人教版新课标普通高中⊙敖学2必修(A版) 4.3空间直角坐标系 教案A 教学目标 、知识与技能 1.理解空间直角坐标系的建立,掌握空间中点的坐标表示: 2.掌握空间两点间的距离公式 二、过程与方法 建立空间直角坐标系的方法与空间点的坐标表示 2.经历由平面上两点间距离公式推导出空间中两点间的距离公式的过程. 三、情感、态度与价值观 1.通过数轴与数、平面直角坐标系与一对有序实数,引申出建立空间直角坐标系 的必要性,体会类比和数形结合的思想 2.通过空间两点间距离公式的推导,经历从易到难,从特殊到一般的认识过程. 教学重点、难点 教学重点:空间直角坐标系中点的坐标表示,空间两点间的距离公式 教学难点:一般情况下,空间两点间的距离公式的推导 教学关键:用类比的方法写出空间的点的坐标,记忆并应用空间两点间的距离公式 求空间的两点间距离,提高学生的空间想象能力 教学突破方法:借助正方体,发挥学生的空间想象能力,写出空间点的坐标 教法与学法导航 教学方法:问题教学法,类比教学法 学习方法:探究讨论、练习法. 教学准备 教师准备:多媒体课件,正方体模型 学生准备:平面直角坐标系中点的坐标的写法 教学过程 教学 设计 教学内容 师生互动 意图 1.我们知道数轴上的任意一点 M都可用对应一个实数表示,建叫师:启发学生联想/学生 创设情|了平面直角坐标系后,平面上任意考 体会到 点与数 境导点M都可用对应一对有序实数(x,y生:感觉可以 (有序 入新课表示那么假设我们对立一个空间直师:我们不能仅凭感 角坐标系时,空间中的任意一点是否觉,我们要对它的认识从感/数组)的 可用对应的有序实数组(x,y,z)表性化提升到理性化 对应关 示出来呢?
人教版新课标普通高中◎数学 2 必修（A 版） 1 4.3 空间直角坐标系 教案 A 教学目标 一、知识与技能 1. 理解空间直角坐标系的建立，掌握空间中点的坐标表示； 2. 掌握空间两点间的距离公式. 二、过程与方法 1. 建立空间直角坐标系的方法与空间点的坐标表示； 2. 经历由平面上两点间距离公式推导出空间中两点间的距离公式的过程. 三、情感、态度与价值观 1. 通过数轴与数、平面直角坐标系与一对有序实数，引申出建立空间直角坐标系 的必要性，体会类比和数形结合的思想. 2. 通过空间两点间距离公式的推导，经历从易到难，从特殊到一般的认识过程. 教学重点、难点 教学重点：空间直角坐标系中点的坐标表示，空间两点间的距离公式. 教学难点：一般情况下，空间两点间的距离公式的推导. 教学关键：用类比的方法写出空间的点的坐标，记忆并应用空间两点间的距离公式 求空间的两点间距离，提高学生的空间想象能力. 教学突破方法：借助正方体，发挥学生的空间想象能力，写出空间点的坐标. 教法与学法导航 教学方法：问题教学法，类比教学法. 学习方法：探究讨论、练习法. 教学准备 教师准备：多媒体课件，正方体模型. 学生准备：平面直角坐标系中点的坐标的写法. 教学过程 教学 环节 教学内容 师 生互动 设计 意图 创设情 境 导 入新课 1.我们知道数轴上的任意一点 M 都可用对应一个实数 x 表示，建立 了平面直角坐标系后，平面上任意一 点 M 都可用对应一对有序实数（x，y） 表示.那么假设我们对立一个空间直 角坐标系时，空间中的任意一点是否 可用对应的有序实数组（x，y，z）表 示出来呢？ 师：启发学生联想思 考. 生：感觉可以. 师：我们不能仅凭感 觉，我们要对它的认识从感 性化提升到理性化. 让学生 体会到 点与数 （有序 数组）的 对应关 系
教师备课系统一一多媒体教案 续上表 2.空间直角坐标系该如何建立 师:引导学生看图1, 单位正方体OABC DfBC,让学生认识该空体会 直角 间直角系0中,什么是标系 坐标原点,坐标轴以及坐标 的建立 平面 师:该空间直角坐标系程 我们称为右手直角坐标系 图 师:引导学生观察图2. 生:点M对应着唯 确定的有序实数组(x,y ),x、y、z分别是P、Q 概念 R在x、y、z轴上的坐标 形成 3.建立了空间直角坐标系以后,师:如果给定了有序实 空间中任意一点M如何用坐标表示数组(x,y,z),它是否对 呢? 应着空间直角坐标系中的 点呢? 生:(思考)是的 生从 师:由上我们知道了空(1)中 间中任意点M的坐标都可感性向 理性过 y以用有序实数组(x 来表示,该数组叫做点M厘 在此空间直角坐标系中的 坐标,记M(x,y,z) 图2 叫做点M的横坐标,y叫做 点M的纵坐标,z叫做点M 自的竖坐标 师:大家观察一下图1,你 能说出点O,A,B,C的 坐标吗?
