89.2拉普拉斯变换的性质(Change the nature of thelaplasse)一、拉普拉斯变换的性质（Changethenatureof thelaplasse)1、线性性质（Linearnature）[αf(t)βg(t)]=αf(t]β[g(t)'[αf(t)±βg(t)]=αL'[f(t)]±βL"[g(t)]2、相似性质（Similarnature）设Lf(t)=F(s)，则对任意常数a>0，有[f(at))=证明：令x=at，则f(x)e"dx=LLf(at) = f f(at)e-" dt =-例9.3求cosot的拉普拉斯积分变换，解(ejot +e-jer )] =-(C[ejo" ]+ L[e"jot C/cosotl=L52+0s+i0105s-1例9.4已知F(s)=求[F(S)]，(s+ 1)(s - 2)解5s-C'[F(S) = L2℃(s+1)(s-2)s+3、微分性质（Differentialnature）(1)设Lf(t)=F(s)，则有[f(t))=sF(s)-f(O)，一般地6
6 §9.2 拉普拉斯变换的性质 （Change the nature of the laplasse） 一、拉普拉斯变换的性质（Change the nature of the laplasse） 1、线性性质（Linear nature） L L L[ [ ( ) ( )] [ ( )] ( )] f t g t f t g t = ； 1 1 1 [ ( ) ( )] [ ( )] ( )] f t g t f t g t − − − L L L [ = 2、相似性质（Similar nature） 设 L[ ( )] f t F s = ( ) ，则对任意常数 a>0 ，有 1 [ ( )] s f at F a a = L . 证明：令 x at = ，则 0 0 1 1 [ ( )] ( ) ( ) s x st a s f at f at e dt f x e dx F a a a + + − − = = = L 例9.3 求 cost 的拉普拉斯积分变换. 解 ： 2 2 1 1 1 cos ] ( )] ] ]) ) 2 2 2 j t j t j t j t s t e e e e s − − = + = + = + = + 1 1 L[ L[ (L[ L[ ( s - j s + j 例9.4 已知 5 1 ( ) ( 1)( 2) s F s s s − = + − ，求 1 [ ( )]. F s − L . 解 1 1 1 1 1 2 5 1 2 3 1 1 [ ( )]. [ ] [ ] 2 [ ] 3 [ ] 2 3 ( 1)( 2) 1 2) 1 2 s t t F s e e s s s s s s − − − − − − − = = + = + = + + − + − + − L L L L L 3、微分性质（Differential nature） （1）设 L[ ( )] f t F s = ( ) ，则有 ( ) ' L[ ( )] (0) f t sF s f = − ，一般地
有 L[f() (t)= s"F(s) - s"-" f(O)-s"-- f (O) -.- f(n-(O)证明利用分部积分方法和拉普拉斯积分变换的定义CLf (t)= J。f(t)e"dt = f(t)e" I" +s]。f(t)e" dt =sF(s)- f(0)用数学归纳法可以得到Lf(" (t)]= s"F(s) - "- f(O) - s"- f (0) -..- f(r-)(0)此性质可以使我们有可能将f(t)的微分方程转化为F(s)的代数方程(2）设Lf(t)=F(s)，则有F(s)=-L[f(t))；一般地有F(" (s)=(-1)"[r" f(t).证明: F(s)= J。 f(t)(e")dt =-J。 tf(t)e-"dt =-L[f(t)], 用数学归纳法可以得到 F(")(s)=(-1)"["f(t)]可以用来求t"f(t)的拉普拉斯积分变换例9.5求解微分方程y(t)+y(t)=0,J(0)=0,y(0)=0解对方程的两边做拉普拉斯积分变换，可以得到s’Y(s) - sy(0)-y(0)+°Y(s) = 00得到Y(s)=+()=[(s)]='[l=sinot52+02例9.6求f()="的拉普拉斯积分变换解设f(t)=t"，则f(m)(t)=m!，且f(0) = f (0) = = f(m) (0) = 07
