值. 故选 C. 【点睛】 本题考查空间中两点间的距离，掌握空间内两点间的距离公式，会根据解析式求最值，注意 计算的准确性. 3．C 【解析】 【分析】 先根据线面平行的性质和中位线定理说明 M 为 EF 的中点，再根据中点坐标公式求 M 的坐 标。 【详解】 设𝐵𝐷 ∩ 𝐴𝐶 = 𝑂，连接 EO， 因为 AM∥平面 BDE，所以有𝐸𝑂 ∥ 𝐴𝑀