§4.3空间直角坐标系 §4.3.1空间直角坐标系 、教材分析 学生已经对立体几何以及平面直角坐标系的相关知识有了较为全面的认识, 学习《空间直角坐标系》有了一定的基础.这对于本节内容的学习是很有帮助的 但部分同学仍然会在空间思维与数形结合方面存在困惑 本节课的内容是非常抽象的,试图通过教师的讲解而让学生听懂、记住、会 用是徒劳的,必须突出学生的主体地位,通过学生的自主学习与和同学的合作探 究,让学生亲手实践,这样学生才能获得感性认识,从而为后续的学习并上升到 理性认识奠定基础.通过激发学生学习的求知欲望,使学生主动参与教学实践活 动.创设学习情境,营造氛围,精心设计问题,让学生在整个学习过程中经常有自 我展示的机会,并有经常性的成功体验,增强学生的学习信心,从学生已有的知 识和生活经验出发,让学生经历知识的形成过程.通过阅读教材,并结合空间坐 标系模型,模仿例题,解决实际问题. 教学目标 1.知识与技能 (1)使学生深刻感受到空间直角坐标系的建立的背景 (2)使学生理解掌握空间中点的坐标表示 2.过程与方法 建立空间直角坐标系的方法与空间点的坐标表示 3.情态与价值观 通过数轴与数、平面直角坐标系与一对有序实数,引申出建立空间直角坐
§4.3 空间直角坐标系 §4.3.1 空间直角坐标系 一、教材分析 学生已经对立体几何以及平面直角坐标系的相关知识有了较为全面的认识, 学习《空间直角坐标系》有了一定的基础.这对于本节内容的学习是很有帮助的. 但部分同学仍然会在空间思维与数形结合方面存在困惑. 本节课的内容是非常抽象的,试图通过教师的讲解而让学生听懂、记住、会 用是徒劳的,必须突出学生的主体地位,通过学生的自主学习与和同学的合作探 究,让学生亲手实践,这样学生才能获得感性认识,从而为后续的学习并上升到 理性认识奠定基础.通过激发学生学习的求知欲望,使学生主动参与教学实践活 动.创设学习情境,营造氛围,精心设计问题,让学生在整个学习过程中经常有自 我展示的机会,并有经常性的成功体验,增强学生的学习信心,从学生已有的知 识和生活经验出发,让学生经历知识的形成过程.通过阅读教材,并结合空间坐 标系模型,模仿例题,解决实际问题. 二、教学目标 1.知识与技能 (1)使学生深刻感受到空间直角坐标系的建立的背景 (2)使学生理解掌握空间中点的坐标表示 2.过程与方法 建立空间直角坐标系的方法与空间点的坐标表示 3.情态与价值观 通过数轴与数、平面直角坐标系与一对有序实数,引申出建立空间直角坐
标系的必要性,培养学生类比和数列结合的思想 三、教学重点与难点 教学重点:在空间直角坐标系中确定点的坐标 教学难点:通过建立适当的直角坐标系确定空间点的坐标,以及相关应用 四、课时安排 1课时 五、教学设计 (一)导入新课 思路1.大家先来思考这样一个问题,天上的飞机的速度非常的快,即使民航 飞机速度也非常快,有很多飞机时速都在1000km以上,而全世界又这么多,这 些飞机在空中风驰电掣,速度是如此的快,岂不是很容易撞机吗?但事实上,飞 机的失事率是极低的,比火车,汽车要低得多,原因是,飞机都是沿着国际统一划 定的航线飞行,而在划定某条航线时,不仅要指出航线在地面上的经度和纬度, 还要指岀航线距离地面的高度.为此我们学习空间直角坐标系,教师板书课题: 空间直角坐标系 思路2.我们知道数轴上的任意一点M都可用对应一个实数x表示,建立了平 面直角坐标系后,平面上任意一点M都可用对应一对有序实数(x,y)表示.那么假 设我们建立一个空间直角坐标系时,空间中的任意一点是否可用对应的有序实 数组(x,y,z)表示出来呢?为此我们学习空间直角坐标系,教师板书课题:空间 直角坐标系 (二)推进新课、新知探究、提出问题 ①在初中,我们学过数轴,那么什么是数轴?决定数轴的因素有哪些?数轴上