教师备课系统──多媒体教案 2 续上表 概念 形成 2.空间直角坐标系该如何建立 呢？ 图 1 师：引导学生看图 1， 单 位 正 方 体 OABC – D′A′B′C′，让学生认识该空 间直角系 O –xyz 中，什么是 坐标原点，坐标轴以及坐标 平面. 师：该空间直角坐标系 我们称为右手直角坐标系. 体会空 间直角 坐标系 的建立 过程. 3．建立了空间直角坐标系以后， 空间中任意一点 M 如何用坐标表示 呢？ 图 2 师：引导学生观察图 2. 生：点 M 对应着唯一 确定的有序实数组（x，y， z），x、y、z 分别是 P、Q、 R 在 x、y、z 轴上的坐标. 师：如果给定了有序实 数组（x，y，z），它是否对 应着空间直角坐标系中的 一点呢？ 生：（思考）是的． 师：由上我们知道了空 间中任意点 M 的坐标都可 以用有序实数组（x，y，z） 来表示，该数组叫做点 M 在此空间直角坐标系中的 坐标，记 M（x，y，z），x 叫做点 M 的横坐标，y 叫做 点 M 的纵坐标，z 叫做点 M 的竖坐标. 师：大家观察一下图 1，你 能说出点 O，A，B，C 的 坐标吗？ 学生从 （1）中 感性向 理性过 渡
人教版新课标普通高中⊙敖学2必修(A版) 续上表 4.例1如图,在长方体OABC师:让学生思考例1 DABC中 会,学生作答,师讲评 O4=3,O1= 师:对于例2的讲解, OD=2.写 主要是引导学生先要学会 由出D、C、A 建立合适的空间直角坐标 B四点的坐标 系,然后才涉及到点的坐标 【解析】D在=轴上,且OD=2的求法 它的竖坐标是2:它的横坐标x与纵生:思考例1、例2的 坐标y都是零,所以点D的坐标是0,些特点总结如何求出空 间中的点坐标的方法 点C在y轴上,且OC=4,它的 纵坐标是4:它的横坐标x与竖坐标 学生在 都是零,所以点C的坐标是(0,4, 教师的 指导下 同理,点A的坐标是(3,0,0)例2【解析】把图中的钠原完成,加 点B在xOy平面上的射影是B,子分成下、中、上三层来深对点 因此它的横坐标x与纵坐标y同点写它们所在位置的坐标.|的坐标 的横坐标x与纵坐标y相同在xO下层的原子全部在的理解, 应用平面上,点B横坐标x=3,纵坐标xOy平面上,它们所在位置例2更 举例|=4:点B在轴上的射影是D,它的竖坐标全是0,所以这五能体现 的竖坐标与点D的竖坐标相同,点D个钠原子所在位置的坐标出建立 的竖坐标=2 分别是(0,0,0),(1,0,个合 所点B的坐标是(3,4,2).0),(1,1,0),(0,1,0),适的空 间直角 例2结晶 系的重 体的基本 中层的原子所在的平要性 单位称为 面平行于xOy平面,与 晶胞,图 轴交点的竖坐标为,所 是食盐晶 胞的示意 以,这四个钠原子所在位 图(可看 置的坐标分别是 成是八个棱长为}的小正方体堆积1.3a.1.1 成的正方体),其中色点代表钠原子, 黑点代表氯原子如图,建立空间直(1 角坐标系O-xz后,试写出全部钠 原子所在位置的坐标
人教版新课标普通高中◎数学 2 必修（A 版） 3 续上表 应用 举例 4. 例 1 如图，在长方体 OABC – D′A′B′C′ 中 ， |OA| = 3，|OC| = 4，|OD′| = 2.写 出 D′、C、A′、 B′四点的坐标. 【解析】D′在 z 轴上，且 O D′ = 2， 它的竖坐标是 2；它的横坐标 x 与纵 坐标y都是零，所以点D′的坐标是（0， 0，2）. 点 C 在 y 轴上，且 O C= 4，它的 纵坐标是 4；它的横坐标 x 与竖坐标 z 都是零，所以点 C 的坐标是（0，4， 0）. 同理，点 A′的坐标是（3，0，0）. 