第七章二阶电路 7-1二阶电路:用二阶微分方程描述的动态电路 设电容C原已充电其电压为U,电感中的初始电流为,t=0时,开 关S闭合,则此过程是二阶电路的零输入响应。KVL方程 uctuR+UL=O du du =RI=-RC u dt dt di UL. Uo L LC代入上式 dt du dt? tRod tu=O (1)--二阶常系数方程 dt 假设u=Ae"是解然后定Ap常数 特征方程LCP2+RCP+1=0 P≈RC±√(RC 4LC R R 2I 2L) LC
S （t=0） ( ) L LC R L R LC - RC RC LC P LCP RCP 1 0 u Ae A p u ( ) dt du RC dt d u Lc dt d u LC dt di u L dt du u Ri RC dt du i c 2 2 Pt c c c c c L c R c 1 2 2 2 4 0 1 2 2 2 2 2 − = − − = + + = = + + = − − − − − − = = − = − = = − 特征方程 假 设 是解然后定 常 数 二阶常系数方程 代入上式 7-1 二阶电路：用二阶微分方程描述的动态电路 设电容C原已充电其电压为U0，电感中的初始电流为I0，t=0时，开 关S 闭合，则此过程是二阶电路的零输入响应。KVL方程 -uc+uR+uL=0 。。 R ＋ uR u U0 c ＋ － L uL ＋ i － iL 第七章 二阶电路
R R R R 十 P 2L 2L LC 2L 2L LC (t=Ae+A, 初始条件u,(0)=u(0)=U。i(0)=i(0)=L du du dt dt t=0 C A+A=U P.A.+Pa 可定出A,A常数只讨论U0而=0的情况 A,=UA2A2÷、 QVAs pug 1.R>2非振荡过程 1(PPP-Pe-pel和画 PU
(p e p e ) P - P U e P - P P U e P - P P U u (t) C L 1 R 2 P - P P U A P - P P U A U - A A - A A C I P A P A A A U C I dt t 0 du dt du i c u (0 ) u (0 ) U i(0 ) i(0 ) I u (t) A e A e LC 1 2L R 2L R P LC 1 2L R 2L R P p2t 1 t 1 p 2 2 1 0 t 2 p 2 1 1 0 t 1 p 2 1 2 0 c 2 1 2 0 1 2 1 1 0 1 0 2 2 1 2 0 1 1 2 2 1 2 0 c c 0 0 - 0 - c c t 2 p 2 t 1 p c 1 2 2 2 1 = − = − = = = + = − + = = − = = − = = = = = + − − = − − = − + + + 非振荡过程 可定出 常 数 初始条件 只讨论U0≠0而I0=0的情况
R R 4L P 2L认2L)LC2LVR2C ∴p1<0同理p2<0 du CU.PP 电流i=-c e e 韦达定理pP2=LC (P2e-p2e"2) dt P-P L 放电过程必须经一个最大值,tn可由ddt=0 所以pe"-p2e=0 p
(p e p e ) P P U dt di u L LC 1 p p (e e ) L(P P ) U (e e ) P P cU P P dt du i -c p 0 p 0 ) R C 4L (1 1 2L R LC 1 2L R 2L R p t 2 p 2 t 1 p 1 2 1 0 L 1 2 t 2 t p 1 p 2 1 0 t 2 t p 1 p 2 1 c 0 1 2 1 2 2 2 1 − − = = − = − − − = − = = − − = − − − = − + 韦达定理 电 流 同 理 tm 。 uc i uL 放电过程必须经一个最大值，tm可由di/dt=0 所以 1 2 1 2 m p2t 2 p1t 1 p p p p ln t p e p e 0 − = − = t
例:如图所示电路中,已知Us=10V, R C=1uF,R=4K9L=1H,开关S原来闭 合在1,在t=0时,开关S由1 2处 求(1)u、u、i和u;(2) Us牛 L max 解:(1),L NC10-S2KQ.R=4KQ R>2放电过程是菲振荡的 且u(0)=U p1=-268 p2=-3732 (Pe-pe) (10.77e-0.773) i(t)=289(e1-e)
。 。 。 S（t=0） 1 2 － ＋ － Us R ＋ uc 例：如图所示电路中，已知US=10V， C=1μF，R=4KΩ L=1H，开关S原来闭 合在1，在t=0时，开关S由1 2处， 求（1）uc、uR、i和uL；（2）imax 解：（1） i(t) . (e e ) ( . e . e ) (P e p e ) P - P U u (t) p -3732 p -268 u (0 ) U U C L R K R 4K C L t t t t p t p t 2 1 0 c 2 1 c 0 s 268 3732 268 3732 2 1 1 2 6 2 89 10 77 0 773 2 2 10 1 2 2 − − − − + − = − = − = − = = = = = = = 且 放电过程是非振荡的 uL ＋ iL －
L,=(10.77e2-0.773e) (2)电流最大值发生在t时刻 1=760us =2.19mA maxx 2R<2振荡放电过程此时根号内<0:复数P,P一对共轭复数 令8 R R R 2L LC 2L 2L) LC Jo ∴P,=-8+j0p2=-8-j0 令0=)82+02阝=arcg。有8=0c0s0=sinB
( ) = = = + = = + = − − = − = = = − = = − = = = − − − arctg cos sin p - j p - j j 2L LC R L R LC 2L R 0 P P C L R 2 i . mA s p p p p ln t ( ) t ( . e . e ) dt di u L 0 0 2 2 0 1 2 2 1 2 max 1 2 m m t t L 令 有 令 振荡放电过程此时根号内 复 数 一对共轭复数 电流最大值发生在 时 刻 2 2 2 1 2 3732 268 1 2 1 2 2 19 760 2 10 77 0 773 0