标系的必要性,培养学生类比和数列结合的思想. 三、教学重点与难点 教学重点:在空间直角坐标系中确定点的坐标. 教学难点:通过建立适当的直角坐标系确定空间点的坐标,以及相关应用. 四、课时安排 1 课时 五、教学设计 (一)导入新课 思路 1.大家先来思考这样一个问题,天上的飞机的速度非常的快,即使民航 飞机速度也非常快,有很多飞机时速都在 1 000 km 以上,而全世界又这么多,这 些飞机在空中风驰电掣,速度是如此的快,岂不是很容易撞机吗?但事实上,飞 机的失事率是极低的,比火车,汽车要低得多,原因是,飞机都是沿着国际统一划 定的航线飞行,而在划定某条航线时,不仅要指出航线在地面上的经度和纬度, 还要指出航线距离地面的高度.为此我们学习空间直角坐标系,教师板书课题: 空间直角坐标系. 思路2.我们知道数轴上的任意一点M 都可用对应一个实数x 表示,建立了平 面直角坐标系后,平面上任意一点M 都可用对应一对有序实数(x,y)表示.那么假 设我们建立一个空间直角坐标系时,空间中的任意一点是否可用对应的有序实 数组(x,y,z)表示出来呢?为此我们学习空间直角坐标系,教师板书课题:空间 直角坐标系. (二)推进新课、新知探究、提出问题 ①在初中,我们学过数轴,那么什么是数轴?决定数轴的因素有哪些?数轴上
的点怎样表示? ②在初中,我们学过平面直角坐标系,那么如何建立平面直角坐标系?决定 平面直角坐标系的因素有哪些?平面直角坐标系上的点怎样表示? ③在空间,我们是否可以建立一个坐标系,使空间中的任意一点都可用对应 的有序实数组表示出来呢 ④观察图1,体会空间直角坐标系该如何建立 ⑤观察图2,建立了空间直角坐标系以后,空间中任意一点M如何用坐标表示 呢? 讨论结果:①在初中,我们学过数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直 线.决定数轴的因素有原点、正方向和单位长度.这是数轴的三要素.数轴上的点 可用与这个点对应的实数x来表示 ②在初中,我们学过平面直角坐标系,平面直角坐标系是以一点为原点0,过 原点0分别作两条互相垂直的数轴0x和0y,xOy称平面直角坐标系,平面直角坐 标系具有以下特征:两条数轴:①互相垂直;②原点重合;③通常取向右、向上 为正方向;④单位长度一般取相同的.平面直角坐标系上的点用它对应的横、纵 坐标表示,括号里横坐标写在纵坐标的前面,它们是一对有序实数(x,y). ③在空间,我们也可以类比平面直角坐标系建立一个坐标系,即空间直角坐 标系,空间中的任意一点也可用对应的有序实数组表示出来 ④观察图2,OABC-D′A′B′C′是单位正方体,我们类比平面直角坐标系 的建立来建立一个坐标系即空间直角坐标系,以0为原点,分别以射线 0A,OC,OD′的方向为正方向,以线段OA,OC,OD′的长为单位长度,建立三条数轴 0x,0y,Oz称为x轴、y轴和z轴,这时我们说建立了一个空间直角坐标系0xyz, 其中0叫坐标原点,x轴、y轴和z轴叫坐标轴.如果我们把通过每两个坐标轴的