点 B′在 xOy 平面上的射影是 B， 因此它的横坐标 x 与纵坐标 y 同点 B 的横坐标 x 与纵坐标 y 相同.在 xOy 平面上，点 B 横坐标 x = 3，纵坐标 y = 4；点 B′在 z 轴上的射影是 D′，它 的竖坐标与点 D′的竖坐标相同，点 D′ 的竖坐标 z = 2. 所点 B′的坐标是（3，4，2）． 例 2 结晶 体的基本 单位称为 晶胞，图 是食盐晶 胞的示意 图（可看 成是八个棱长为 1 2 的小正方体堆积 成的正方体），其中色点代表钠原子， 黑点代表氯原子.如图，建立空间直 角坐标系 O – xyz 后，试写出全部钠 原子所在位置的坐标. 师：让学生思考例 1 一 会，学生作答，师讲评. 师：对于例 2 的讲解， 主要是引导学生先要学会 建立合适的空间直角坐标 系，然后才涉及到点的坐标 的求法. 生：思考例 1、例 2 的 一些特点.总结如何求出空 间中的点坐标的方法. 例 2【解析】把图中的钠原 子分成下、中、上三层来 写它们所在位置的坐标. 下层的原子全部在 xOy 平面上，它们所在位置 的竖坐标全是 0，所以这五 个钠原子所在位置的坐标 分别是（0，0，0），（1，0， 0），（1，1，0），（0，1，0）， 1 1 ( , , 0) 2 2 ； 中层的原子所在的平 面平行于 xOy 平面，与 z 轴交点的竖坐标为 1 2 ，所 以，这四个钠原子所在位 置的坐标分别是 1 1 1 1 ( , 0, ), (1, , ) 2 2 2 2 ， 1 1 1 1 ( ,1, ), (0, , ) 2 2 2 2 ； 学生在 教师的 指导下 完成，加 深对点 的坐标 的理解， 例 2 更 能体现 出建立 一个合 适的空 间直角 系的重 要性
教师备课系统——一多媒体教案 续上表 上层的原子所在的平面 平行于xOy平面,与轴 点的竖坐标为1,所以 五个钠原子所在位置的坐 标分别是(0,0,1),(1, 0,1),(1,1,1),(0,1, 5.练习2如图,长方体OABC 师:大家拿笔完成练习学生在 DABC中,O4=3,O=4,OD|2然后上黑板来讲解 原有小 =3,AC于BD相交于点P.分别写生:完成 出点C、B 【解析】C、B、P的经 P的坐标 点的坐标分别是(0,4,0/5的 础上,动 (3,4,3) 炼学 的口才 6.在平面上任意两点A(x1,y),B 币:只需引导学生大 (x2,y)之间的距离的公式为A6胆猜测,是否正确无关紧通过类 提出新=√x-x)2+(-y),那么对于空 比,充分 生:踊跃回答 概念 发挥学 间中任意两点A(x1,y,1),B(x2 生的联 y2,=)之间的距离的公式会是怎样 想能力 「呢?你猜猜? 7.空间中任间一点P(x,y,z)师:为了验证一下同学们 到原点之间的距离公式会是怎样的猜想,我们来看比较特 呢? 殊的情况,引导学生用勾 股定理来完成 学生:在教师的指导从特殊 概念 P(x, y, z) 下作答得出|OPl 的情况 =√x2+y2+x2. 解难度
教师备课系统──多媒体教案 4 续上表 上层的原子所在的平面 平行于 xOy 平面，与 z 轴交 点的竖坐标为 1，所以，这 五个钠原子所在位 置的坐 标分别是（0，0，1），（1， 0，1），（1，1，1），（0，1， 1）， 1 1 ( , ,1) 2 2 . 5. 练习 2 如图，长方体 OABC – D′A′B′C′中，|OA| = 3，|OC| = 4，|OD′| = 3，A′C′于 B′D′相交于点 P.分别写 出点 C、B′、 P 的坐标. 师：大家拿笔完成练习 2 然后上黑板来讲解. 生：完成. 【解析】C、B′、P 各 点的坐标分别是（0，4，0）， （3，4，3）， 3 ( , 2, 3) 2 . 