第十三章拉普拉斯变换 13-1拉氏变换定义 定义f(t)在0∞)有定义则 F(S)=f(t)e sdt F(s)=Lf(t 0 个象函数↑原函数)=L[f(t C十 拉氏反变换定义f(t) f(seds 2πjc-j
) ( ) F(s)e ds 2 j 1 f(t) f(t) L f(t) F S f(t)e dt F(s) L f(t) 0 13 1 s t c j c j -1 0 -s t + − = = = = − − 拉氏反变换定义 象函数 原函数 定 义 在 有定义 则 拉氏变换定义 f（t） 第十三章 拉普拉斯变换
例1求以下函数的象函数 (1)单位阶跃函数 (2)单位冲击函数 (3)指数函数 解(①):f(t)=e(t) F(S)=Lf(t]=E(t)e-st'dt ∫esdt= (2) f(t)=8(t). F(t=Lf(t]=j&(t)e"dt= 8(t)e"dt=1 ():()=e:F(s=I[(o小-1est=-1 S-a
( ) ( ) ( ) ( ) s 1 e dt F(S) L f(t) (t)e dt 1 f(t) (t) 3 2 1 1 0 s t 0 s t − − − − = = = = 解 = 指数函数 单位冲击函数 单位阶跃函数 例 求以下函数的象函数 ( ) ( ) − = = = = = = = = = − − + − − − − s f(t) e F(s) L f(t) e e dt f(t) (t) F(t) L f(t) (t)e dt (t)e dt t t s t s t s t 1 3 2 1 0 0 0 0
13-2拉氏变换的基本性质 1线性性质 [A, f,()+A, f, (0]=A, L[f(]+A, L[, (t]=AF(S)+A, F(S) CEL[A, f, (0)+A, f,(0=J[A, f, (0)+A,f, (tl"dt A, Sf edt +A, ff edt=A, F(s)+A, F(s) 例若)r(t)= sino(2)(t)=k(-e)求I 111 A(1): L[sino]=y( -eion)=2is-jo s+jo S+o (2)(-e=时ys+S、f KK S+a
( ) ( ) ( ) ( ) + = − + − = − + = + − − = = − = = − = + = + + = + + = + = + − − − − − − − − − − S K S K S K L k( e ) L K s ) s j s j ( j (e e ) j 1 L sin t L 1 f(t) sin t 2 f(t) k( e ) L f A f e dt A f e dt A F (S) A F (S) L A f (t) A f (t) A f (t) A f (t) e dt L A f (t) A f (t) A L f (t) A L f (t) A F (S) A F (S) t j t j t t s t s t s t 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 2 1 1 1 2 1 2 1 1 1 13 2 2 2 1 1 2 2 0 2 2 0 1 1 0 1 1 2 2 1 1 2 2 解 例 若 求 证 线性性质 拉氏变换的基本性质
2微分性质 若L[f(t=F(s)则L[rt)]=sF(s)-f(0-) 证明L[r(=medt dt 设e=u[r(]at=dv则du=se"dty=f() ∵∫udv=uv-∫vdu∴ df(t) dt e-dt=f(t)e/f((se")dt =-f(0-)+Sf((e")dt=sF(S)-f(0) 例应用导数性质求下列函数的象函数 Of(t)=cos(ot) (2)r(t)=8(t) d"=00000011tiot 解() dsinot dt
-f(0-) s f(t)(e )dt sF(S) f(0 ) e dt f(t)e f(t)( se )dt dt df(t) udv uv - vdu e u f (t) dt dv du -se dt v f(t) e dt dt df(t) L f (t) L f(t) F(s) L f (t) sF(s)-f(0-) 2 0 s t 0 s t 0 s t 0 s t s t s t 0 s t − − − − − − − − − − − − − = + = − = = − − = = = = = = = 设 则 证 明 若 则 微分性质 ( ) ( ) ( ) dt 1 dsin t cos( t) cos( t) dt dsin t 2 f(t) (t) 1 f(t) cos( t) = → = = = 解 1 例 应用导数性质求下列函数的象函数
Is 「1 d sin ot11(0 sin ot= cost」=L 0 s+0 o dt ∵8(0-)=0 ∵sin0=0 s+0 (2):8(t) de(t) e(t)]=∴L[(t)] d e(t)=s-0=1 dt S dt 3积分性质若]=F则[ ir(E)E]- F(S) 证令u=∫f(dtdy=e"dt则du=f()dtv if(t.e lt= F(s t是变量,S是常量, 积分上限t用0-代替
( ) ( ) ( ) s F(s) dt s e f(t) - s e f( )d e dt f( )d - s e u f(t)dt dv e dt du f(t)dt v - S F(S) 3 L f(t) F(t) L f( )d - 0 1 S 1 (t) s dt d L (t) L S 1 L (t) dt d (t) 2 (t) (0-) 0 sin0 0 s s 0 s s 1 dt 1 dsin t L cos t L s L sin t 0 -s t 0 -s t t 0 0 -s t t 0 -s t -s t t 0 2 2 2 2 2 2 = − = = = = = = = = = = = = = = + = − + = = + = − − − − − − 证 令 则 积分性质 若 则 t是变量，S是常量, 积分上限t用0-代替