的点怎样表示? ②在初中,我们学过平面直角坐标系,那么如何建立平面直角坐标系?决定 平面直角坐标系的因素有哪些?平面直角坐标系上的点怎样表示? ③在空间,我们是否可以建立一个坐标系,使空间中的任意一点都可用对应 的有序实数组表示出来呢? ④观察图 1,体会空间直角坐标系该如何建立. ⑤观察图2,建立了空间直角坐标系以后,空间中任意一点M如何用坐标表示 呢? 讨论结果:①在初中,我们学过数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直 线.决定数轴的因素有原点、正方向和单位长度.这是数轴的三要素.数轴上的点 可用与这个点对应的实数 x 来表示. ②在初中,我们学过平面直角坐标系,平面直角坐标系是以一点为原点 O,过 原点 O 分别作两条互相垂直的数轴Ox 和 Oy,xOy 称平面直角坐标系,平面直角坐 标系具有以下特征:两条数轴:①互相垂直;②原点重合;③通常取向右、向上 为正方向;④单位长度一般取相同的.平面直角坐标系上的点用它对应的横、纵 坐标表示,括号里横坐标写在纵坐标的前面,它们是一对有序实数(x,y). ③在空间,我们也可以类比平面直角坐标系建立一个坐标系,即空间直角坐 标系,空间中的任意一点也可用对应的有序实数组表示出来. ④观察图 2,OABC—D′A′B′C′是单位正方体,我们类比平面直角坐标系 的建立来建立一个坐标系即空间直角坐标系,以 O 为原点,分别以射线 OA,OC,OD′的方向为正方向,以线段 OA,OC,OD′的长为单位长度,建立三条数轴 Ox,Oy,Oz 称为x 轴、y 轴和z 轴,这时我们说建立了一个空间直角坐标系 O—xyz, 其中 O 叫坐标原点,x 轴、y 轴和 z 轴叫坐标轴.如果我们把通过每两个坐标轴的
平面叫做坐标平面,我们又得到三个坐标平面x0y平面,y0z平面,z0x平面 由此我们知道,确定空间直角坐标系必须有三个要素,即原点、坐标轴方向 单位长 y 图1 图1表示的空间直角坐标系也可以用右手来确定.用右手握住z轴,当右手 的四个手指从x轴正向以90°的角度转向y轴的正向时,大拇指的指向就是z轴 的正向.我们称这种坐标系为右手直角坐标系.如无特别说明,我们课本上建立 的坐标系都是右手直角坐标系 注意:在平面上画空间直角坐标系0—xyz时,一般使 ∠xOy=135°,∠xOy=90°.即用斜二测画法画立体图,这里显然要注意在y轴和z 轴上的都取原来的长度,而在x轴上的长度取原来长度的一半.同学们往往把在x 轴上的长度取原来的长度,这就不符和斜二测画法的约定,直观性差 ⑤观察图2,建立了空间直角坐标系以后,空间中任意一点M就可以用坐标来 表示了 已知M为空间一点.过点M作三个平面分别垂直于x轴、y轴和z轴,它们与 x轴、y轴和z轴的交点分别为P、Q、R,这三点在x轴、y轴和z轴上的坐标分 别为x,y,z.于是空间的一点M就唯一确定了一个有序数组x,y,z.这组数x,y,z 就叫做点M的坐标,并依次称x,y,z为点M的横坐标.纵坐标和竖坐标.坐标为 x,y,z的点M通常记为M(x,y,z)
平面叫做坐标平面,我们又得到三个坐标平面 xOy 平面,yOz 平面,zOx 平面. 由此我们知道,确定空间直角坐标系必须有三个要素,即原点、坐标轴方向、 单位长. 图 1 图 1 表示的空间直角坐标系也可以用右手来确定.用右手握住 z 轴,当右手 的四个手指从x 轴正向以 90°的角度转向y 轴的正向时,大拇指的指向就是z 轴 的正向.我们称这种坐标系为右手直角坐标系.如无特别说明,我们课本上建立 的坐标系都是右手直角坐标系. 注 意 : 在 平 面 上 画 空 间 直 角 坐 标 系 O—xyz 时 , 一 般 使 ∠xOy=135°,∠xOy=90°.