学生在 原有小 结的经 验的基 础上，动 手操作， 并且锻 炼学生 的口才． 提出新 概念 6. 在平面上任意两点 A（x1，y1），B （x2，y2）之间的距离的公式为|AB| = 2 2 1 2 1 2 ( ) ( ) x x y y − + − ，那么对于空 间中任意两点 A （x1，y1，z1），B （x2， y2，z2）之间的距离的公式会是怎样 呢？你猜猜？ 师：只需引导学生大 胆猜测，是否正确无关紧 要. 生：踊跃回答. 通过类 比，充分 发挥学 生的联 想能力. 概念 形成 7. 空间中任间一点 P （x，y，z） 到原点之间的距离公式会是怎样 呢？ 师：为了验证一下同学们 的猜想，我们来看比较特 殊的情况，引导学生用勾 股定理来完成. 学生：在教师的指导 下作答得出 |OP| = 2 2 2 x y z + + . 从特殊 的情况 入手，化 解难度
人教版新课标普通高中⊙敖学2必修(A版) 续上表 8.如果OP|是定长r,那么x2+y2+师:注意引导类比平面直 2=P2表示什么图形? 角坐标系中,方程x2+y2=学会 尸2表示的图形中,方程x2+类比 y2=P表示图形,让学生有 种回归感. 生:猜想说出理由. 9如果是空间中任意一点P1(x,师生:一起推导,但是在人的认 y,=)到点P2(x,y,=)之间推导的过程中要重视学生识是从 的距离公式是怎样呢? 思路的引导 特殊情 概念 得出结论: 况到 深化 P2 般情况 10.巩固练习 教师引导学生作答培养学 (1)先在空间直角坐标系中标 (1)【解析】√6,图生直接 出A、B两点,再求它们之间的距离:略:√0,图略 利用公 A(2,3,5),B(3,1,4) (2)【解析】设点M式解决 A(6,0,1),B(3,5,7) 的坐标是(0,0,z) 问题 (2)在z轴上求一点M,使 依题意,得 M到点A(1,0,2)与点B(1,-3 步加 1)的距离相等 +0+(x-2)2= 0-1)2+(0+3)2+(x-1)2
人教版新课标普通高中◎数学 2 必修（A 版） 5 续上表 概念 深化 8. 如果|OP| 是定长 r，那么 x 2 + y 2 + z 2 = r 2 表示什么图形？ 师：注意引导类比平面直 角坐标系中，方程 x 2 + y 2 = r 2 表示的图形中，方程 x 2 + y 2 = r 2 表示图形，让学生有 种回归感. 生：猜想说出理由. 学会 类比. 9.如果是空间中任意一点 P1 （x1， y1，z1）到点 P2 （x2，y2，z2）之间 的距离公式是怎样呢？ 师生：一起推导，但是在 推导的过程中要重视学生 思路的引导. 得出结论： |P1P2| = 2 2 2 1 2 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) x x y y z z − + − + − 人的认 识是从 特殊情 况到一 般情况 的. 10. 巩固练习 （1）先在空间直角坐标系中标 出 A、B 两点，再求它们之间的距离： A（2，3，5），B（3，1，4）； A（6，0，1），B（3，5，7）. （2）在 z 轴上求一点 M，使点 M 到点 A（1，0，2）与点 B（1，–3， 1）的距离相等. 教师引导学生作答 （1）【解析】 6 ，图 略； 70 ，图略 （2）【解析】设点 M 的坐标是（0，0，z）. 依题意，得 2 2 (0 1) 0 ( 2) − + + −z = 2 2 2 (0 1) (0 3) ( 1) − + + + −z 培养学 生直接 利用公 式解决 问题能 力，进 一步加 深 理 解