第十二章非正弦周期电流电路和信号的频谱 12-1非正弦周期信号 1、非正弦周期信号:是周期性的,但非正弦的,例如:周期性的 脉冲波 2、谐波分析法:将周期性的非正弦波展开为付里叶级数(正弦波 迭加),计算不同频率正弦波激励下的响应,叠加得结果。 12-2周期函数分解为付里叶级数 周期函数表示周期信号f(t)=f(t+kT)K=0,1,2 若函数满足狄里赫利条件则函数可展开成一个收敛的付里叶级数 f(t)=a,+a, cos(@, t)+b, sin(@, t)]+a, cos( 2a, t)+b, sin(20, t)]+ =an+[cs(ko)+b1sin(ko,--(1)其中20=1roxt=nr k TO a, =Lif(tcos(ko, dt=2i f(t)cos(ko, dt=I]f(cos(ko, tdo, t 0
12-1非正弦周期信号 1、非正弦周期信号：是周期性的，但非正弦的，例如：周期性的 脉冲波 2、谐波分析法：将周期性的非正弦波展开为付里叶级数（正弦波 迭加），计算不同频率正弦波激励下的响应，叠加得结果。 12-2周期 函数分解为付里叶级数 f(t)cos(k t)d t 1 f(t)cos(k t)dt T 2 f(t)cos(k t)dt T 2 a f(t)dt T 1 f(t)dt T 1 a a cos(k t) b sin(k t) (1) a0 f(t) a a cos( t) b sin( t) a cos(2 t) b sin(2 t) ... f(t ) f(t kT) K 0,1,2... 1 1 2 T 2 T 1 T 0 k 1 2 T 2 T T k 1 0 0 k 1 k 1 0 1 1 1 1 2 1 2 1 0 = = = = + + − − − = = = + + + + + = + = − − − = 其 中 若函数满足狄里赫利条件则函数可展开成一个收敛的付里叶级数 周期函数表示周期信号 第十二章 非正弦周期电流电路和信号的频谱
b,==if(t)sin(ko )dt==jf(t)sin(ko, t)dt=if(t)sin(ko, )dt f(t)sin(ko, t)d(o, t) T-π (1式还可写成r(t)=A,+Amco(0t+v)+A-c0(2ot+v,)+…+ A cos(kot+v)+…+=A+∑Ac0s(kot+y) .'cos(ko, t+y =cos ko, t cosYk-sin Yk sin ko,t 恒定分量→A0=a0 A=√a+b.2ak=A-mC0Svk kI b b,=-A, sin y Y=arct(k) k 周期信号=一系列谐波之和 2013 Kor 频谱图:将各个频率对应的振幅用线段画现来-振幅频谱 还有相位频谱:相位按频率的分布
周期信号 一系列谐波之和 恒定分量 式还可写成 = = = → = = + = + = − + + + = + + = + + + + + + = = = = = − − ) a -b b -A sin arctg( A a A a b a A cos cos(k t ) cosk t cos sin sink t A cos(k t ) ... A A cos(k t ) ( ) f(t) A A cos( t ) A cos( t ) ... f(t)sin(k t)d( t) f(t)sin(k t)dt f(t)sin(k t)dt T f(t)sin(k t)dt T b k k k k m k k k am k 2 k 2 0 k m k k K K K k m k k m k 0 1 m m T T T k 0 1 2 1 2 2 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 2 1 2 1 1 2 0 1 2 2 1 0 1 Akm ω·1 2ω1 3 ω1 K ω1 频谱图：将各个频率对应的振幅用线段画现来------振幅频谱 还有相位频谱：相位按频率的分布
例1:求图所示周期性矩形信号f(t)的付里叶级数展开式及频谱。 解:f(t)第一个周期内的表达式为 f(t=E 0<t<T/2 f(t) f(t)=-E。T/2<t<T 2兀 E a。=f(tdt=Endt+ e dt=o T a,=jf(t)cos ko tdo, t=F E cos ko, tdo t-JE cos ko tdo T m b,= jf()sin ko, do, =E sin ko, tdo, t-E sin ko, tdo, t T T 2E 2E kr sin ko tdo, t=,m k [1-cos(kT) 当K=2n时偶数时b=0当K=2n+时奇数时cos(kπ)=-1∴b=E 51701 KT 02=4E1smo+3s30+0501 k
+ + + = = = = + = − = − = = − = = − = = = = = + − = = = sin( t) sin( t) sin( t) ... k E f(t) k E K n b 0 K n 1 cos(k ) b cos(k ) k E sink td t k E b f(t)sink td t E sink td t E sink td t a f(t)cosk td t E cosk td t E cosk td t E dt T 1 E dt T 1 f(t)dt T 1 a f(t) -E T/2 t T f(t) E 0 t T/2 m m k k m m k m m k m m T T/ m T m T 0 m m 1 1 1 0 1 1 0 2 1 1 1 1 2 0 1 1 0 2 1 1 1 1 2 0 1 1 2 2 0 0 5 5 1 3 3 4 1 4 2 2 1 1 2 2 1 1 0 1 1 0 当 时偶数时 当 时奇数时 例1：求图所示周期性矩形信号f（t）的付里叶级数展开式及频谱。 Em -Em 0 π 2 π T/2 T 解：f（t）第一个周期内的表达式为 f（t） ω1 3 ω1 5 ω1 7ω1 · · ·
12-3有效值平均值平均功率 有效值的定义I=idt设非正弦周期电流可展开成付里叶级数 i=I+∑Lcos(kot将此代入有效值公式则得此电流的有效值为 HJI,+2In cos(ko, t+y.'dt 上式平方后含有下列各项 jI dt=I: jI cos(ko, t +y )dt=km= /2] I2 2 2 ∫2 I cOs(kot+v.)dt=0 ∫2Icos(ko,t+y)Icos(q0t+yn)dt=0k≠q
( ) 2I cos(k t )I cos(q t )dt 0 k q T 1 2I cos(k t )dt 0 T 1 I 2 2I 2 I I cos (k t )dt T 1 I dt I T 1 I I cos(k t ) dt T 1 I i I I cos(k t ) i dt T 1 I I 12 3 T 0 k m 1 k qm 1 q T 0 0 1 k 2 K 2 K 2 k m T 0 1 k 2 2 k m 2 0 T 0 2 0 T 0 2 K 1 0 k m 1 k K 1 0 k m 1 k T 0 2 + + = + = = + = = = = + + = + + = − = = 上式平方后含有下列各项 将此代入有效值公式则得此电流的有效值为 有效值 的定义 设非正弦周期电流可展开成付里叶级数 有效值 平均值 平均功率
∴i的有效值 1=++1+灬=+恒定分量+各次谐波有效值平方和 平均值Iav=∫idt正弦电流的平均值为 lav=J Im cos(ot)dt=mycos(ot)dt=0.91 T
cos( t)dt 0.9I T 4I I cos( t)dt T 1 Iav idt T 1 Iav I I I I ... I I i 4 T 0 m T 0 m T 0 K 1 2 K 2 0 2 2 2 1 2 0 = = = = = + + + = + + = 平均值 正弦电流的平均值为 恒定分量 各次谐波有效值平方和 的有效值