n=2L2(x) (x一)(x一3)1,(x-2)(x (x-g)(x-4) (一-)这2+(一-3)x2+(一-)2 sin50°≈L2(5z l8)≈0.76543 R2(x) coss(x-6 3! z(x-(x-2); K cost.<V3 2 00000 sin50°=0.7660444. 2次插值的实际误差≈000061 高次插值通常优于 低次插值
n = 2 2 3 ( )( ) ( )( ) 2 1 ( )( ) ( )( ) 2 1 ( )( ) ( )( ) ( ) 3 6 3 4 6 4 4 6 4 3 6 3 6 4 6 3 4 3 2 − − − − + − − − − + − − − − = x x x x x x L x ) 18 5 sin 50 (2 0 L 0.76543 2 3 cos 2 1 ); 3 )( 4 )( 6 ( 3 ! cos ( ) 2 − − − − = x x R x x x x 0.00077 18 5 0.00044 2 R sin 50 = 0.7660444… 2次插值的实际误差 0.00061 高次插值通常优于 低次插值
误差R,(x)=f(x)-Ln(x) 解 f(x1)=Ln(x1), Rn(x)=0,i=0,n R,(x)=k(x(x-xo).(x-n) 求k(x)= Va, k(a=? 设V(t)=f(t)-Ln(t)-k(a)(t-x0)…(t-xn) 易知v(x)=0,i=0,… n and y(a)=0
误差 R (x) f (x) L (x) n = − n 解： ( ) ( )( ) ( ) ( ) 0 , 0, ( ) ( ) , 0, n 0 n n i i n i R x k x x x x x R x i n f x L x i n = − − = = = = 求 k(x) = ? ( ) 0, 0, and ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) , ( ) ? 0 = = = = − − − − = x i n a t f t L t k a t x t x a k a i n n 设 易知
y(t)有n+2个零点 2,vt(2)=0 y"(5)=f(2)-k(a)(n+ 1)! (n+1) k(a)= (n+1)! 由a的任意性 fm(2) R,(x) (x-x0)…(x-xn) (n+1)
(t) 有n+2个零点 ( 1)! ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( 1)! , ( ) 0 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) + = = − + = + + + + n f k a f k a n n n n n ( ) ( ) ( 1)! ( ) ( ) 0 ( 1) n n n x x x x n f R x − − + = + 由a的任意性
事后误差估计 给定{}任取n+1个构造Ln(x) 如: 0.∴·n 另取i=1,…,n+1 X (n+ f(x-L(x) (n+1)(x-x2)…(x-x) (n+1) f(x-L(x) X-x X-x n+1 n+
事后误差估计 给定 1 0 + = n i i x 任取n+1个构造 L (x) n ( ) ~ 1, , 1 0, , ( ) i n L x i n L x n n = + = 如： 另取 则 ( ) ( ) ( 1)! ( ) ( ) ~ ( ) ( ) ( ) ( 1)! ( ) ( ) ( ) 1 1 2 ( 1) 0 1 ( 1) + + + − − + − = − − + − = n n n n n n x x x x n f f x L x x x x x n f f x L x
近似f(n1(51)≈f(m(2) 奶了(x)-Ln(x)x-9 f(x)=L,(x)x-xn+ →f(x)≈ Cn+L((x)+-xx0(x) 0 n+1 n+1 →f(x)-Ln(x)≈ x-0 (n(x)-2(x) n+1
近似 ( ) ( ) 2 ( 1) 1 ( 1) + + n n f f 则 ( ( )) ~ ( ) ( ) ( ) ( ) ~ ( ) ( ) ( ) ~ ( ) ( ) ( ) 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 L x L x x x x x f x L x L x x x x x L x x x x x f x x x x x f x L x f x L x n n n n n n n n n n n n − − − − − − + − − − − − − + + + + +