7 有 ( ) ( ) 1 2 ' ( 1) [ ( )] (0) (0) (0) n n n n n f t s F s s f s f f − − − L = − − − − 证明 利用分部积分方法和拉普拉斯积分变换的定义. ' ' 0 0 0 [ ( )] ( )e d ( ) | ( ) d ( ) (0) st st st f t f t t f t e s f t e t sF s f + + − − + − = = + = − L 用数学归纳法可以得到 ( ) ( ) 1 2 ' ( 1) [ ( )] (0) (0) (0) n n n n n f t s F s s f s f f − − − L = − − − − 此性质可以使我们有可能将 f t() 的微分方程转化为 F s( ) 的代数 方程 （2）设 L[ ( )] f t F s = ( ) ，则有 ( ) ' F s tf t = −L[ ( )] ；一般地有 ( ) ( ) ( 1) [ ( )] n n n F s t f t = − L . 证明： ' ' 0 0 ( ) ( )( ) ( ) [ ( )] st st F s f t e dt tf t e dt tf t + + − − = = − = − L ，用 数学归纳法可以得到 ( ) ( ) ( 1) [ ( )] n n n F s t f t = − L . 可以用来求 ( ) n t f t 的拉普拉斯积分变换. 例9.5 求解微分方程 '' 2 ' y t y t y y ( ) ( ) 0, (0) 0, (0) + = = = . 解 对方程的两边做拉普拉斯积分变换，可以得到 2 ' 2 s Y s sy y Y s ( ) (0) (0) ( ) 0 − − + = 得到 2 2 Y s( ) s = + ， 1 1 2 2 y t Y s t ( ) [ ( )] [ ] sin s − − = = = + L L 例9.6 求 ( ) m f t t = 的拉普拉斯积分变换. 解 设 ( ) m f t t = ，则 ( ) ( ) ! m f t m= ，且 ' ( 1) (0) (0) (0) 0 m f f f − = = = =
m!L[m!] = 故[t"]例9.7求函数f(t)=tsinot的拉普拉斯积分变换解20ssL[ f(t)] = L[t sin ot]= -{(C[sin ot])' = -{5? +02(s? +0*)?例9.8求函数f()=t?cost的拉普拉斯积分变换解 L[f(0)]= L[ cos? 1]=↓L[F(1+ cos21)] =1 d?1d(l+_s)=22(s° +24s2 +32)2 ds C(1+ cos2)] =2ds5+4s (s + 4)34、积分性质（Integralnature）(1)设Lf()=F(s)，则有L(t)di)=F(s)，一般地有cf'a f'dt.-J'af ()dt)- _ F(s).证明设g(t)=["f(t)dt，则g(t)=f()，且g(0)=0，利用微分性质可以得到Lf(t)]= L[g (t)] = sL[g(t)]- g(O) = S[g(t)],所以 cf" f(0)di) =1 F(s).用数学归纳法可以得到cfaijdt.aij()di=二F(s)(2）设(0)=F(s)，则有"F(s)ds=，一般地有" s' s.. " (s)ds = 可以用来求兴的拉普拉斯积分变换。tn8
8 故 1 1 ! ] !] m m m m t m s s + L[ L[ = = . 例9.7 求函数 f t t t ( ) sin = 的拉普拉斯积分变换. 解 ' ' 2 2 2 2 2 2 ( )] sin ] { sin ]} { } ( ) s s f t t t t s s = = − = − = + + L[ L[ L[ 例9.8 求函数 2 2 f t t t ( ) cos = 的拉普拉斯积分变换. 解 2 2 2 1 ( )] cos ] (1 cos 2 )] 2 L[ L[ L[ f t t t t t = = + = 2 2 6 2 2 2 2 3 2 3 1 1 1 2( 24 32) (1 cos 2 )] ( ) 2 2 4 ( 4) d d s s s t ds ds s s s s + + + = + = + + L[ 4、积分性质（Integral nature） （1）设 L[ ( )] f t F s = ( ) ，则有 0 1 [ ( ) ] ( ) t f t dt F s s = L ，一般地有 0 0 0 0 1 [ ( ) ] ( ) t t t t n dt dt dt f t dt F s s = L . 证明 设 0 ( ) ( ) t g t f t dt = ，则 ' g t f t ( ) ( ) = ，且 g(0) 0 = ，利用微 分性质可以得到 ' L L[ L L [ ( )] ( )] [ ( )] (0) [ ( )] f t g t s g t g s g t = = − = ， 所以 0 1 [ ( ) ] ( ) t f t dt F s s = L . 用数学归纳法可以得到 0 0 0 0 1 [ ( ) ] ( ) t t t t n dt dt dt f t dt F s s = L （2）设 L[ ( )] f t F s = ( ) ，则有 ( ) ( ) [ ] s f t F s ds t = L ，一般地有 ( ) ( ) [ ] n s s s s f t ds ds ds F s ds t = L . 可以用来求 ( ) n f t t 的拉普拉斯积分变换