即用斜二测画法画立体图,这里显然要注意在y轴和z 轴上的都取原来的长度,而在x 轴上的长度取原来长度的一半.同学们往往把在x 轴上的长度取原来的长度,这就不符和斜二测画法的约定,直观性差. ⑤观察图2,建立了空间直角坐标系以后,空间中任意一点M 就可以用坐标来 表示了. 已知 M 为空间一点.过点 M 作三个平面分别垂直于 x 轴、y 轴和 z 轴,它们与 x 轴、y 轴和 z 轴的交点分别为 P、Q、R,这三点在 x 轴、y 轴和 z 轴上的坐标分 别为 x,y,z.于是空间的一点 M 就唯一确定了一个有序数组 x,y,z.这组数 x,y,z 就叫做点 M 的坐标,并依次称 x,y,z 为点 M 的横坐标.纵坐标和竖坐标.坐标为 x,y,z 的点 M 通常记为 M(x,y,z)
0 图2 反过来,一个有序数组x,y,z,我们在x轴上取坐标为x的点P,在y轴上取 坐标为y的点Q,在z轴上取坐标为z的点R,然后通过P、Q与R分别作x轴、y 轴和z轴的垂直平面.这三个垂直平面的交点M即为以有序数组x,y,z为坐标的 点.数x,y,z就叫做点M的坐标,并依次称x,y和z为点M的横坐标、纵坐标和 竖坐标.(如图2所示) 坐标为x,y,z的点M通常记为M(x,y,z).我们通过这样的方法在空间直角坐 标系内建立了空间的点M和有序数组x,y,Z之间的一一对应关系 注意:坐标面上和坐标轴上的点,其坐标各有一定的特征 如果点M在y0z平面上,则x=0;同样,z0x面上的点,y=0;x0y面上的点,z=0; 如果点M在x轴上,则y=z=0;如果点M在y轴上,则x=z=0;如果点M在z轴上, 则x=y=0;如果M是原点,则x=y=z=0 空间点的位置可以由空间直角坐标系中的三个坐标唯一确定,因此,常称我 们生活的空间为“三度空间或三维空间”.事实上,我们的生活空间应该是四度 空间,应加上时间变量t.即(x,y,z,t),它表示在时刻t所处的空间位置是 (三)应用示例 思路1 例1如图3,长方体OABC—D′A′B′C′中,|OA|=3,|0C|=4,|OD′|=2,写出
图 2 反过来,一个有序数组 x,y,z,我们在 x 轴上取坐标为 x 的点 P,在 y 轴上取 坐标为 y 的点 Q,在 z 轴上取坐标为 z 的点 R,然后通过 P、Q 与 R 分别作 x 轴、y 轴和 z 轴的垂直平面.这三个垂直平面的交点 M 即为以有序数组x,y,z 为坐标的 点.数 x,y,z 就叫做点 M 的坐标,并依次称 x,y 和 z 为点 M 的横坐标、纵坐标和 竖坐标.(如图 2 所示) 坐标为x,y,z 的点M通常记为M(x,y,z).我们通过这样的方法在空间直角坐 标系内建立了空间的点 M 和有序数组 x,y,z 之间的一一对应关系. 注意:坐标面上和坐标轴上的点,其坐标各有一定的特征. 如果点M 在yOz 平面上,则 x=0;同样,zOx 面上的点,y=0;xOy 面上的点,z=0; 如果点 M 在 x 轴上,则 y=z=0;如果点 M 在 y 轴上,则 x=z=0;如果点 M 在 z 轴上, 则 x=y=0;如果 M 是原点,则 x=y=z=0. 空间点的位置可以由空间直角坐标系中的三个坐标唯一确定,因此,常称我 们生活的空间为“三度空间或三维空间”.事实上,我们的生活空间应该是四度 空间,应加上时间变量 t.即(x,y,z,t),它表示在时刻 t 所处的空间位置是 (x,y,z). (三)应用示例 思路 1 例 1 如图 3,长方体 OABC—D′A′B′C′中,|OA|=3,|OC|=4,|OD′|=2,写出