性质3（绝对收敛的无穷积分必收敛)若f在任何有限区间[a, u]上可积,且「 |f(x) dx收敛,则[f(x)dx 亦必收敛,并且J." f(x)dx≤J. / (x) dx.前页后页返回
前页 后页 返回 何有限区间 [a, u]上可积, ( ) d , a f x x + 且 收敛 则 ( )d a f x x 亦必收敛,并且 + ( )d ( ) d . a a f x x f x x + + 性质3(绝对收敛的无穷积分必收敛)若 f 在任
证 因 [ If(x)dx 收敛, 由柯西准则的必要性,对"/f(x)dx<,V>0,G>a,当u,>u>G时,S福" (x)dx ≤ "f(x)]dx<8.因此再由柯西准则的充分性,推知f(x)dx 收敛,又对任意 u>a, [, f(x)dx ≤],r(x)]dx,于是.f(x)dx - im [" f(x)dx/≤J. (x)]dx.后页返回前页
前页 后页 返回 2 1 0, , , G a u u G 当 时 2 1 ( ) d , u u f x x 因此 2 2 1 1 ( )d ( ) d . u u u u f x x f x x 再由柯西准则的充分性, ( )d a f x x + 推知 收敛. ( )d lim ( )d ( ) d . u a a a u f x x f x x f x x + + →+ = 又对任意 ( )d ( ) d , u u a a f x x f x x u a , 于是 证 ( ) d , a f x x + 因 收敛 由柯西准则的必要性, 对
sinvxdx(a>0)的收敛性Jx(a+x)例5 判别sinVx一,而[rndr收敛,解 由于/x(a+x)x.xsinVx因此Jx(a+x)dx绝对收敛收敛的无穷积分f(x)dx不一定是绝对收敛的若/，f(x)dx收敛而j1 f(x)/dx发散,则称[， f(x)dx 条件收敛.后页返回前页
前页 后页 返回 1 sin d ( ) x x x a x + + 因此 绝对收敛. 收敛的无穷积分 ( )d a f x x + 不一定是绝对收敛的. 例5 1 sin d ( 0) ( ) x x a x a x + + 判别 的收敛性. 解 sin 1 , ( ) x x a x x x + 而 3 2 1 1 dx x + 由于 收敛, ( )d | ( ) | d , a a f x x f x x + + 若 收敛而 发散 则称 ( )d a f x x + 条件收敛
二、非负函数无穷积分的收敛判别法重要结论（非负函数无穷积分的判别法）设定义在[a,+上的非负函数f 在任何[a,u]上可积,则，f(x)dx收敛的充要条件是：3 M >0,使V ue [a, +), " f(x)dx ≤M.前页后页返回
前页 后页 返回 [ , ), ( )d . u a + u a f x x M 二、非负函数无穷积分的收敛判别法 重要结论(非负函数无穷积分的判别法)设定义在 [ , ) a + 上的非负函数 f 在任何 [ , ] , a u 上可积 则 ( )d a f x x + 收敛的充要条件是: M 0, 使